2025-2026月考试卷8年级（数学）线段垂直平分线的性质（解析版）

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）1 212112025·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于AB2的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线DE交边AB于点O，交BC于点H；③连接AH．已知OH=4，△ABH周长为16，则△AOH的周长为()【答案】【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出DE垂直平分AB，然后根据线段平分线的性质得出AH=BH，AO=BO，结合△ABH周长为16可求出AO+AH=8，然后结合OH=4即可求解．【详解】解：由作图知：DE垂直平分AB，∴AH=BH，AO=BO，又OH=4，∴△AOH的周长为AO+AH+OH=12，224-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形ABCD是“等形”，AB=AD，BC=DC，点E是对角线AC【答案】D如图：连接BD交AC于点F，由AB=AD，BC=DC可知AC是BD的垂直平分线，再根据三角形面积公式【详解】解：如图：连接BD交AC于点F，∴BF=DF，△AEB=EA.BF,S△ADE=EA.DF，∴S△ABE=S△ADE，∴S△BCE=S△CED，△ABCAC.BF,S△ACDAC.DF，∴S△ABC=S△ADC．AABClP（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的一124-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆CD垂直平分AB，AC=5cm，则BC的长是()A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm【答案】B∴BC=AC=5cm．224-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．则下列说法正确的是()A．AO=BOB．直线l是AB的垂直平分线C．若lTAB，则直线l是AB的垂直平分线D．若7A=7B，则直线l是AB的垂直平分线 在直线AB的垂直平分线上，若有lTAB，则直线l是AB的垂直平分线，据此可得答案． ∴点P在直线AB的垂直平分线上，∴若lTAB，则直线l是AB的垂直平分线，故C说法正确，符合题意12半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB=8，BC=6，AC=9．则△ABD的周长为()【答案】【答案】C【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，则可得BD=CD，进而可得△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=8+9=17，即可得出答案．【详解】解：由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，六△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+CD+AD=A【答案】C【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：BD=DC，再根据C△ADC=AD+CD+AC=AD+BD+AC【详解】解：由作图过程可知：BD=DC，△RPQ，则旋转中心可能是．【答案】C点【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性【详解】解，连接ER,GQ，分别作ER,GQ的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点C，如图所示：故答案为：C点【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在△ABC在边AC上求作一点E，使S△BCE=S△BCD保留作图痕迹，不写作法）12025·浙江杭州·模拟预测）已知线段AB，利用直尺和圆规作AB的垂直平分线，下列4个作图中正确的有()【答案】C【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的【详解】解：在图①中，由作图可知，AP=BP，AQ=BQ，在图②中，由作图可知，AP=BP，PQ平分LAPB，由等腰三角形“三线合一”可知，PQ是AB的垂直平分线，故②符合题意；在图③中，由作图可知，AP=BP，AQ=BQ，在图④中，由作图可知，AP≠BP，AQ≠BQ，综上，4个作图中正确的有①②③,共3个，122025·浙江金华·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB2的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若LBDC=30o，则1 =.tanA【答案】【答案】【分析】本题考查作垂直平分线，线段垂直平分参数解决问题．设BC=a，证明AD=DB=2a，CD=3a，再利用正切函数的定义求解．【详解】解：设BC=a，丫LC=90o，LBDC=30o，:BD=2BC=2a，CDa，丫MN垂直平分线段AB，:DB=DA=2a，故答案为：2+3．32025·浙江丽水·模拟预测）BD是△ABC中AC边上的中线．(2)当点E靠近点B时，连接AE、AF，若S△ADE=6，则△ABC的面积为．(2)18【分析】本题考查了三角形的重心，中线的性质及尺规作图，解题的关键是熟练掌握中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．（1）先作线段AB的垂直平分线，确定线段AB的中点，作为半径作圆交BF于点E，点E、点F即为所求；（2）连接AE、AF，由题意得S△ABD=S△CBDS△ABC，由E、F为线段BD的三等分点，得S△ABE=S△AEF=S△ADFS△ABDS△ABC，由已知条件得S△ADFS△ADE=3，通过S△ABC=6S△ADF即可求（2）连接AE、AF，如图所示：△ADE△ABC△ABD故答案为：18．42025·浙江金华·模拟预测）如图，已知△ABC．(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E保留作图痕迹，不要求写作法，标明(2)在（1）的条件下，连接BD．若△ABC的周长为16，BE=3，求△ABD的周长．