2023-2024学年山东省济南市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=1A．−i2 B．i2 C．−2．（5分）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（）A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球”3．（5分）在△ABC中，记AB→=m→，AC→A．13m→+23n→ 4．（5分）若正三棱台上底面边长为2，下底面边长为22，高为2A．53 B．2 C．73 5．（5分）如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A．众数＝平均数＝中位数 B．众数＜中位数＜平均数 C．众数＜平均数＜中位数 D．中位数＜平均数＜众数6．（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面7．（5分）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.148．（5分）如图，设Ox，Oy是平面内夹角为θ(θ≠π2)的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量OA→=xe1+ye2，则有序数对（x，y）叫做点A在坐标系Oxy中的坐标．在该坐标系下，A（x1，y1），B（x2，yA．线段AB中点的坐标为(xB．△ABC重心的坐标为(xC．A，B两点的距离为(xD．若x1y2＝x2y1，则O，A，B三点共线二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知i为虚数单位，复数z1＝2i，z2＝1+i，则下列结论正确的是（）A．z1+B．z1z2所对应的点在第二象限 C．z1D．z（多选）10．（6分）已知有限集Ω为随机试验E的样本空间，事件A，B为Ω的子集，则事件A，B相互独立的充分条件可以是（）A．A⊆B B．A＝⌀ C．P(AD．P(（多选）11．（6分）如图所示，三棱锥A﹣BCD中，AC＝2，其余棱长均为2．E为棱AC的中点，将三棱锥C﹣BED绕DB旋转，使得点C，E分别到达点C′，E′，且C′E′∥AE．下列结论正确的是（）A．AC′∥平面BED B．EE′⊥C′D C．直线C′B与EE′所成的角为π3D．点A，E，B，D，C′，E′在同一个直径为3的球面上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为．13．（5分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a＝2，A=π6，则使得△ABC有两组解的b的值可以是14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3，AA1＝3，且平面ADD1A1，ABB1A1均与底面ABCD垂直．点P在侧面BCC1B1上运动，若D1P=7四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间[50，100]内，将成绩数据分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计参赛学生成绩的70%分位数；（2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人．从这6人中任选2人，求此2人分数都在[60，70）的概率．16．（15分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosC+ccosB＝2acosA．（1）求A；（2）若a=23，sinC＝2sinB，求△ABC17．（15分）如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P﹣BCD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若二面角P﹣BD﹣C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值．18．（17分）如图，△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD⊥AC，∠ACB＝∠BAD．（1）已知sin∠ACB=5（ⅰ）求CDBD（ⅱ）若BD=5，求△ABC（2）求b219．（17分）给定三棱锥Ω，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的k阶等距平面，称M为Ω的k阶等距集．（1）若Ω为三棱锥A﹣BCD，满足AB＝CD＝AD＝BC＝4，AC＝BD＝2，求出Ω的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）；（2）如图所示，Ω是棱长为2的正四面体ABCD．（ⅰ）若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能取值以及相对应的α的个数；（ⅱ）已知β是Ω的4阶等距平面，点A与点B，C，D分别位于β两侧．是否存在β，使Ω的4阶等距集为{b，2b，3b，4b}，其中点A到β的距离为b？若存在，求出β截Ω所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由．

