2023-2024学年山西省太原师大附中高一(上)第一次月考数学试卷

2023-2024学年山西省太原师大附中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x＞0，x2+x＜0 B．∃x＞0，x2+x≤0 C．∀x＞0，x2+x≤0 D．∀x≤0，x2+x＞02．（3分）设，则＝（）A． B． C． D．3．（3分）如图，已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．84．（3分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则 C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b25．（3分）如图是函数y＝f（x），x∈[﹣4，3]的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递减，在[﹣1，3]上单调递增 B．f（x）在区间（﹣1，3）上的最大值为3，最小值为﹣2 C．f（x）在[﹣4，1]上有最小值﹣2，有最大值3 D．当直线y＝t与y＝f（x）的图象有三个交点时﹣1＜t＜26．（3分）若函数f（x）＝|x﹣a|在区间（2019，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[2019，+∞） B．（﹣∞，2019） C．（2019，+∞） D．（﹣∞，2019]7．（3分）已知函数f（x）的定义域为（0，2），则函数的定义域为（）A．（3，+∞） B．（2，4） C．（3，4） D．（﹣2，3）8．（3分）若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（）A．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0二、选择题：（本题共4个小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）（多选）9．（3分）下列各项中，f（x）与g（x）表示的函数不相等的是（）A．f（x）＝|x|， B．f（x）＝x， C．f（x）＝x， D．f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝（多选）10．（3分）已知函数是R上的减函数，则实数a的取值可以是（）A． B．1 C．2 D．3（多选）11．（3分）设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（）A．xy的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最大值为2 D．x2+y2的最小值为2（多选）12．（3分）下列说法正确的是（）A．函数y＝在（1，+∞）上的值域为（﹣∞，） B．函数y＝1﹣2x+的值域为（﹣∞，] C．关于x的方程2a+1﹣＝0有解，则﹣≤a≤1 D．当x∈[0，1]时，x2+ax+1+2a＞0恒成立，则a的取值范围为（﹣，+∞）三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知1≤a≤2，0≤b≤3，则a+2b的取值范围为．14．（4分）已知函数y＝f（x），x∈[﹣2，2]，总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．15．（4分）＝x﹣1，则f（x）＝．16．（4分）若f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），则实数a的取值范围是．四、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．（1）若a＝﹣2，求A∩B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（10分）已知，，f（0）＝0．（Ⅰ）求实数a、b的值，并确定f（x）的解析式；（Ⅱ）试用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增．19．（10分）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．20．（10分）已知关于x的不等式：ax2﹣（3a+1）x+3＜0．（1）当a＝﹣2时，解此不等式；（2）当a＞0时，解此不等式．21．（10分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

2023-2024学年山西省太原师大附中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x＞0，x2+x＜0 B．∃x＞0，x2+x≤0 C．∀x＞0，x2+x≤0 D．∀x≤0，x2+x＞0【考点】全称命题的否定．【答案】B【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x＞0，x2﹣x≤0，故选：B．2．（3分）设，则＝（）A． B． C． D．【考点】函数的值．【答案】B【分析】直接把变量代入求解即可．【解答】解：∵，∴＝+2（2﹣1）＝+2＝，故选：B．3．（3分）如图，已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】其他不等式的解法；Venn图表达集合的关系及运算．【答案】C【分析】先解分式不等式化简集合B，然后利用集合运算表示阴影部分，最后写出所有的真子集即可求解．【解答】解：因为，所以∁UB＝{x|x≤﹣1或x＞2}，又A＝{1，2，3，4，5}，而图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{1，2，3，4，5}∩{x|x≤﹣1或x＞2}＝{3，4，5}，所以{3，4，5}的真子集为∅，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共7个．故选：C．4．（3分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则 C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b2【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】C【分析】根据已知条件，结合不等式的基本性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A选项，若a＞b，c＝0时，ac＝bc，故A选项错误，对于B选项，当a＞0，b＜0时，，故B选项错误，对于C选项，∵ac2＞bc2，即（a﹣b）c2＞0且c2＞0，∴a﹣b＞0，即a＞b，故C选项正确，对于D选项，当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D选项错误．故选：C．5．（3分）如图是函数y＝f（x），x∈[﹣4，3]的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递减，在[﹣1，3]上单调递增 B．f（x）在区间（﹣1，3）上的最大值为3，最小值为﹣2 C．