【答案】(1)见详解(2)10【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质．（2）根据线段垂直平分线的性质得BE=CE=3cm，DB=DC，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到AB+AD+CD=10cm，然后计算△ABD的周长．（2）解：丫DE垂直平分BC，\BE=CE=3，DB=DC，即AB+BC+AC=AB+6+AD+DC=16，\AB+AD+CD=10，\△ABD的周长为10．【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，AB=BC=4，DA=DC，若7ACB=60o，则OC的长度为()52【答案】【答案】C【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质．先证明BD是线段AC的垂直平分线得BDTAC，OA=OCAC，再证明△ABC是等边三角形得AC=AB=4，由此可得出OC的长．∴BDTAC，OA=OCAC，又∴AB=BC=4，7ACB=60o，∴AC=AB=4，【例2】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若BD=2，AD=1，则AC的长度x取值范围为．【答案】【答案】1>x>3 根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD=2，根据三角形的三边关系解答即可． :DC=BD=2，在△ADC中，2-1<AC<2+1，即1<x<3，交AB,AC于点D、E．连接BE，已知CE=2，求AE的长度．【答案】【答案】4根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，继而LABE=LA=30o，再根据角的和差求出LEBC=30o，再惠LABE=LA，【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，AD平分LBAE，AD丄BE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．(1)若LBAE=48o，求LC的度数；(2)若△ABC周长26，AF=6，求DC的长度．【答案】(1)33o段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出LAEB和LC=LEAC，最后由等腰三角形的性质在△ABD和△AED中，六△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC=2DC+AC=26．丫AE=EC，EFTAC，AF=6，【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直12025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，AH是边BC的垂直平分线，E为BA的延长线上一点．过点E作EF丄BC于点F，交AC于点M．若AB=10，AH=6，AE=4，则MF的长度为()【答案】A【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判平分线的性质可得AB=AC=10，证明△CMF∽△CAH，由相似三角形的性质求解即可得解，熟练掌握以上六7BAH=7CAH，六EF∥AH，7BAH=7E，7CAH=7AME，六7E=7AME，丫丫EF∥AH，的垂直平分线，交AB于点D，交于点C，如果知道AB、CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知AB=43cm，CD=2cm，则圆的半径为cm，阴影部分的面积为cm2．88【答案】4π3【分析】设点O为圆心，由垂径定理的推论可知点O在直线CD上，连接OB、BC，利用线段垂直平分线的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得CD=OD，得到AB垂直平分线OC，即得CB=OB=OC，得到ÐBOC=60°,再证明△ODB≌△CDA(SAS)可得S阴影=S扇形BOD，据此即可求解．【详解】解：设点O为圆心，由垂径定理的推论可知点O在直线CD上，连接OB、BC，∴BD=ADABcm，ÐODB=90°,设圆的半径为xcm，则OB=xcm，OD=(x-2)cm，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，∴(x-2)2+232=x2，解得x=4，∴圆的半径为4cm，OD=4-2=2cm，83【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出△OBC为等边三角形是解题的关键．32025·浙江宁波·模拟预测1）解方程：x(x-2（2）如图，在VABC中，ÐC=9①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线EF，使得直线EF垂直平分线段AB，交AB于点；（②在①的条件下，求EF的长度．20【答案】（20【答案】（1）x1=-1，x2=22）①见解析；②3（2）①根据线段垂直平分线的做法解答即可；②利用垂直平分线的性质求出AE=5，再利用正切的定义【详解】（1）解：x(x-2)+x-2=0②丫EF垂直平分AB，AB=10，\AE=DEAB=5，LAEF=90o，424-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，LBAP的平分线交PC于点D．(1)①直接写出AD与PB的位置关系为②DP与DB的数量关系为，并写出证明过程．(2)求证：DA+DB=DC；(3)若等边△ABC边长为14，连接BA，当△BDH为等边三角形时，请直接写出CP的长度． (2)证明见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和勾股定理等等，熟知等边三星级的性质与判②根据（1）①所证结合线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）在CP上取一点Q使得CQ=PD，连接AQ，可证明△APD≌△ACQ，得到14-4x2=3x2，解方程即可得到∴AD垂直平分PB，∴LAPD=LACQ，∴△APD≌△ACQ(SAS)，六7PAD=7BAD，（3）解：如图所示，连接BH，设DB=DH=DP=CQ=x，则PH=CH=2x，在Rt△ADH中，由勾股定理得AH2=AD2-DH2=3x2，在Rt△APH中，由勾股定理得AH2=AP2-PH2=14-4x2，2=3x2，【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为36cm，则△CDE的周长为()A．