中科大机械振动理论及其应用课件第4章 连续系统

第4章连续系统振动理论及其应用4.1引言4.2弦振动4.3杆的纵向振动4.4杆的扭转振动

4.5梁的横向振动4.6薄板的横向振动4.7展开定理

4.8瑞利商4.9响应分析4.10有限元法简介

第4章连续系统

4.1引言力学模型的组成

连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。连续系统与离散系统的关系连续系统离散系统简化、离散化自由度n趋向于无穷连续系统与离散系统的区别

连续系统离散系统自由度连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。描述系统的变量有限个无穷多个时间时间和空间位置微分方程二阶常微分方程组偏微分方程组方程消去时间变量后代数方程组微分方程的边值问题第4章连续系统

4.2弦振动振动微分方程由离散系统方程导出将连续的弦作离散系统考虑，即由无质量的弦联接n个离散的质量mi。每个质量上所受的力为Fi质量mi的受力分析如图。对质量mi在y方向的受力和加速度运用牛顿第二定律：或由于弦两端固定，因此有设或第4章连续系统

4.2弦振动振动微分方程由离散系统方程导出或或两边除以Dxi当质量数无穷多时，Dxi趋近于零，方程可写成其中，由于用x替换了变量xi

，因此对时间的全导数转换成偏导数，而增量比用对x的偏导数表示。第4章连续系统

4.2弦振动振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L、两端固定的弦上受均布载荷f(x,t)，弦上x处的张力与单位长度质量密度分别为T(x)和r(x)。

根据牛顿定律，任一瞬时作用在微弦段上y方向的力与微弦段的加速度有如下关系

质量为rA

dx的微段dx，隔离体受力分析图展开、消去相关的项、略去dx的二次项，然后两边除以dx得或第4章连续系统

4.2弦振动自由振动特征值问题方程边界条件用分离变量法，设：代入方程：两边同除以Y(x)r(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：第4章连续系统

4.2弦振动自由振动特征值问题从关于时间的方程

从关于位置x的方程可以确定位移的形状Y(x)，它必须在区间0<x<L满足方程及边界条件Y(0)=Y(L)=0。解得

F(t)

上式为包含未知常数w2的二阶常微分齐次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有两个积分常数，而已知边界条件只有两个。

从方程可以看出，如果Y(x)是偏微分方程的解，那么a

Y(x)（a是任意常数）也是方程的解。

这意味着，求解满足边界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程的未知常数wi和对应的函数Yi

(x)。与离散系统对应，wi2称为特征值（即系统的固有圆频率平方），而Yi

(x)称为特征函数（主振型）。第4章连续系统

4.2弦振动自由振动特征值问题

同样地，与离散系统对应，若特征函数Yi

(x)经正则化处理，则它们关于质量密度和张力正交：对初始扰动的响应

与离散系统类似，利用正交的正则化特征函数集Yi

(x)（i=1,2,…）的线性组合，可以表示连续系统在初始扰动下的响应。

代入方程，两边左乘Yi

(x)，并对整个区间[0,L]积分，利用特征函数的正交性：解为常数Ci

和j

i

由初始条件得到。第4章连续系统

4.2弦振动自由振动例

4.1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。解由题意，系统的T和r

为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知Y(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件Y(0)＝0可得B=0,则由边界条件Y(L)＝0可得由于A不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为第4章连续系统

4.2弦振动自由振动例

4.1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。特征函数为正交性验证由正则化要求正则化的特征函数第4章连续系统

4.2弦振动自由振动例

4.1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。正交性验证三角函数积化和差积分第4章连续系统

4.2弦振动自由振动例

4.1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。正交性验证三角函数积化和差积分第4章连续系统

4.3杆的纵向振动振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L、两端固定的杆上受均布轴向力f(x,t)，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分别为E

A

(x)和m(x)。

根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的轴向内力与轴的应变成正比

取杆的微段dx，隔离体受力分析图或

根据牛顿定律，任一瞬时作用在杆微段上的轴向力与杆微段的加速度有如下关系第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题方程边界条件用分离变量法，设：代入方程：两边同除以U(x)m

(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题从关于时间的方程

从关于位置x的方程可以确定位移的形状U(x)，它必须在区间0<x<L满足方程及边界条件U(0)=U(L)=0。解得

F(t)与弦振动的特征值问题作比较结论只要把弦振动特征值问题中的Y(x)

