中科大机械设备非平稳信号的故障诊断原理及应用讲义04非平稳信号处理方法的时频分析及应用

第四章非平稳信号处理方法的时频分析及应用众所周知，任何信号可表示为不同频率的正弦波的迭加，经典的傅立叶分析能够完美地提供了平均的频谱系数，这些系数只与频率有关，而与时间无关。传统谱分析要求所分析的随机过程是平稳的，即过程的统计特性不随时间的推移而改变。然而，许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如记录下来的语音或音乐的声压信号；振动中的冲击响应信号；机组启、停机信号等等。当然，非平稳信号的谱密度也可以用传统的谱分析方法来计算，可是所为基函数ej2πft(ej2πft=cos2πft+jsin2πft)去变换信号x(t)，得到其频谱X(f)，即X(f)=x(t)e_j2πftdt=x(t)(ej2πft)∗dt(4.1)这里∗表示共轭，j=_1。这一变换建立了一个从时域到频域的通道。频谱X(f)显示了用时间信息。为了克服傅立叶变换不能同时进行时频分析的不足，对于非平稳、非正弦的机电设备动态信号的分析，必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法，才能提供故障特征全貌，正确有效地进行故障诊断。作为非平稳时频分析比较有效的方法除了第三时窗来进行傅里叶变换，从而实现了在时间域和频率域上都具有较好局部性的分析方法，这设h(t)是中心位于τ宽度有限的时窗函数，x(t)是通过h(t)所观察到的平稳信号。由加窗信号x(t)h*(t_τ)的傅立叶变换便产生短时傅里叶变换这一变换将信号x(t)影射到时频二维平面(τ,f)上。这里h(t_τ)ej2πft是STFT的基函数。参数f可视为傅立叶变换中的频率，傅立叶变换中的许多性质都可应用于短时傅立叶变换。这里，窗函数h(t)的选取是关键。由于高斯函数的傅立叶变换仍然是高斯函数，因此，最优时考虑到短时傅立叶变换区分两个纯正弦波的能力，当给定了时窗函数h(t)和它的傅立叶变换H(J)，则带宽ΔJ为低频率分辨率，反之亦然。因此，时间与频率的最高分辨率是一旦确定，则在整个时频平面上时频分辨率保持不变。短时傅立叶变换能够分析非平稳动态信号，但由于其基础是傅立叶变换，更适合分析准平稳（quasi-stationary）信号。如果一信号周期成反比，因此反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需要用宽时窗。这被认为是近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳信号分析展示了美好的前景。它作为一种数学理论和分析方法正在科技界引起），何分辨能力的缺点，A.Harr正交系在时域中实现了完全的局析，统一了前人所提出的各类正交小波构造。给出了把信号及图像按不同频带的分解算法及M.V.Wickerhauser及合作1993年，DavidE.Newland提出了谐个波形的线性展开，此波形是为了最好地匹配信号的结构而选自于函数字典库，进而实现信WaveletPacket)[25]。1998小波进行相关滤波，分离出信号中的冲击响应，应用于航空机翼系统模态参数识别[26]。程正使小波变换的研究和应用不断深入。综上所述，近一个世纪，特别是近二十年以来，小波理论和算法得到了突飞猛进的发展。它为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一个统一的框架[28]，已广泛应用于信号及图象处理、语音分析、数值计算、模式识别、量子物理、故进行了深入的理论研究和大量的工程应用，取得了丰硕的成果，在不同的领域里撰写了很有价值的著作[29,30,31,32,33,34,35,42,4称为小波。因此，把小波称为子波也很有道理。这里a_1/2可保证在伸缩过程中能量归一。信对照式(4.1.1)，可见小波变换是用小波基函数ψ代替傅里叶变换中的基函数ej2πft以及短时傅立叶变换中的基函数h(t_τ)ej2πft，而ψ有极其丰富的连续和离散形式，包括ej2πft的三角基函数。