12cmB．24cmC．15cmD．18cm【答案】DAB=CD,AD=BC是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又AD+CD=可得△CDE的周长等于AD+CD．∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+A1【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期2为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE=3，AF=5，则矩形的周长为()【答案】【答案】C【分析】由尺规作图得到直线【分析】由尺规作图得到直线MN是线段AC的垂直平分线，连接FC、AE，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到AF=CE，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到AE=CE=FC=AF=5，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：由题中尺规作图可知，直线【详解】解：由题中尺规作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，连接FC、AE，如图所示：\AO=CO，AF=CF，在矩形在矩形ABCD中，AD∥EC，则LFAO=LECO，\\AF=CE，\\四边形AECF是平行四边形，\\四边形AECF是菱形，\\AE=CE=FC=AF=5，在Rt△ABE中，LB=90。，BE=3，AE=5，则由勾股定理可得则由勾股定理可得AB，且BC=BE+EC=8,在矩形在矩形ABCD中，CD=AB=4，AD=BC=8，\矩形的周长为2(AB+AD)=2×12=24，【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵12半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长【答案】【答案】20【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，MN垂直平分AB，则AB=2AE=8，AD=BD，根据三角形周长计算公式可推出AC+BC=12，据此可得答案．【详解】解：由作图方法可知，MN垂直平分AB，(1)实践与操作：尺规作AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于点F，连接AF；(2)应用与证明：在（1）的条件下，若AD=4，AB=3，求四边形AFCD的周长．【答案】【答案】(1)见解析(2)11【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形（2）由（1）可知：直线EF为AB的垂直平分线，得出AF=BF，在YABCD中，得出AD=BC=4，DC=AB=3．根据C四边形AFCD=AF+FC+CD+AD=BC+CD+AD求解即可．:AF=BF，在YABCD中，AD=4，AB=3，:AD=BC=4，DC=AB=3．:C四边形AFCD=AF+FC+CD+AD=BF+FC+CD+AD=BC+CD+AD=4+3+4=11．12025·浙江舟山·模拟预测）如图，在△ABC中，7C=90o，AC=6，BC=8，按下列步骤尺规作图：①1分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N；②作直线MN，交AB于点E，2交BC于点F，则△EFB的周长为()【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理；连接AF，由作法得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得AF=BF，由勾股定理得AC2+CF2=AF2，EF=BF2-BE2，即可求解；掌握线段垂直平分线的作法及性质，能熟练利用【详解】解：连接AF，丫LC=90o，AC=6，BC=8，由作法得：MN是AB的垂直平分线，\AF=BF，BE=5，设AF=BF=x，\CF=BC-BF=8-x，2+CF2=AF2，\62+(8-x)2=x2，解得：x，\△EFB的周长为：EF+BE+BF224-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC丄BC，【答案】【答案】18【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，理解并掌握相关问题的关键．由勾股定理可得BC，根据平行四边形的性质可知AB=CD=10，OE是线∴OE是线段BD的垂直平分线，即EB=ED，324-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，(1)求证：AB=EC；【答案】【答案】(1)见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性（1）根据AD丄BC，且BD=DE，可得AD垂直平分BE，则AB=AE，根据EF垂直平分AC，可得（2）根据线段垂直平分线的定义得到AC=2AF，根据BD=DE，得到B∴AD垂直平分BE，∴AC=2AF．424-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．(3)若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．【答案】【答案】(1)见解析(2)7DBC=30o；(3)32【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与（2）由在△ABC中，AB=AC，7A=40o，利用等腰三角形的性质，即可求得LABC的度数，利用等边对等角求得7DBA的度数，则可求得LDBC的度数；∴DB=DA，由（1）得DA=DB，LDBA=LA=40。，∴7DBC=7ABC-7DBA=70o-40o=30o；（3）解：丫AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AE=12，∴BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．