、T(x)和r

(x)换作U(x)

、EA(x)

和m(x)

就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题例

4.2图示均匀杆两端固定，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件U(0)＝0可得b=0,则由边界条件U(L)＝0可得由于a不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题例

4.3图示均匀杆两端自由，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写由x=0处的边界条件可得a=0,则由x=L处的边界条件可得由于b不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题例

4.4图示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件U(0)＝0可得b=0,则由于a不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为由x=L处的边界条件可得第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题讨论

作纵向振动杆的边界状况、频率方程和振型函数边界状况频率振型函数两端固定两端自由一端固定一端自由第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题例

4.5设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量为m、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为M的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：或固定端的边界条件不变，U(0)＝0，而自由端有：代入整理得第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题例

4.5设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量为m、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为M的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。对于上述超越方程，只要给定系统参数，就能得到系统的特征值wi

。特征方程由边界条件U(0)＝0可得b=0,则从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写边界条件由x＝L

处的边界条件得或特征函数为U

i

为第4章连续系统

4.3杆的纵向振动自由振动特征值问题讨论

作纵向振动杆边界条件的讨论边界状况左端右端固定自由带有弹簧k带有集中质量M第4章连续系统

4.4杆的扭转振动振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L、一端固定一端自由的杆上受均布外扭矩M(x,t)与轴的转角q

同向，杆的扭转刚度与单位长度转动惯量分别为G

IP

(x)和J(x)。

根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的扭转内力矩之与轴的剪应变成正比

取杆的微段dx，隔离体受力分析图或

根据动量矩定律，任一瞬时作用在杆微段上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题方程边界条件用分离变量法，设：代入方程：两边同除以Q

(x)J

(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题从关于时间的方程

从关于位置x的方程可以确定位移的形状Q

(x)，它必须在区间0<x<L满足方程及边界条件。解得

F(t)与弦振动的特征值问题作比较结论只要把弦振动特征值问题中的Y(x)

、T(x)和r

(x)换作Q

(x)

、GIP

(x)

和J(x)

就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题例

4.6图示一端固定，另一端自由均匀杆的扭转刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的GIP和J为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知Q

(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件Q

(0)＝0可得b=0,则由于a不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为由x=L处的边界条件可得第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题例

4.7设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为J1和J1的刚性薄圆盘组成，整个轴系在扭转角方向无约束。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。解由题意，系统的GIP和J为常数，因此系统满足如下方程：其中：或两边的边界条件为：第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题代入整理得例

4.7边界条件利用第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题例

4.7分离变量后的方程从方程可知Q

(x)是x的简谐函数，一般可写整理：或：频率方程：设：频率为：振型为：由边界条可得：第4章连续系统

4.4杆的扭转振动自由振动特征值问题例

4.7讨论1频率为：频率方程为：即：相当于两端自由的圆轴作自由振动。振型为：讨论2J1和J2很大相当于忽略轴质量的两自由度系统的非零频率。4－1设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为J2的刚性薄圆盘组成，轴系一端固定。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。第4章连续系统习题第4章连续系统

4.5梁的横向振动振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L的细长梁（梁的长度与截面高度比大于10）上受y方向的均布载荷f(x,t)，梁的弯曲刚度与单位长度质量分别为E

I

(x)和m(x)。

取梁的微段dx，作隔离体受力分析图

根据牛顿第二定律，任一瞬时作用在梁微段上的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系根据梁微段的力矩平衡，有如下关系当梁的截面尺寸与长度相比较小时，根据材料力学，梁的弯矩与变形的关系为忽略dx的二次项：代入上述力平衡方程，得第4章连续系统

4.5梁的横向振动振动微分方程从连续系统直接导出把弯矩M与位移y的关系代入方程，得

梁的横向振动在0至L的区间应满足上述Euler-Bernoulli梁方程（包含对位置的四阶导数），在边界应满足一定的边界条件。常见的边界条件有：固支铰支自由第4章连续系统