小波变换的实质就是以基函数ψ的形式将信号x(t)分解为不同频带的子信对信号x(t)在尺度上进行变化，即x(t)→x(at)，这里尺度因子a>0。如果a>1，则信号波形收缩；反之，若a<1，则波形伸展。现在式(4.2.2)通过变量置换可改写为[28]公式(4.2.2)表明，当尺度因子a增加，函数ψ((t_b)/a)（滤波器脉冲响应）在时域中伸展，可计及信号更长的时间行为。公式(4.2.3)表明，随着尺度因子a的增加滤波器ψ(t_b/a)观察到被压缩了的信号波形x(at)。显而易见，尺度因子a解释了信号在变机械监测诊断的实质是如何提取机器的故障特征信息，并利用模式识别方法进行故障分类。当机器发生故障时，因机器各零部件的结构不同和运行状态不同，导致动态信号波形十分复杂、不平稳，而且信号所包含机器不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带里。问题的关键是如何分离并提取不同频带里的故障特征频率，特别是当复杂、不平稳的动态信号中隐藏有某些零部件早期故障的微弱信息，如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断。这些问题往往使传统的信号分析技术无能为力。小波变换能够把任何信号映射到由带、不同时刻的合理分离。这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤波器而不丢失任何原始信息。这些功能为动态信号的非平稳性描述、机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。在此特别要强调，这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波基函数的正交性。它们对机械设备监测诊断的应用十4.2.1多分辨分析及其工程意义在Vj+1中的正交补空间。这些子空间具有以下性质[18,29,30,31,32,33,34,35,42,44,45]：2、渐近完全性：Vj=L2Vj=(4.2.5)φ(2jt_k)多分辨分析定义中有两种情况，一类定义用Vj代表分辨率为2j的多分辨分析子空间，另一类定义用Vj代表分辨率为2_j的多分辨分析子空间。这里采用前者。性质1表明分辨率为2j+1的子空间Vj+1中的逼近信号包含了分辨率为2j的子空间Vj的信息以及分辨率低于2j的所有信息。这也称为因果性质(causalityproperty)。性质2表明所有子空间组成L2(R)函数空间。随着分辨率的提高，逼近信号就更接近原始信号；反之，随着分辨率的降低，逼近信号所包含的信息就越来越少。因此，在以分辨率为2j时得到的逼近信号与原始信号相比较，将会丢失部分信息。性质3表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变性质5表明Wj是Vj在Vj+1中的正交补空间，是Vj+1中所有与Vj正交的函数集合。符号⊕正交，即Vj⊥Wj。我们可以从Vj+1空间得到以分辨率为2j的Vj空间中的逼近信号，从Vj+1空间得到以分辨率为2j的Wj空间中的细节信号。特别地，若j=0，则式(4.2.8)直接给出V0空间的尺度函数φ(t)与W0空间的小波函数ψ(t)之间的正交性，即内积反复使用式(4.2.8)和关系Vj⊥Wj，可以得到小波逼近空间表达式L2(R)=…⊕W_1⊕W0⊕W1⊕…=ZWj(4.2.11)2（l20<A≤B<+∞k∈Z的有界性条件，A和B分别称为Riesz基下界和上界。根据式上述这些性质为机械监测诊断信息的提取和利用指明了方向。我们可利用性质1、2、3和4认识到信号的整体与局部逼近信号的关系以及由整体到局部或局部到整体的分析途径。在应用小波理论对监测诊断信号进行分解或重构时，不同的j（分解或重构的层次）意味不同的分辨率2j，所得到的分解或重构信号是Vj及Wj子空间中的信息，这些子空间中的投影信如果ψ(t)是正交小波，那么L2(R)的子空间Wj相互正交，得到式(4.2.11)的正交和的形式。