f（x）在[﹣4，1]上有最小值﹣2，有最大值3 D．当直线y＝t与y＝f（x）的图象有三个交点时﹣1＜t＜2【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】结合函数的图象，判断函数的单调性以及函数的最值即可．【解答】解：f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递减，在[﹣1，1]上单调递增，[1，3]单调递减；所以A不正确；f（x）在区间（﹣1，3）上的最大值为3，没有最小值，所以B不正确；f（x）在[﹣4，1]上有最小值﹣2，有最大值3，C正确；当直线y＝t与y＝f（x）的图象有三个交点时﹣1≤t≤2，所以D不正确．故选：C．6．（3分）若函数f（x）＝|x﹣a|在区间（2019，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[2019，+∞） B．（﹣∞，2019） C．（2019，+∞） D．（﹣∞，2019]【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】D【分析】显然函数f（x）＝|x﹣a|在区间（﹣∞，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增，由此即可得解．【解答】解：据题设分析知，函数f（x）＝|x﹣a|在区间（﹣∞，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增，所以所求实数a的取值范围是（﹣∞，2019]．故选：D．7．（3分）已知函数f（x）的定义域为（0，2），则函数的定义域为（）A．（3，+∞） B．（2，4） C．（3，4） D．（﹣2，3）【考点】函数的定义域及其求法．【答案】C【分析】由已知函数的定义域求得f（x﹣2）的定义域，结合分母中根式内部的代数式大于0求解．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（0，2），∴由0＜x﹣2＜2，得2＜x＜4，即f（x﹣2）的定义域为（2，4），又x﹣3＞0，即x＞3，∴函数的定义域为（3，4）．故选：C．8．（3分）若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（）A．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0【考点】二次函数的性质与图象；函数恒成立问题．【答案】C【分析】由2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，结合函数的图象性质分类讨论进行求解．【解答】解：2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，①k＝0时，﹣＜0恒成立，②k≠0时，，解可得，﹣3＜k＜0，综上可得，﹣3＜k≤0，故选：C．二、选择题：（本题共4个小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）（多选）9．（3分）下列各项中，f（x）与g（x）表示的函数不相等的是（）A．f（x）＝|x|， B．f（x）＝x， C．f（x）＝x， D．f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】BC【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：对于选项A：函数f（x）定义域为R，函数g（x）的定义域为R，所以两函数的定义域相同，且g（x）＝|x|，所以两个函数是同一个函数，对于选项B：函数f（x）定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≥0}，所以两函数的定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，对于选项C：函数f（x）定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，所以两函数的定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，对于选项D：函数f（x）定义域为R，函数g（x）的定义域为R，所以两函数的定义域相同，且f（x）＝，所以两个函数是同一个函数，故选：BC．（多选）10．（3分）已知函数是R上的减函数，则实数a的取值可以是（）A． B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断．【答案】ACD【分析】根据题意，根据分段函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，因为函数是R上的减函数，则函数f（x）＝x2﹣ax+5在（﹣∞，1]上为减函数，则，可得a≥2，函数在（1，+∞）上为减函数，则a＞0，且有1﹣a+5≥a，解得a≤3．综上所述，2≤a≤3，分析选项：a的值可以为、2或3．故选：ACD．（多选）11．（3分）设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（）A．xy的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最大值为2 D．x2+y2的最小值为2【考点】基本不等式及其应用．【答案】BCD【分析】根据基本不等式，可判定A错误；由，结合基本不等式，可判定B正确；由，可判定C正确；由x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，可判定D正确．【解答】解：对于A中，因为正实数x，y满足x+y＝2，由，所以，解得xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以xy的最大值为1，所以A错误；对于B中，由，当且仅当时，即x＝y＝1时，等号成立，所以的最小值为2，所以B正确；对于C中，由，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以的最大值为2，所以C正确；对于D中，由x2+y2＝（x+y）2﹣2xy≥4﹣2＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以x2+y2的最小值为2，所以D正确．故选：BCD．（多选）12．（3分）下列说法正确的是（）A．函数y＝在（1，+∞）上的值域为（﹣∞，） B．函数y＝1﹣2x+的值域为（﹣∞，] C．关于x的方程2a+1﹣＝0有解，则﹣≤a≤1 D．当x∈[0，1]时，x2+ax+1+2a＞0恒成立，则a的取值范围为（﹣，+∞）【考点】函数的值域；函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【答案】BC【分析】对于A，先分离常数，再结合不等式的性质即可求得函数的值域；对于B，利用换元法结合二次函数的性质，进而求得函数的值域；对于C，求出的范围，结合已知即可求解a的取值范围；对于D，将不等式恒成立转化为﹣a＜，利用基本不等式求出的最小值，即可求解a的取值范围．