4.5梁的横向振动振动微分方程旋转惯量与剪切变形的影响

设长度为L的等截面梁上受y方向的均布载荷f(x,t)，梁的弯曲刚度、剪切模量、截面积和质量密度分别为E

I

、G、A和r

。

当梁被横截面细分成较短的部分时，旋转惯量与剪切变形对高频振型的影响必须考虑。取梁的微段dx，作隔离体受力分析图。

根据D’Alembert原理，忽略dx的二次项有如下关系：挠度曲线的斜率是剪力与弯矩共同作用的结果，即：式中：y为与截面形状有关的因子。第4章连续系统

4.5梁的横向振动振动微分方程旋转惯量与剪切变形的影响将上述关系综合并整理得：忽略剪切变形，得到仅考虑旋转惯量的方程：系统作自由振动时：Timoshenko梁振动方程第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题对细长梁，方程为：设：两边同除以Y(x)m

(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：特征值问题为：第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题解：由题意特征值问题为：例

4.8图示均匀细长梁两端固定，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。其中，方程的解有以下形式：对固支的梁，边界条件有：由四个边界条件得：消去a、b、c、d、，可得：特征方程特征值由数值解获得其中特征函数为第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题解：由题意特征值问题为：例

4.9图示均匀细长悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。其中，方程的解有以下形式：对悬臂梁，边界条件有：由x=0处的边界条件得：则Y(x)可改写为：由x=L处的边界条件得：a和b有非零解的充要条件为：整理得特征方程：从数值解得到特征值：第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题例

4.9图示均匀悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。特征向量为：第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题解：由题意特征值问题为：例

4.10图示均匀细长梁两端铰支，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。其中，方程的解有以下形式：对铰支的梁，边界条件有：由x=0处的边界条件得：特征方程：则特征值为正则化的特征函数为由x=L处的边界条件得：第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题均匀梁的频率方程、特征函数和特征值边界条件频率方程、特征函数第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题均匀梁的频率方程、特征函数和特征值边界条件频率方程、特征函数第4章连续系统

4.5梁的横向振动自由振动特征值问题均匀梁的频率方程、特征函数和特征值边界条件频率方程、特征函数第4章连续系统

4.5梁的横向振动连续梁的振动图示任意相邻两跨连续梁，假定每跨都有均布质量与刚度。对任意跨i,可利用均匀铰支梁的解写出其振型函数：其对位置的一阶和二阶导数为：边界条件为：由上述边界条件得：第4章连续系统

4.5梁的横向振动连续梁的振动得：将其中如下的两式相加减并代入式或则其中第4章连续系统

4.5梁的横向振动将式的下标增加1：连续梁的振动代入得或由边界条件和得第4章连续系统

4.5梁的横向振动连续梁的振动将式的下标减1或加1，代入下式：得到动力三弯矩方程：当构件由相同的材料制成，且各跨截面积相等，则动力三弯矩方程可简化成：第4章连续系统振动理论及其应用4.1引言4.2弦振动4.3杆的纵向振动4.4杆的扭转振动

4.5梁的横向振动4.6薄板的横向振动4.7展开定理

4.8瑞利商4.9响应分析4.10有限元法简介

第4章连续系统

4.6薄板的横向振动振动微分方程

所谓平板是指两个平行的平面和垂直于平面的柱面或棱锥面围成的物体。当板的厚度h远小于中面的最小尺寸b(h<b/8),称为薄板。薄板的基本假设：1、h<<b;2、载荷方向垂直于板面；3、符合小挠度理论，w<h/4,取ez=0;4、符合小挠度理论，w<h/4,

tzx,tzy

和sz远小于其它应力分量，则有gzx

＝gyz

＝05、中面内各点没有平行于中面的位移，即几何方程和物理方程：设中面各点横向位移为w(x,y,t)时，板上任意一点沿x、y、z三个方向位移分量u、v、w,分别为：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动振动微分方程几何方程和物理方程：由弹性力学得三个应变分量为：由广义虎克定律知，应力与应变有如下关系：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动振动微分方程薄板的动能：薄板的势能：其中D为板的弯曲刚度表面载荷在相应虚位移上的虚功为：若用中面的边界作为板的边界：其中，s为曲线的弧长。若边界各点作用有弯矩和横向力，则边界力的虚功为：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动振动微分方程利用哈密尔顿原理得：经过变分运算，再利用将某些面积分化为线积分的格林公式，考虑到是任意变分，而且在边界上和是相互独立的，因此可得振动微分方程和边界条件：对于边界上转角未给定的情况（简支边或自由边），边界条件为：其中，q为边界的外法线与x轴的夹角。第4章连续系统