式频带信息无冗余、不疏漏，这应归功于小波函数的正交性。采用正交小波变换，能够保证逼近信号与细节信号相互独立，即各自都不包含其它空间（频带）的信息。用小波变换对信号进行多次分解，由式(4.2.11)得到的各细节信号也相互独立。位于某个频带的分解信号由于独立性就只提供该频带中的机械故障信息，这就缩小了我们查找故障的范围，提高了诊断的准的线性组合表示。任何一种线性分解的基函数都希望是线性独立的，由式(4.2.12)容易知道，Riesz基的元素是线性独立的，它没有冗余的元素。这为寻找小题的答案。若由L2(R)中的母小波ψ(t)生成的小波ψj,k(t)=2j/2ψ(2jt_k)，j,k∈Z，是L2(R)的一个Riesz基，就能保证小波ψj,k(t)的冗余度尽可能小，这对故障特征提取十分有现举例说明基于多分辨分析逼近空间Vj和细节空间Wj的频带范围。设L2(R)空间中的信=2}2}2}可见，小波变换的多分辨分析已将信号x(t)分解到互相衔接的频带Vj和Wj中，根据机4.2.2正交小波基的构造与信息独立化的提取我们知道小波变换的框架(frame)理论中，小波框架一般是冗余的，因为它的元素不是线性无关，由小波框架理论产生的小波一般是非正交小波。虽然这种冗余在许多应用中有用，例如在信号的重构中，但是在更多的应用中，特别在机械监测诊断过程中，我们希望尽可能jj,k定义4.2.1[34]（正交小波）一个在L2(R)中的Riesz小波ψ(t)称为正交小波，若其生成定理4.2.1[13][34]令Vj（其中j∈Z）是L2(R)空间(R)使得j,k=2j/2φ(2jt-k),k∈Z(4.2.13)必定是Vj内的一个标准正交基，其中φ(t)称为尺度函数。0,ngn=(_1)1_nh(1_n)(4.2.14)Wj=spanL2(R)jj能j(t)=φ0,0(t)可以利用V1子空间的尺度基函数φ1,n(t)=21/2φ(2t_n)展开，展开系数为{hn}n∈Z。另一方面，0,0(t)对式(4.2.16)两边作Fourien=_∞n=_∞或n=_∞n=_∞nn∈Z在工程上被称为正交镜像滤波器(QuadratureMirrorFilters)hn_2jhn_2k=δj,k,H(⑴)和G(⑴)是QMF的频域形式。波函数ψ(t)和尺度函数φ(t)都必须是正交的。由尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)的正交2+G(2=H(⑴)G∗∗式(4.2.21)、(4.2.22)和(4.2.23)是构造正交小波时滤波器H(⑴)和G(⑴)必须满足的三个条件，它们分别来自尺度函数的正交性、小波函数的正交性以及尺度函数与小波函数之间的正_j⑴H∗(由于具有式(4.2.24)的形式，常将H(⑴)和G(⑴)称作二次镜像滤波器。由上式及(4.2.20)可得比较最后两个等式两边e_j⑴k的系数，可以得到小波系数gn与尺度系数hn之间的关系为∗省略。可见，要构造满足正交三条件式(4.2.21)、(4.2.22)和(4.2.23)这里n=2p+2，且H(4.2.28)通滤波器。小波函数ψ(t)及其傅立叶变换(⑴)示于图(4.2.2)，小波函数是带通滤波器。在实际应用中，很少直接使用镜像低通滤波器H(⑴)，通常使用它的脉冲响应序列nh0=0.541736h2=h20=h21=0.000083h4=0.022685h22=h23=提取。设Aj是多分辨向量空间Vj∈L2(R)中的线性投影算子，以分辨率测信号x(t)∈L2(R)。在分辨率为2j的所有逼近函数中，Ajx(t)与x(t)最相似，有j,y(t)-x(t)≥Ajx(t)-x(t)(4.2.29)称Ajx(t)为逼近信号。由于Vj=Vj-1⊕Wj-1，得到唯一的表达式Ajx(t)=Aj-1x(t)+Dj-1x(t)(4.2.30)这里Dj-1x(t)是分辨率为2j的细节信号，它包含了Ajx(t)和Aj-1x(t)之间的信息差。重复kx(t)∈Wk。