2023-2024学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=1A．−i2 B．i2 C．−【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【答案】D【分析】结合复数的四则运算，以及虚部概念，即可求解．【解答】解：z=11−i=故选：D．2．（5分）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（）A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球”【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【答案】B【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，对于A，“至少一个白球”与“至少一个黄球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“恰有一个白球”与“恰有两个白球”不能同时发生，是互斥事件，故B正确；对于C，“至多一个白球”与“至多一个黄球”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，“至少一个黄球”与“都是黄球”能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．3．（5分）在△ABC中，记AB→=m→，AC→A．13m→+23n→ 【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面向量的加减混合运算．【答案】A【分析】由平面向量的线性运算计算即可求得．【解答】解：因为BC→=3DC→，且所以AD→故选：A．4．（5分）若正三棱台上底面边长为2，下底面边长为22，高为2A．53 B．2 C．73 【考点】棱台的体积．【答案】C【分析】先求出正三棱台上底面面积和下底面的面积，再利用棱台的体积公式求解．【解答】解：∵正三棱台上底面边长为2，下底面边长为22∴正三棱台上底面面积为34×(2)2又∵高为23∴该棱台的体积为V=13×（3故选：C．5．（5分）如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A．众数＝平均数＝中位数 B．众数＜中位数＜平均数 C．众数＜平均数＜中位数 D．中位数＜平均数＜众数【考点】中位数；众数；平均数．【答案】B【分析】利用频率分布直方图以及众数，中位数，平均数的定义分析即可求解．【解答】解：由频率分布直方图可知，数据组成的众数为左起底2个小矩形下底边中点值；该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数＜中位数；由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数＜平均数，所以众数＜中位数＜平均数．故选：B．6．（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面【考点】平面与平面平行；直线与平面平行；直线与平面垂直．【答案】D【分析】根据直线与平面以及平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断选项的正误即可．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；对于C，如图，m⊥α，α∩β＝n，m⊥n，此时n⊂α，故B错误；对于C，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，如果m∩n＝A，则α∥β，如果m∥n，可能α与β相交，故C错误；对于D，如图，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D正确．故选：D．7．（5分）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】两颗骰子点数和为奇数与偶数的概率相等，都为12【解答】解：由题意，两颗骰子点数和为奇数与偶数的概率相等，都为12则回答问题①②的人数均为100，两颗骰子点数和为奇数时，点数第一次比第二次大的概率是12所以回答问题①时，大约有100×1所以回答问题②时，大约有57﹣50＝7人回答”是”，故该地区中学生吸烟人数的比例约为7100故选：B．8．（5分）如图，设Ox，Oy是平面内夹角为θ(θ≠π2)的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量OA→=xe1+ye2，则有序数对（x，y）叫做点A在坐标系Oxy中的坐标．在该坐标系下，A（x1，y1），B（x2，yA．线段AB中点的坐标为(xB．△ABC重心的坐标为(xC．A，B两点的距离为(xD．若x1y2＝x2y1，则O，A，B三点共线【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数乘和线性运算的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】C【分析】根据题意，分析可得OA→=x1e1→+y1e2→，OB→=x2e1→+【解答】解：根据题意，OA→=x1e1→+y1e2→，OB→=x2e1→+对于A，设AB的中点为M，则OM→=12（OA→+OB→）=12（x1e1→故线段AB中点的坐标为(x1+对于B，设△ABC重心为G，则OG→=OA→+AG→=OA→+13（OB→−故△ABC重心的坐标为(x1+对于C，AB→=（x1e1→+y1e2→）﹣（x2e1→+y2e2→）＝（x1﹣x则|AB→|2＝（x1﹣x2）2e1→2+（y1﹣y2）2e2→2+2[（x1﹣x2）（y1﹣y2则|AB→|=(x对于D，OA→=x1e1→+y1e2→，OB若x1y2＝x2y1＝0，易得OA→∥OB→，O、A、若x1y2＝x2y1≠0，变形可得x1x2=y1y2，则有OA→综合可得：若x1y2＝x2y1，则O，A，B三点共线，D正确．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知i为虚数单位，复数z1＝2i，z2＝1+i，则下列结论正确的是（）A．z1+B．z1z2所对应的点在第二象限 C．z1D．z【考点】复数的乘法及乘方运算；共轭复数；复数的模．【答案】BC【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数的几何意义，复数模公式，即可求解．【解答】解：z1＝2i，z2＝1+i，则z1+z2＝1+3i，故z1+zz1z2＝（2i）（1+i）＝﹣2+2i，其在复平面对应的点（﹣2，2）位于第二象限，故B正确；z14=(2i)4z24=(1+i)4故选：BC．（多选）10．（6分）已知有限集Ω为随机试验E的样本空间，事件A，B为Ω的子集，则事件A，B相互独立的充分条件可以是（）A．A⊆B B．A＝⌀ C．P(AD．P(【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性；对立事件的概率关系及计算．