2026年高考真题数学上海卷试题试卷及答案解析

2026年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷2026.06.07考生注意：1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合A2,1，1A，则a__________．【答案】2【解析】【详解】由题意得1a1，解得a2，经验证此时集合A满足题意.2.已知12，a为等比数列，n26，则a__________．4【答案】54【解析】a【详解】设数列a的公比为q，则q23，则41q32354.na11sin，则__________．3.已知5【答案】【解析】22123【详解】cos212sin12525．4.已知事件A，B互斥，PA0.2，PB0.5，则PAB__________．第1页/共22页7

【答案】0.7##

【解析】【详解】因为,B互斥，所以PABPAPB0.20.50.7.5.已知函数fx是偶函数，当x0时，fxxa，若f43，则a__________．【答案】1【解析】【分析】根据偶函数的性质求解.【详解】因为函数fx是偶函数，当x0时，fxxa，所以f4f44a3，解得a1.6.已知(x2x)5，则展开式中x7的系数为__________．【答案】10【解析】【分析】写出二项式的通项，令x的次数为7，即可求出展开式中x7的系数.【详解】由题意，在xx5中，通项5k，2kxxkkxkkC2C2,3,4,555当10k7即k3时，Ck10kC3x710x7，55∴展开式中x7的系数为10.7.已知a24b21，则的最大值为__________．【答案】14##0.25【解析】【分析】根据基本不等式可得a24b24ab，结合条件即可求结论.【详解】因为a2b2a2b2ab4ab，当且仅当ab时等号成立，2结合a24b21可得，1ab，4当且仅当a2，b2或a2，2b时等号成立，2424第2页/共22页所以当a2，b2或a2，2b时，取最大值，最大值为242414.1018.已知随机变量X的分布为a0.3b，且EX0.5，则b__________．【答案】##35【解析】【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.101【详解】因为随机变量X的分布为a0.3b，且EX0.5，所以ab0.7，且EXa0b0.5，解得b0.6.9.已知等差数列a，公差为d，其前n项和S在区间内至少有两项，则公差d的取a中，10nn值范围是__________．1【答案】3【解析】【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.【详解】根据已知前n项和S在区间内至少有两项，则得出d0，n且10，S是单调递增的，所以必须满足SS，n20,1,30,1SdSd，所以d1所以20,1,330,13.10.已知向量a，b，c是两两不平行的向量，且b∥b，2∥b，则k的值为__________．【答案】6【解析】【分析】方法一：由条件可得abxbc，2aybc，消去a，根据平面向量基本定理列方程求结论；第3页/共22页方法二：先证明a,b,c共面，设cab，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.【详解】方法一：因为ab//bc，所以abxbc，因为2akc//bc，所以2aybc，所以by2xby2x，因为,c不平行，所以ky2x6y2x，所以k6，方法二：因为ab//bc，2akc//bc，a,b,c两两不平行，所以，bx2，若a,b,c不共面，所以12x,30,0，矛盾，所以a,b,c共面，可设cab，所以abx2akakb，所以12xkx，3kx因为ab//bc，可设abybcyayb，所以1y，3yy，所以32kk，1，所以6k1k，所以k6.已知三角函数ftsintB（A0，BR，0，0πvft，当v0或v4时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则ft__________．【答案】3π2sin10πt22【解析】【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出,B，结合初速度为0，求出，结合第一次第4页/共22页达到最大值的时间构造方程求出，进而求出ft解析式．【详解】由题意知，ft0和ft4时，导数为0，即ft的最小值为0，最大值为4，又ftAB,AB，所以AB4AB0，解得AB22，故ft2sint2；已知初速度为0，则f020，解得sin1，已知02π，则3π，2速度第一次达到4时用时0.1秒，则f4，即3π3π2sin0.124sin0.11，则，223ππ0.12π,kZ，解得22解得0.1π2π，当k1时取得最小正数，10π，ftt3π2sin10π2此时．212.在ABC中，3，AC5，BC14．已知点A，B，C分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．【答案】23【解析】【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求a,b,c的值，即可得离心率.【详解】因为，根据对称性可知：点,B,C其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.①当点,B,C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1第5页/共22页则b2c23a2b214ac5或b2c235a2b2，解得ac14a3b5c2或无解；②当点,B,C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，则a3ab522或ac14a14a2b2ac35，方程组均无解；综上所述：a3，b5，c2，所以离心率ec2.a3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）13.a为不为1的任意实数，则a3a（A.3aB.24aC.35aD.253a【答案】B【解析】【详解】由a1，则114aaaaaa.333314.