【解答】解：对于A，函数y＝＝3﹣，因为x＞1，所以x+2＞3，0＜＜，﹣＜﹣＜0，所以＜3﹣＜3，所以函数y＝在（1，+∞）上的值域为（，3），故A错误；对于B，令t＝，t≥0，则x＝t2﹣2，所以y＝1﹣2（t2﹣2）+t＝﹣2t2+t+5＝﹣2（t﹣）2+≤，所以函数y＝1﹣2x+的值域为（﹣∞，]，故B正确；对于C，令﹣x2+2x+8≥0，解得﹣2≤x≤4，故＝∈[0，3]，关于x的方程2a+1﹣＝0有解，则2a+1＝∈[0，3]，解得﹣≤a≤1，故C正确；对于D，当x∈[0，1]时，x2+ax+1+2a＞0恒成立，即x2+1＞﹣a（x+2）恒成立，因为当x∈[0，1]时，x+2∈[2，3]，所以﹣a＜，令g（x）＝＝（x+2）+﹣4≥2﹣4，当且仅当x+2＝，即x＝﹣2时取得等号，所以﹣a＜2﹣4，即a＞4﹣2，即a的取值范围为（4﹣2，+∞），故D错误．故选：BC．三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知1≤a≤2，0≤b≤3，则a+2b的取值范围为[1，8]．【考点】简单线性规划；不等关系与不等式．【答案】见试题解答内容【分析】求出0≤2b≤6，由不等式的性质即可得出答案．【解答】解：根据题意，1≤a≤2，0≤2b≤6，∴1≤a+2b≤8，即a+2b的取值范围为1≤a+2b≤8．故答案为：[1，8]．14．（4分）已知函数y＝f（x），x∈[﹣2，2]，总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是[﹣1，1）．【考点】抽象函数及其应用．【答案】[﹣1，1）．【分析】根据题意，分析函数的单调性，结合函数的定义域可得关于m的不等式，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x），x∈[﹣2，2]，总有，则f（x）在区间[﹣2，2]上为增函数，若f（m+1）＞f（2m），则有，解可得﹣1≤m＜1，即m的取值范围为[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．15．（4分）＝x﹣1，则f（x）＝x2﹣2x（x≥1）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【答案】f（x）＝x2﹣2x（x≥1）．【分析】利用换元法求解即可．【解答】解：＝x﹣1，令t＝+1，则t≥1，且x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2﹣1＝t2﹣2t（t≥1），∴f（x）＝x2﹣2x（x≥1）．故答案为：f（x）＝x2﹣2x（x≥1）．16．（4分）若f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），则实数a的取值范围是（0，]．【考点】二次函数的性质与图象；全称量词和全称命题．【答案】见试题解答内容【分析】存在性问题：“若对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立”，只需函数y＝g（x）的值域为函数y＝f（x）的值域的子集即可．【解答】解：若对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，只需函数y＝g（x）的值域为函数y＝f（x）的值域的子集即可，函数f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，x∈[﹣1，2]的值域为[﹣1，3]，下求g（x）＝ax+2的值域，当a＞0时，g（x）的值域为[2﹣a，2+2a]，要使[2﹣a，2+2a]⊆[﹣1，3]，需，解得0＜a≤，综上所述，a的取值范围为（0，]．故答案为：（0，]．四、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知p：实数x满足集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，q：实数x满足集合B＝{x|x≤﹣2或x≥3}．（1）若a＝﹣2，求A∩B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算．【答案】（1）A∩B＝{x|﹣3≤x≤﹣2}；（2）（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．【解答】解：（1）因为a＝﹣2，所以A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，又B＝{x|x≤﹣2或x≥3}，所以A∩B＝{x|﹣3≤x≤﹣2}．（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以a+1≤﹣2或a﹣1≥3，解得：a≤﹣3或a≥4，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）．18．（10分）已知，，f（0）＝0．（Ⅰ）求实数a、b的值，并确定f（x）的解析式；（Ⅱ）试用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增．【考点】函数单调性的性质与判断；函数解析式的求解及常用方法．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得，解可得a、b的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，设x1＜x2＜﹣2，利用作差法分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，，若，f（0）＝0，则有，解可得：a＝1，b＝0，则f（x）＝，（Ⅱ）证明：根据题意，设x1＜x2＜﹣2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，又由x1＜x2＜﹣2，则（x1+2）＜0，（x2+2）＜0，（x1﹣x2）＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增．19．（10分）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法．【答案】（1）f（x）＝x2﹣x+1；（2），f（x）max＝3【分析】（1）先设出函数解析式，然后代入已知条件可分别求出a，b，c，进而可求函数解析式；（2）根据函数的性质可判断函数在[﹣1，1]上单调性，进而可求函数的最值．【解答】解：（1）由题意f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝1，∴c＝1．则f（x）＝ax2+bx+1，又∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2ax+a+b，即2ax+a+b＝2x，由，解得：a＝1，b＝﹣1，f（x）＝x2﹣x+1．（2）由（1）知，根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴，∴当时，f（x）有最小值，当x＝﹣1时，f（x）有最大值3；∴f（x）的值域为20．（10分）已知关于x的不等式：ax2﹣（3a+1）x+3＜0．（1）当a＝﹣2时，解此不等式；（2）当a＞0时，解此不等式．【考点】其他不等式的解法．【答案】（1）不等式解集为{x|x＜﹣或x＞3}；（2）当a＝时，解