4.6薄板的横向振动振动微分方程对于边界上位移未给定的情况（自由边），边界条件为：对于边界上转角给定的情况（固定边），边界条件为：对于边界上位移给定的情况（简支边或固定边），边界条件为：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动矩形板振动解：由题意特征值问题为：例

4.11求解图示边长分别为a、b的等厚度矩形板系统的特征值问题。当矩形板边界无外力作用：固定边(对于边界x=0和x=a）(对于边界y=0和y=b）简支边(对于边界x=0和x=a）(对于边界y=0和y=b）自由边(对于边界x=0和x=a）(对于边界y=0和y=b）第4章连续系统

4.6薄板的横向振动矩形板振动设，代入方程，得到关于函数Z的方程为：其中，四边简支矩形板振动边界条件(对于边界x=0和x=a）(对于边界y=0和y=b）设振型函数Z为：可以验证，当m和n为整数时振型函数Z满足边界条件。将振型函数代入方程得：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动矩形板振动

只有假设的函数满足方程，才是振型函数。由Am,n不为零，可导出频率方程：固有圆频率为：振型函数：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动圆板振动对于圆板，可利用极坐标系。它与直角坐标系之间的算子转换关系为：一阶算子：二阶算子：等厚度板振动微分方程的极坐标表示为：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动圆板振动边界条件同样可通过坐标变换得到。对于r=a，边界上转角未给定的情况（简支边或自由边），边界条件为：对于r=a，边界上位移未给定的情况（自由边），边界条件为：对于r=a，边界上转角给定的情况（固定边），边界条件为：对于r=a，边界上位移给定的情况（简支边或固定边），边界条件为：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动圆板振动解：例

4.12求解图示半径为a的等厚度实心圆板系统的特征值问题。其中，设：代入方程：得到关于函数R的方程为：由此得到两个二阶常微分方程n阶贝塞尔方程n阶修正贝塞尔方程它们的解分别为方程的通解为第4章连续系统

4.6薄板的横向振动圆板振动方程的通解为对于r=a，边界上转角未给定的情况（简支边或自由边），边界条件为：对于r=a，边界上位移未给定的情况（自由边），边界条件为：对于r=a，边界上转角给定的情况（固定边），边界条件为：对于r=a，边界上位移给定的情况（简支边或固定边），边界条件为：由r=0处的位移和转角为有限值，得B=0，

D=0,则有：第4章连续系统

4.6薄板的横向振动圆板振动将边界条件代入方程的通解，可得频率方程。边界铰支时，圆板的振型函数无节径和节圆无节径、一个节圆无节径、两个节圆一根节径、无节圆一根节径和一个节圆两根节径、无节圆第4章连续系统习题4－2设梁的左端由横向弹簧和扭转弹簧支承，试写出梁作横向振动时，左端点的边界条件。4－3设悬臂梁的右端带有一体积较大的质量，试写出梁作横向振动时，右端点的边界条件。第4章连续系统

4.7展开定理特征函数的正交性从离散系统特征向量的正交性导出对于n自由度的离散系统，正则化特征向量的正交性为：

其中，ms为x=xs

处的质量，而usi和usj

分别为第i阶和第j阶主振型中质量ms的位移。当质量矩阵为对角矩阵时，可写成：

当n增加时，ms可用下式表示：把质量ms的表达式代入离散系统特征向量正交性的表达式：当Dxs趋近于零，xs可用变量x表示，usi和usj转变为振型函数在x处的值，和式转化为积分式：第4章连续系统

4.7展开定理特征函数的正交性以梁的横向振动为例，对两个不同特征值问题的解为：从连续系统特征值问题直接导出对第一个式子两边分别乘以Yj(x)，并从0到L积分：UVUV第4章连续系统

4.7展开定理特征函数的正交性对第二个式子两边分别乘以Yi(x)，并从0到L积分：UVUV第4章连续系统

4.7展开定理特征函数的正交性两式相减，得：常见的边界条件有：固支铰支自由第4章连续系统

4.7展开定理特征函数的正交性对于边界为固支、铰支、自由或它们的任意组合时，式子的右边为零，即：对于不同的固有圆频率，它们平方的差不为零。因此有：特征函数关于质量密度m(x)正交将上式代入式，得：由分部积分：对于上述边界条件，有：特征函数的二阶导数（不是特征函数本身，导数的阶次是特征值问题的一半）关于弯曲刚度EI(x)正交第4章连续系统