事件A和事件B相互独立，“A和B至少一个发生”的对立事件是（A.ABB.ABC.ABD.AB【答案】C【解析】第6页/共22页【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.【详解】根据已知,B至少有一个发生，则对立事件为,B都不发生，所以AB的对立事件为AB.15.已知，z为复数，当z为实数或z的共轭复数为实数时，称和z互相伴随．则当和z互相伴随时，i和zi互相伴随的充要条件是（A.0B.0C.0D.0【答案】D【解析】【分析】设xi，zabi，由条件结合和z互相伴随的定义可得yb，根据充要条件判断结论.【详解】设xi，zabi，x,yR，a,bR，则Rex，y，Reza，zb，zxaybi，zxaybi，izixaybi，izixaybi，因为和z互相伴随，所以yb，若yb，则izixaybi为实数，所以i和zi互相伴随，若i和zi互相伴随，则yb，所以i和zi互相伴随的充要条件为z0.16.已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与x轴、y轴、z轴重合，顶点A与坐标原点重合，点C是正方体底面中与A相对对角顶点，点1在点C的正上方．将正方体绕直线1旋转一周，的试问点C的运动轨迹会经过几个空间卦限（第7页/共22页A.1B.3C.4D.7【答案】A【解析】【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点C的轨迹是以点E2为圆心，半径r6的圆，解法Px,y,z，列方程分析点CC的轨迹即为PQR的内切圆，即可判断结果.【详解】不妨设正方体的棱长为3，则A0，C3,3,0，13,3,3，可得3,3,0，13，设点C在体对角线1上的投影为E，，，13,3,3则CEAEAC33，2CEAC，解得，可得19999903则AE2，即E2，且CE6，可知点C的轨迹是以点E2为圆心，半径r6的圆，解法一：在点C的轨迹任取一点Px,y,z，则xyz2，第8页/共22页则EPAC3x23y23z20xyz61，整理可得x2y2z2EPx2y2z262226222，令z0可得xy6x2y2222，解得xy33，可知点C的轨迹与平面相切，令y0可得xz6x2z2222，解得x3，可知点C的轨迹与平面相切，z3yz6y3令x0可得，解得，可知点C的轨迹与平面yOz相切，yzz322222所以点C轨迹经过空间中的1个卦限；的解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：则P6，Q0，R0，可知PQR为边长为62的正三角形，且其中心为E2，且内切圆半径3626r，6即可知点C的轨迹即为PQR的内切圆，所以点C的轨迹经过空间中的1个卦限.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：颗粒物密度101.0287.02574721.858.865.034.633.86二氧化硫密度81.9453.209.166.604403.313.353.86第9页/共22页（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数0(，2)哪个区间内？（直接写结论）（3）2023年前9年的年份(x)的平均数为2018，y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用y106.544e0.4612014，或yax201483.743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？参考数据：106.544e91.681【答案】（1）79；（2(（3）y106.544e2014的预测值与实际值之差的绝对值更小.【解析】1）结合古典概型概率公式求解即可；（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.【小问1详解】9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为79.【小问2详解】统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，又因为相关系数r1，故相关系数在区间上.【小问3详解】采用方程y106.544ex2014时，2023年预测值为106.544e1.6810.46120232014，预测值与实际值差值绝对值为1.6813.882.199；因为x第10页/共22页y101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.8633.499，9所以33.499a2018201483.743，可得a12.561.故采用方程yax201483.743时，2023年预测值为y12.5612023201483.74329.306，预测值与实际值差值绝对值为29.3063.8833.186；因为2.19933.186，故方程y106.544ex2014对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.18.已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PH底面ABCD，垂足H在AD边上，且AH1，4，2．（1）求证：PB；（2）若四棱锥PABCD的体积为53，求二面角CH的大小．【答案】（1）根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以A为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则A0,B0,H0,C2,5,0，设点Pt，则CH2,0,PB2,t，CHPB2240t4400，PB．第页/共22页1