【答案】BCD【分析】根据题意，由相互独立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，A⊆B，则P（AB）＝P（A），则P（AB）＝P（A）P（B）不一定成立，事件A，B不一定相互独立，不符合题意；对于B，若A＝∅，则P（A）＝0，必有P（AB）＝P（A）P（B）＝0，事件A，B相互独立，符合题意；对于C，若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A对于D，由全概率公式，P（AB）+P（AB）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）＝P（B），又由P(AB)+P(A)P(B)=P(B)，则有P（AB）＝P（A）P（B），事件A，故选：BCD．（多选）11．（6分）如图所示，三棱锥A﹣BCD中，AC＝2，其余棱长均为2．E为棱AC的中点，将三棱锥C﹣BED绕DB旋转，使得点C，E分别到达点C′，E′，且C′E′∥AE．下列结论正确的是（）A．AC′∥平面BED B．EE′⊥C′D C．直线C′B与EE′所成的角为π3D．点A，E，B，D，C′，E′在同一个直径为3的球面上【考点】球内接多面体；异面直线及其所成的角；直线与平面平行．【答案】ACD【分析】对于A，画出图形，根据线面平行定理可解；对于B，证明E′E⊥C′E′，结合图形，EE′不可能垂直C′D；对于C，用平移法，找出直线C′B与EE′所成的角，求出来即可；对于D，用补形成正方体方法求解即可．【解答】解：如图所示，由于EC′∥AE，E′C′＝AE，则四边形E′C′AE为平行四边形，所以E′E∥C′A，因为E′E⊂平面BED，C′A⊄平面BED，则AC′∥平面BED，故A正确；由于三棱锥A﹣BCD中，AC＝2，其余棱长均为2，则AE＝CE＝C′E＝1，因为AB＝AD＝CB＝CD＝BD=2，E为棱AC则等腰三角形ABC和等腰三角形ADC中，DE⊥AC，BE⊥AC，DE∩BE＝E，则AC⊥平面DEB．由A知道，E′C′∥AE，E′C′＝AE，则E′C′⊥平面DEB，E′E⊥C′E′，结合图知道EE′不可能垂直C′D，故B错误；根据旋转特征，可知BE'＝C'D＝C'B=2，四边形BEDE可以求得EE′=2，则由EE′∥C′A，则C′B与EE′所成的角∠BC′A因为AB=C′B=AC′=2，所以△ABC为等边三角形，则∠BC′A=π3由前面的证明可以知道，可以将几何体放在正方体中，如图所示，且正方体棱长为1．A，E，B，D，C，E在上面正方体的外接球上，由正方体性质得外接球直径为d=12+故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．【答案】0.94．【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意可知，甲、乙都没有中靶的概率为（1﹣0.8）×（1﹣0.7）＝0.06，所以甲、乙至少有一人中靶的概率为1﹣0.06＝0.94．故答案为：0.94．13．（5分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a＝2，A=π6，则使得△ABC有两组解的b的值可以是【考点】正弦定理与三角形解的存在性和个数．【答案】3（满足2＜b＜4即可）．【分析】根据题意，列不等式bsinA＜a＜b，解之即可．【解答】解：因为△ABC有两组解，所以bsinA＜a＜b，所以bsinπ6＜2＜b，解得2＜不妨取b＝3．故答案为：3（满足2＜b＜4即可）．14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3，AA1＝3，且平面ADD1A1，ABB1A1均与底面ABCD垂直．点P在侧面BCC1B1上运动，若D1P=7【考点】平面与平面垂直；棱柱的结构特征．【答案】2π3【分析】首先证明α∩β＝l，α⊥y，β⊥y，则l⊥y，即可得到AA1平面ABCD，取B1C1的中点O，连接D1O，即可证明D1O⊥平面BB1C1C，从而确定OP＝2，则点P在以O为圆心，半径r＝2的圆（圆弧）上，确定圆心角，即可求出轨迹长．【解答】解：首先证明α∩β＝l，α⊥y，β⊥y，则l⊥y；如图所示：设α∩y＝n，β∩y＝m，在平面y内取一点P，过点P作直线PM⊥m，过点P作直线PN⊥n，由面面垂直的性质定理可得PM⊥平面β，PN⊥平面α；又α∩β＝l，即l⊂α，l⊂β，所以可得PM⊥l，PN⊥l；又PM∩PN＝P，且PM，PN⊂平面y，可得l⊥y；因为平面ADD1A1，ABB1A1均与底面ABCD垂直，平面ADD1A1∩平面ABB1A1＝AA1，所以AA1⊥平面ABCD，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D中，则CC1⊥平面A1B1C1D1，又底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3，连接B1D1，则△C1B1D取B1C1的中点O，连接D1O，则D1O⊥B1C1，且D1又D1O⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥D1O．又C1C∩B1C1＝C1，C1C，B1C1⊆平面BB1C1C，所以D1O⊥平面BB1C1C，又点P在侧面BCC1B1上运动，即OP⊂平面BB1C1C，所以D1O⊥OP，又D1P=所以点P在以O为圆心，半径r＝2的圆（圆弧）上，在BB1，CC1分别取点E、F，使得B1即OE＝OF＝2，且∠C又CC1＝3＞OP＝2，所以点P在弧EF上，且圆心角∠EOF=π所以点P的轨迹长为2π3故答案为：2π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间[50，100]内，将成绩数据分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计参赛学生成绩的70%分位数；（2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人．从这6人中任选2人，求此2人分数都在[60，70）的概率．【考点】频率分布直方图的应用；百分位数．