【例1】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在△ABC中，7C=31o，LABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么LA的度数为()A．87°B．62°C．90°D．93°【答案】【答案】A【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义．由垂直平分线的性质可得7DBE=31°,由三角形的内角和可求得7CDE=59°,从而可求得7CDB=118°,再由角平分线的定义得7ABD=7DBE=31°,利用三角形的外角性质，即可求LA的度数．【详解】解：丫DE垂直平分BC，7C=31°,∴7CDE=180°-7DEC-7C=59°,∴7BDE=59°,∴7BDC=7CDE+7BDE=118°,∴7ABD=7DBE=31°,∴7BDC=7ABD+7A，∴7A=7BDC-7ABD=87°.【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在△直平分线交BC于E，LBAC=124°,则LDAE的度数为()AA．68°B．62°C．66°D．56°【答案】A【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及垂直平分线的性质首先利用三角形内角和定理，求出7B+7C=180°-124°=56°,然后根据垂直平分线的性质得出7B=7BAD，7C=7CAE，进而得出7BAD+7CAE=7B+7C=56o，即可得解． :7B+7C=180o-124o=56o，又丫AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E， :7B=7BAD,7C=7CAE， :7BAD+7CAE=7B+7C=56o， :7DAE=7BAC-7BAD-7CAE=124o-56o=68o，故选：A．【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，AB=AC，7A=50o，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则LDBC的度数为．【答案】【答案】15o/15度【分析】本题考查了线段垂直平分线性质及三角形的内角和定理．熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键，根据线段垂直平分线性质可得AD=BD，证LDAB=LDBA，LABC=LACB=65o可得结论．∴LDAB=LDBA=50o∴LABC=LACB=65o【例4】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）△ABC中，直线m垂直平分AB，直线n垂直平分AC．(1)如图1，直线m,n分别与BC交于点D，E．①若LBAC=100O，则LDAE=；②若LBAC=a，求LDAE的度数用含a的式子表示）(2)如图2，若直线m,n与BC交于同一点P，求LBAC的度数【答案】【答案】(1)①20O；②LDAE=2a-180O(2)90O【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性（1）①根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=80O，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=CE，根据等腰三角形的性质得到LBAD=LB，LEAC=LC，即可得到结论；②根据三角形内角和定理得到LB+LC=180O-a根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=CE，根据等腰三角形的性质得到LBAD=LB，LEAC=LC，即可得到结论；（2）连接PA，由（1）知LPAB=LB，∠PAC=∠C，根据等腰三角形的:LB+LC=180O-LBAC=80O，丫直线m垂直平分AB，直线n垂直平分AC，:AD=BD，AE=CE，:LBAD=LB，LEAC=LC，:LBAD+LEAC=80O，:LDAE=LBAC-(LBAD+LAC)=20O；②丫LBAC=a，:LB+LC=180O-LBAC=180O-a，丫直线m垂直平分AB，直线n垂直平分AC，:AD=BD，AE=CE，:LBAD=LB，LEAC=LC，\LBAD+LEAC=180o-a，\LDAE=LBAC-(LBAD+LAC)=2a-180o；（2）解：如图连接PA，即LB+LC+LPAB+LPAC=180o\2LB+2LC=180o\LB+LC=90o，\LBAC=90o．124-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，LA=40o．分别以点A，B为圆1心，以大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线MN交AC于点D．连接BD，则LDBC的度2数是()【答案】A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图及性质，三角形内角和定理等等，先根据等边对等角求出LABC=70o，由作图方法可知，MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD，可得∠ABD=∠A=40o，由此即可得到LDBC=LABC-LABD=30o．由作图方法可知，MN是线段AB的垂直平分线，:AD=BD，:LABD=LA=40o，:LDBC=LABC-LABD=30o，224-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，△ABC中，LB=90。，LA=30o．AC的垂直平分线分AC，AB于点M，O，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A,OC,，旋转角为a(0o<a<360o)．连接A,M，C,M．当△A,MC,是直角三角形时，旋转角a的度数为．【答案】120【答案】120o或240o【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形如图所示，当C,M与AM重合，A,M与OM重合时，由OM丄AM得LA,MC,=90o，即△A,MC,是直角三324-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AC、CD上，AF丄DE，连接EF.(1)当DF=EF时，求LAFD的度数；(2)当DF=CF时，求证：LAFD=LEFC． 