（2）arccos

3【解析】1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；（2）利用棱锥体积公式求出h，进而求出点P，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解．【小问1详解】略【小问2详解】11105四棱锥体积VSPHPH，解得PH5，52333P5，则CP5,CB0，5,0，设平面PBH的法向量为x,y,z令x1，则2,0，HPm5z0，，则HBm2xy0xyz1,1,1设平面PCB的法向量为，CPn2x4y5z0则，x，则n5,0,2，令15111CBn5y01mn51设二面角CH为，则cos，mn593由图可知，二面角CH为锐角，则二面角CH大小为119.已知aR，函数fxx2ax3，．gx4xx21（1）已知f4，求fxgx的解集；x213arccos．l是fx在点3处的切线，l是过点3且垂直于l的直线，gx与（2）已知a0，l、l在第12112一象限内均无公共点，求a的取值范围．【答案】（1）,01（2）,0,22第12页/共22页【解析】1）求出参数a，解不等式即可求出x的范围；（2）求出直线1与l2的方程，利用gx与l、l在第一象限内均无公共点，得出12111与无正实数解，分离参数，转化为直线ya与gx4xax3gx4xx3x2x2a113

y与曲线hx4

axx在x0内均无交点，对hx求导讨论其单调性，得出函数的最值，建3立不等关系，即可求出实数a的取值范围.【小问1详解】由题意，x0，1在fxx2ax3与gx4x中，x2f1a34，解得a0，2∴fxx23，1∵，fxgxx2∴1134x2xxx22x0，解得x0或0x1或x3∴不等式的解集为,0.【小问2详解】由题意及（1）得，a0，在fxx2ax3中，fx2xa，∴f00aa∵直线1为fx在点3的切线，∴直线1的方程为：y3ax0，即yax3，∵l2是过点3且垂直于l的直线，1y3x01，即y1x3∴直线l2的方程为：，aa1在中，x0，gx与gx4xl、l在第一象限内均无公共点，212x第13页/共22页111∴与无正实数解，gx4xax3gx4xx3x2xa213113a4，4，分离参数得，x3xaxx3∴直线ya与y113与曲线在内均无交点，hx4axx3而333x33x1x12，hxxxxx2444当hx0时，解得x1（舍）或x1，∴当hx0即0x1时，函数单调递减，当hx0即x1时，函数单调递增，3∴hx在x1处取最小值，hxh1142，1当x0时，hx，当x时，hx4，∴a2且，即112a或0a2，a21∴实数a的取值范围为,0,22.20.已知双曲线:x2y21，点P在上，F，1F分别为双曲线的左、右焦点．2（1）求点0到双曲线渐近线的距离；（2）若PF121，求S；F12（3）记为双曲线满足x0和y1x0的部分；直线l，m均过右焦点2，l与交于P，Q两点y1m与交于M，N，使得对任意直线l，都存在唯一一对应的直线m满足PQMN？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2（2）2（3）存在实数符合题意，此时的取值范围为9,7第14页/共22页【解析】1）根据双曲线方程求a,b,c，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；（2）解法一：根据余弦定理可得PF2PF2，结合定义可得12101PF123，F，123P0,0，根据数量积可得01，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中1线长性质可得PF123，F，结合面积公式运算求解；123（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得PQ21n211n21，MN21n22n221，进而分析取值范围即可得解.【小问1详解】由题意可知：ab1，c2，则F，12,022,0，渐近线方程为yx，即xy0，所以点0到双曲线渐近线的距离为222.【小问2详解】解法一：因为PF12PF12cos121，由余弦定理可得12PF122PF12cos12，222整理得：PF2PF2，1210因点P是双曲线上一点，则PF122，可得PF2PF2PFPF，122124122代入可得PF123，F，则2sinFPF1FPF，12121233所以12的面积为1122PFPFsinFPF32；1212223解法二：设P0,0，则2y21，即2y21，第15页/共22页可得PFxy，102,0202,0，因为PFPFx2y2，即2y211，解得120021001，1所以12的面积为；22122解法三：因为222，即PF12POOF1POOF1POOF1PO2123，由中线长定理可知：PF2PF2PO22，122110因为PF122，可得PF2PF2PFPF，122124F，可得2cos212111代入可得PF123，12323，解得12623，则sin121cos2123223，tanFPFsin222FPF12FPF2cos2122，所以12的面积为tanb22FPF.122【小问3详解】不妨取A2,，B2,，则直线AF的斜率22k，AF42依题意，设直线l：xny，则1，设直线m：12xny，则n，2221,22Pxy，1,1Q2,y2，xny联立方程11x2y22，消去x可得n2y2ny，112211022n则yy1122n111yy，122n11，第16页/共22页可得2221n22n42PQ1n2121112222n1n11n1n1111，可知函数ft2在t内单调递增，则ftf02，211t2且当t趋近于1时，ft趋近于，即ft在内的值域为，故，因0，所以PQ2,；同理可得：21n22221n2n21122可知gs2在s1,2221s2118内单调递减，则gsg22，7且当s趋近于1时，gs趋近于，即gs在1,2218,内的值域为，故7MN18,；718由题意可知：2,,18由题意可知：2,,，可得7，解得9182，77所以存在实数符合题意，此时的取值范围为9,.721.已知i,j,k是1，2，3的一个排列，若函数fx，fx，fx，对任意xI，都有123fxfx且fxfxfxfxi,j,k是关于fx，fx，fx的一个I排1i12ij123列，则关于fx，fx，