【答案】（1）a＝0.01，估计参赛学生成绩的70%分位数为82分；（2）25【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再结合百分位数的定义求解；（2）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）由题意可知，a=1设参赛学生成绩的70%分位数为x，则0.1+0.2+0.35+（x﹣80）×0.025＝0.7，所以x＝82，即估计参赛学生成绩的70%分位数为82分；（2）成绩低于70分的学生中，[50，60）中的人数与[60，70）中的人数的比值为12从中用按比例分配的分层抽样抽取6人，则[50，60）与[60，70）中分别抽取2人和4人，记[50，60）中的两人为A1，A2，[60，70）中的4人为B1，B2，B3，B4，从上述6人中任选2人，样本空间为：Ω＝{（A1，A2），（A1，B1）（A1，B2）（A1，B3）（A1，B4）（A2，B1）（A2，B2）（A2，B3）（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3）（B1，B4）（B2，B3）（B2，B4）（B3，B4）}，共包含15个样本点，设事件A＝“2人分数都在[60，70）”，则A＝{（B1，B2）（B1，B3）（B1，B4）（B2，B3）（B2，B4）（B3，B4）}，包含6个样本点，所以P(A)=n(A)故从6人中任选2人，此2人分数都在[60，70）的概率为2516．（15分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosC+ccosB＝2acosA．（1）求A；（2）若a=23，sinC＝2sinB，求△ABC【考点】解三角形．【答案】（1）π3；（2）23【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简可得cosA=1（2）先利用正弦定理化角为边，可得c＝2b，再结合余弦定理，求出b和c的值，即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理及bcosC+ccosB＝2acosA，得sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosA，因为sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，所以sinA＝2sinAcosA，因为sinA≠0，所以cosA=1又A∈（0，π），所以A=π（2）由正弦定理及sinC＝2sinB，得c＝2b，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以12＝b2+4b2﹣2b•2b•12，解得b所以c＝2b＝4，所以△ABC的周长为a+b+c＝23+2+4＝2317．（15分）如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P﹣BCD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若二面角P﹣BD﹣C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值．【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；几何法求解直线与平面所成的角．【答案】（1）证明见解答；（2）34【分析】（1）根据条件得出BD⊥平面POC，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2）根据∠POC为二面角P﹣BD﹣C的平面角，得到∠POC＝60°，结合PH⊥平面BDC，得到∠PBH为直线PB与平面BCD所成的角，求解即可．【解答】解：（1）证明：在图2中，取BD中点为O，连接PO，CO，由ABCD为菱形可知，PO⊥BD，CO⊥BD，又因为PO∩CO＝O，所以BD⊥平面POC，因为PC⊂平面POC，所以BD⊥PC．（2）过P作PH⊥OC于点H，连接BH，由（1）BD⊥平面POC，PH⊂平面POC，得BD⊥PH，因为PH⊥OC，BD∩OC＝O，所以PH⊥平面BDC，所以∠PBH为直线PB与平面BCD所成的角，由（1）知，PO⊥BD，CO⊥BD，则∠POC为二面角P﹣BD﹣C的平面角，所以∠POC＝60°，在△POH中，PO=3，∠POC得PH=3又PB＝2，所以sin∠PBH=PH所以直线PB与平面BCD所成角的正弦值为3418．（17分）如图，△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD⊥AC，∠ACB＝∠BAD．（1）已知sin∠ACB=5（ⅰ）求CDBD（ⅱ）若BD=5，求△ABC（2）求b2【考点】解三角形．【答案】（1）（ⅰ）3；（ⅱ）12．（2）42【分析】（1）（ⅰ）利用三角形的面积公式，正弦定理化简已知等式可得CDBD=5sinBsinC（ⅱ）由（i）知，CD=3BD=35，可求AD（2）利用三角函数恒等变换的应用可求b2+c2a【解答】解：（1）（ⅰ）因为AD⊥AC，∠ACB＝∠BAD，sin∠ACB=5所以sin∠DAC＝1，sin∠DAB=5所以CDBD注意到A=π2+C，A+B+C故B=π−A−C=π故sinB＝cos2C，可得CDBD（ⅱ）由（i）知，CD=3BD=35AD＝CD•sinC＝3，AC=CSΔACD由SΔACDSΔABD=CD故SΔABC＝SΔACD+SΔABD＝12．（2）b2令t=cos可得b2+c故b2+c19．（17分）给定三棱锥Ω，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称α为Ω的k阶等距平面，称M为Ω的k阶等距集．（1）若Ω为三棱锥A﹣BCD，满足AB＝CD＝AD＝BC＝4，AC＝BD＝2，求出Ω的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）；（2）如图所示，Ω是棱长为2的正四面体ABCD．（ⅰ）若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能取值以及相对应的α的个数；（ⅱ）已知β是Ω的4阶等距平面，点A与点B，C，D分别位于β两侧．是否存在β，使Ω的4阶等距集为{b，2b，3b，4b}，其中点A到β的距离为b？若存在，求出β截Ω所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由．【考点】空间中点到平面的距离；集合交并补混合关系的应用．【答案】（1）154，1，7中的任一个；（2）（ⅰ）当a的值为33时，α有4个；当a的值为12时，α【分析】（1）分三种情况分别得