将Ajx(t)和Djx(t)表示为利用尺度函数φ(t)、小波函数ψ(t)的正交性和关系Ajx(t)=Aj-1x(t)+Djx(t)，可证明c-1d-1引入无穷矩阵符号H=[Hn,k],k=-∞和G=[Gn,k=g-2n，则式(4.2.33)、(4.2.34)的算法可分别简单记为[29][34]j=0,-1,…,-J(4.2.35)cj=H*cj-1+G*dj-1j=-J,…,-1,0(4.2.36)式中H*和G*分别是H和G的对偶算子，即H和G的共轭转置矩阵。式(4.2.35)和式(4.2.36)示为A0xk。由式(4.2.33)可得到相应的分解表达式[13]~这里hm=h-m；m=g-m。Aj-1xn和Dj-1xn是隔二抽取后的结果，它们的数据长度分别是分解前的信号Ajxk的数据长度的一半。Mallat给出的信号重构表达式为Ajxkhk-2nAj-1xngk-2nDj-1xnj=-J,…,-1,0有涉及尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)的具体形式，而是直接运用低通滤波器和带通滤波器的n{gn}n∈Z参与运算，运算量正比于O(Nlog2N)，这里N是数据长度。在分解），的新序列。这样，每次分解所得到的逼近信号和细节信号的数据长度是上一次逼近信号数据在重构计算的每一步中，先在数据之间插补零后再参与同低通、带通滤波器系数的运算，结中的地位[29][34]。在小波数值计算中，一个优点是只要用较低精度计算小波系数就足够了。例如，为了能够用10_3精度重构原信号，只要计算小波系数到10_2精度即可。Morlet最早注意到这一事实[33]。这一事实在理论上可多分辨分析和正交小波变换为机械监测诊断提供了有效的手段，正交小波变换将原始信再指出了这一点。尽管精确地给出这些频带之间的重叠量是困难的，但是能够控制它们，这也是借助于小波函数的正交性。这些独立频带中的分解信号携带着机械设备运行时不同零部件的状态信息，正交性保证了这些状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了监测诊断信息，比傅立叶变换更适合处理非平稳动态信号。因此，这种理想的方法在机械设备状态从本章第2节所讨论的小波变换和多分辨分析可以看到，于其尺度是按二进制变化的，每次分解得到的低频逼近信号和高频细节信号平分被分解信号的频带，二者带宽相等。由式(4.2.37)或(4.2.38)可看到，小波变换对信号的分解都是对低频逼近信号Ajxk进行再分解，不再对高频细节信号Djxk进行分解。若离散信号A0xk的频率上限是JN，则首次分解信号A1xk的频带为0至2_1JN，D1xk的频带为2_1JN至JN；第二次分解则对A1xk进行分解，而D1xk保持不变，得到分解信号A2xk和D2xk。A2xk的频带为0至2_2JN，D2xk的频带为2_2JN至2_1JN；依此类推。这样，对信号的频带进行指数等间隔划这些分解频带相互独立，信息无冗余，也不疏漏。小波变换的这种分解方式，高频频带信号在实际应用中，往往希望提高高频频带信号的频率分辨率，如何解决这一问题，小波包方法，它在全频带对信号进行多层次的频带划分，不仅继承了小波变换所具有的良好时频局部化优点外，继续对小波变换没有再分解的高频频带作进一步的分解，从而提高了频率分辨x(x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)x(9)x(10)x(11)x(12)x(13)x(14)x(15)x(t)=x(1)A1xD1xA2xD2xA3xD3xx(t)后的两个频带不交叠，输出的两个频带的带宽减半，因此采样率可以减半而不致引起信息的丢失。这是因为带通信号的采样率决定于其带宽，而不决定其频率上限[42][43]。这就是Mallat空间L2(R)分解为小波子空间Wj(j∈Z)的正交和，小波包分析就是进一步对小波子空间按现定义一组递归函数wn∈L2(R),n和式中gk=(-1)kh1-k，即两系数也具有正交关系。当n=0时，上式的w0(t)和w1(t)分别对应于φ(t)和ψ(t)。定义如下算子H和G可以证明，它们有共轭算子H∗和G∗,且对于H、G、H∗和G∗,HH∗、GG∗是l2(l∈Z)上的正交投影算子，且有H∗H+G∗G=I；HG∗=0；l2=H∗l2⊕G∗l2。