4.7展开定理特征函数的正交性当i=j时，对正则化的特征函数有：当边界x=L处有集中质量M时，相应的正交性表达式为：正则化的特征函数关于质量密度m(x)正交性的表达式可写成：正则化的特征函数关于弯曲刚度EI(x)正交性的表达式可写成：展开定理任一函数Y(x)，如果满足问题的边界条件，且为连续函数时，可以用系统特征函数的绝对一致收敛级数来表示：其中，第4章连续系统

4.8瑞利商离散系统的瑞利商具有标量的性质可以预料，对连续系统也可以定义类似的瑞利商。例

4.13图示长度为L、一端固定一端自由的变截面杆，其扭转刚度与单位长度转动惯量分别为G

IP

(x)和J(x)，求杆作扭转振动时基频的近似值。解由题意，系统的特征值问题为边界条件为对特征值问题的表达式两边同乘以Q

(x)并沿整个杆的长度方向积分：第4章连续系统

4.8瑞利商瑞利商为：式中，R(Q)就是瑞利商。它是一个泛函，即函数Q

(x)的函数。如果Q

(x)是系统的某一个特征函数，则瑞利商就是相应的特征值。对任一满足边界条件的函数Q

(x)，瑞利商的值依赖于函数的形式。可以证明，当Q

(x)在某一个特征函数附件时，瑞利商有一个平稳值。利用展开定理，Q

(x)可表示为系统正则化特征函数的线性组合：由系统正则化特征函数的正交性，有：第4章连续系统

4.8瑞利商对满足边界条件，但不满足方程的试算函数Q

(x)，利用展开定理，用正则化的振型函数的线性组合表示，并代入瑞利商：借鉴离散系统的方法，使函数Q

(x)与第r个特征函数相似，并有：其中，ei是比1小得多的微量。则有：

如果试算函数与特征函数之差是一阶微量，那么瑞利商与频率平方的差是二阶微量。当试算函数与第一阶特征函数接近时，瑞利商给出基频平方的上限。第4章连续系统

4.8瑞利商例

4.14例4.13的杆扭转刚度与单位长度转动惯量分别为G

IP

(x)和J(x)：解由题意，系统近似的基频可用瑞利商近似：求杆作扭转振动时基频的近似值。用例4.6均匀杆作扭转振动时基频的精确解作为试算函数，则有：第4章连续系统

4.8瑞利商例

4.14利用瑞利商得到近似的第一频率为：与均匀轴的第一频率相比较：或：大于第4章连续系统

4.9响应分析振型分析法把系统的响应看成是系统的特征函数和时间有关的广义坐标乘积的迭加。例

4.15图示两端铰支的均匀梁长度为L,单位长度质量和弯曲刚度分别为m

和EI

。求系统受分布载荷f(x)的作用，初始条件为：解由4.5节的讨论可知系统的微分方程为求系统的响应。由例4.10，系统的固有频率和正则化的振型函数分别为：边界条件为：第4章连续系统

4.9响应分析振型分析法正则化的振型有正交性：设系统的稳态响应为正则化振型函数与广义坐标的乘积：代入方程：上式两边同乘Yj

(x)并在整个区间积分，并考虑到正则化振型的正交性有：其中，对第i个方程，利用无阻尼单自由度系统在任意激励下的杜哈曼积分得到：其中，分别为初始广义位移及广义速度。第4章连续系统

4.9响应分析振型分析法初始广义坐标和初始广义速度可用下式获得：两边同乘mYj

(x)并在整个区间积分，并利用正交性：类似地，有：梁的响应可写成：其中，第4章连续系统

4.9响应分析振型分析法解由例4.15及题中给出的载荷和边界条件，可以得到广义力：例

4.16例4.15中，若初始条件为零，分布载荷f(x)为求系统的响应。或即i为偶数时广义力为零，这是因为偶数阶振型是反对称的，均匀分布的激励力是对称的，它不能激出反对称的振型函数。响应为：可以看出，第一主振型起主要作用。第4章