fx的I排列总数记为I．

123（1）已知I，fxx，fx，fxx，判断2是否为I排列；20312

1（2）对I，fxx，fxxm，fxx2满足条件的n6，求m的取值范1123I围；（3）对x，且对任意x，0Fx1，令Ia,，fxFx，11fxFxaFxa，fxx，证明：若Fx严格减，则存在a0，使31e22n；若Fx严格增，则存在a，n2．4II【答案】（1）是I排列；第17页/共22页（2）11m；4（3）首先证明第1个结论，观察（2）问的6个情况，若1(x)f3(x)和f2(x)f3(x)在I[a,)上同时成立，那么排列都将I排列，此时I至少为4．是当1(x)f3(x)时，即F(x)1e，x因为F(x)是定义在[0,)上的函数，且严格单调递减，实数aI[a,)，则F(0)Fa恒成立，又因为函数y1ex在[a,)上单调递增，则在区间I[a,)上，F(x)Fa，fx.31a若1(x)f3(x)恒成立，则Fa1e，a则只需F(0)1ea，即10aF，因为对任意的x，0Fx1，则F0，则1F(0)，则解得aF(0))，当f2(x)f3(x)时，即12[()(1exFxaFxa，因为F(x)严格递减，所以F(xa)F(0)且F(xa)F(0)，1f(x)[F(0)F(0)]F(0)，22只要aF(0))，就有fxFfxfx，201a33则可取a1F0即可满足题意．即存在a0，使得n4.I再证明第2个结论.假设对于任意的a，都有n2，I因为（2）中①排列始终满足条件，则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是I排列．首先，我们证明fxfx不可能恒成立：12第18页/共22页假设对于某个a0，在[a,)上恒有1(x)f2(x)．即1F(x)[F(xa)F(xa)]，2即F(xa)F(x)F(x)F(xa)，取x2ana(n)．由于F(x)严格递增，n令F(2a)F(a)0，则FxaFxFxaFxFaFa，nnn1n1(2)()于是对任意正整数N：N1FxFxFxaFxNN0kkk0，当N时，Fx，这与0F(x)1矛盾！N因此，1(x)f2(x)不可能恒成立．则排列③排列和④排列(2,永远不可能是I排列．接下来只剩②排列2)，其需满足f2(x)f3(x)，⑤排列2)，其需满足1(x)f3(xf2(x)f3(x)，⑥排列，其需满足1(x)f3(x)，afxfx在I上恒成立＂与＂fxfx在I上恒成立＂这两个命1323题，必须有且只有一个为真．（i）若对任意x0，都有fxfx，即都有F(x)1ex，13对于任意a和xa，则F(xa)F(xa)1e1eee(xa)(xa)aaf(x)1e1eee1exxaax，2222当且仅当a0时等号成立，又因为a0，故等号无法取到，所以fxfx恒成立，2()1ex3()则fxfx对所有的a恒成立.23则此时②排列2)，⑤排列2)，⑥排列均成立，第19页/共22页则n4，与假设n2矛盾！II（ii）并非对于所有x0都有fxfx，即F(x)1ex，13则必定存在00，使得Fx，01ex0设Fx，x01e2(0)0因为y1ex是严格单调递增的连续函数，则对于已知的0，总可以找到xx，使得1ex1ex，1010即1e11e0，即1ex1ex，01同时，因为F(x)严格递增且xx，必有FxFx．1010Fx，即xx11e21e201即Fx，即xxfxfx，11e1e113111则可取充分小的a使得axx，即存在01xa，使得fxfx，11131所以＂fxfx恒成立＂这个命题是假的．13既然fxfx为假，那么＂fxfx恒成立＂必须为真．1323即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列2)成立，此时满足n2，I则对于ax，在xa时都有：1FxaFxa()()1ex2，即()()