式(4.3.2)可写成为当n=0，则有子空间U统一表示则Hilbert空间的正交分解Vj+1=Vj⊕Wj可用U的分解统一表示U+1=U⊕U,j∈Z(4.3.9)(R)，有(R)有U+1=Un⊕Un+1,j∈Z(4.3.12)对照(4.3.12)，显而易见Un对应于w2n(t)，Un+1对应于w2n+1。根据多分辨分析关系L2(R)=⊕Wj,j∈Z，用Wj1代替U+1，得到小波包子空间Wj1中的分解关系Wj1=U+1=Un⊕Un+1,j∈Z(4.3.13)小波包对小波子空间Wj进行逐步分解，令n=1,2,…；j=1,2,…，得到如下的分解表示(j-k)/2w2k+m(2j-kt-l);l∈Z}(4.3.15)它正是正交小波基函数ψj,l(t)。图4.3.1a)和b)分别是信号x(t)的小波分解和小波包分Dkx分别表示式(4.2.37)中的分解信号Aj-kxn和Dj-kxn。图4.3.1b)中，用x(2k+m)表示式(4.3.14)可见,小波分解中的细节信号Dj-kxn被继续分解。由此，对于任意小波级数Dj,k,mxk,mw2k+mm=0,1,…,2k-1的正交和，其中Dj,0,0x(t)=Djx(t)。式(4.3.17)是式(4.3.14)的一个统一表达式。可见，小波4.4.1轧钢机振动分析[36][37]热轧机是钢厂的重要设备，在轧钢过程中，振动信号不平稳。某钢厂热轧机的电机功率近联轴节一端轴承座垂直方向的振动。图4.4.1是钢锭进入轧机前后，在电频谱，谱图上除了显示一宽带噪声外，几乎提供不了更多的信息。图4.4.2钢坯的温度、尺寸、速度、位置等因素有关。进一步研究，可对轧制工艺、轧机响应和动态设计提供有益的信息。此外，在时频图上两个宽带响应后的低频区，随着时间的增加，能量D1、D2、D3和D4。各分解信号左、右两个数值表示该信号所在频带的起始、结束频率值，由开始得到的三个低频逼近信号A1、A2和A3所在的频带和波形，可看到明显的幅值调制现入轴频率9.85Hz)调制(调幅)，造成振动幅值大小波动。这与齿轮箱输入轴的弯曲以及轴上的惯性飞轮质量偏心有关。此外，在750~1500Hz频带中的高杂乱、密集的小脉冲。而轧机空载时该频带中的高频细节信号D1的波形上这类脉冲很少见，4.4.2大型矿山电铲提升系统振动分析[38][39]大型电铲的运行工况是时变的、非平稳的，传统的监测诊断方度）分析方法可开展对变工况、非平稳运行设备的状态监测和故障诊图4.4.4是WK3B-4电铲提升系型号。测试系统是自行设计的，用加速度传感器测量无级调速电机的瞬时转速[46]。下面以电4.4.2.1下降过程振动分析反映了系统制动停车后再启动出现的振动及冲击波形（在该图中表现在出现冲击波形时可得导致摩擦力增加，在各倍啮合频率之间出现杂乱的有色噪声分量，这正是具有不稳定摩擦现它对齿轮箱、齿轮和轴承的损害较大。应提高制动效率和改进操作方式，以减小冲击和提高4.4.2.2提升增速过程振动分析图4.4.7是提升增速过程测点4的振动波形。图4.4.8和图4.4.9分别是该振动波形的齿轮，对于加工完好的新齿轮在运行中的振动信号，主要分量应该是1倍啮合频值在两种时—频分布图上都很显著，可知齿轮存在不均匀的加工误差和磨损缺陷。此外，从4.4.2.3挖掘过程振动分析解4次，得到低频逼近信号A4和高频细节信号D1、D2、D3和D4。图4.4.12是图4.4.10的动，即造成信号不对称均值（零线）的分量[40]。这是挖掘过程中操作工人操纵无级调速电机造成的变工况所引起的，不是故障。然而，这种附加脉冲使得图4.4.10所示的动信号变得扭曲起伏，很不平稳，给监测诊断造成很大困难。小波和小波包时间—尺度分析方法，将挖掘工况中的附加脉动提取出来，不仅可看到挖掘力的波动变化，也使其他频带的4.4.3压缩机齿轮箱轴瓦监测诊断[39][1]AndrewBruce,DavidDonohoa[3]NewlandDE.Wavele[4]GaborD.Theoryofco[5]HaarA.Zurtheoriederorthog[7]Grossman