分线，所以证明△AEF≌△ADF，结合LACF=45o，得LAFD=67.5o，即可作答． （2）延长DE交BC于点M，先证明△ADF≌△DCM，再证明△ECF≌△ECM，得出LEFC=LEMC，即可∴△AEF≌△ADF，∴LAEF=LADF=90o，LAFD=LAFE，（2）解：延长DE交BC于点M，如图所示：,∴LADM+LMDC=90o，∴LADM+LDAF=90°,∴LMDC=LDAF，:△ECF≌△ECM，:LEFC=LEMC，∴LAFD=LEFC．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰424-25八年级上·江苏无锡·期中）教材呈现：如图是2024苏科版八年级上册数学教材第59页的部分内容、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂如图①,直线l是线段AB的垂直平分线，P是直线l上任一点，连接PA、PB．将线段AB沿直线l对折，我们发现PA与PB完全重合，即PA=PB．尺规作图：在图②中，作△ABC边AB，BC的垂直平分线m，n，交点为O（不写过程，保留作图痕迹(1)若LB=90°,则直线m，n夹角的度数为； （1）先按题意画出AB，BC的垂直平分线m，n，再根据四边形内角和求出（2）由图分两种情况讨论，当a是锐角和a是钝角，即可求出121的垂直平分线；再分别以点B,C为圆心，大于CB长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即为边CB的2∴LBPO=LOGB=90o，①若a是锐角，②若a是钝角，综上所述：锐角度数为a或180o-a．【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()【答案】A【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判作点P分别关于OA,OB的对称点C,D，连接CD分别交OA,OB于点M,N，得到MP=MC，NP=ND，OD=OC=OP=23，LBOP=LBOD，LAOP=LAOC，继而得到NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD，此时△PMN的周长最小，过点O作OH丄CD于点H，得到【详解】解：如图，作点P分别关于OA,OB的对称点C,D，连接CD分别交OA,OB于点M,N，\MP=MC，NP=ND，OD=OC=OP=23，LBOP=LBOD，LAOP=LAOC，\NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD，LCOD=LBOP+LBOD+LAOP+LAOC=2LAOB=2´60o=120o，过点O作OH丄CD于点H，\CH=DH，LOHD=LOHC=90o，\CD=2CH=6，\△PMN周长的最小值是6，分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的【答案】【答案】11三点共线时，DG+AG的值最小，最小值为AD，即DG【详解】解：连接AD，解得，AD=8，连接AG，在△ADG中，DG+AG≥AD，N，交AC于点M，连接MB．若AB=7cm，△MBC的周长是12cm．(1)求BC的长；(2)若点P是直线MN上的一点，直接写出PB+PC的最小值为cm．【答案】(1)BC=5cm【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端（2）如图所示，连接PA，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，则当A、P、C三点共线时，PA+PC最小，即此时PB+PC，则此时点P与点M重合，由此可得答案．∴MA+MC+BC=12cm，即AC+BC=12cm，（2）解：如图所示，连接PA，∴PB+PC=PA+PC，∴当A、P、C三点共线时，PA+PC最小，即此时PB+PC，则此时点P与点M重合，∴PB+PC的最小值即为AC的长，即7cm，点D，垂足为E，AD平分LBAC．(3)若AC=2，点P是直线AD上的动点，求PB-PC的最大值．LCAD=LBAD，进而利用三角形内角和定理求解即可；（2）根据含30°角直角三角形的性质得到AD=2CD，进而求解即可；（3）作C点关于直线AD的对称点C9，AB，则当P点和A点重合时，PB-PC最大，即可求解．∴LCAD=LBAD，（3）解:作C点关于直线AD的对称点C,，惠当P点和A点重合时，PB-PC最大，此时PB-PC的最大值为BC,，124-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，Rt△ABC中，LACB=90O，LB=30O，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为()8 8 34332【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接DF，过F作FG丄BC交于G，由直角三角形的特征得AB=2AC=4，由线段垂直平分线的性质得AF=DF，BF=AB-AF=4-DF，当DF取得最小值时，BF取得最大值，当DF=FG时，DF取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂【详解】解：如图，连接DF，过F作FG丄BC交于G，:AB=2AC=4，:AF=DF，:BF=AB-AF=4-DF，当DF取得最小值时，BF取得最大值，\当DF=FG时，DF取得最小值，此时DF与FG重合，如图，解得：BF224-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB先找出BC的长，再确定PA-PB的取得最大值为BC的长即可．点P在直线EF上，如图，连接PC，六PA-PB=PC-PB≤BC=8，故PA-PB的最大值为8，此时点P是直线EF与直线BC的交点．324-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在Rt△ABC中，LC=90o，LB=30o，BC=6，D为AB的中(1)若P为BC上的一点，连接AP，DP，使得AP+DP有最小值．请作出点P（不要求写作法 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握（（1）作点A关于BC的对称点A,，连接A,D，即可求解；由LACB=90o，LABC=30o得LA,AB=90o-LABC=60o，连接A,B，证明△A,AB是等边三角形，所以得A,D=BC=6，再根据AP+DP=A,P+DP=A,D，即可求解．（2）解：由作图可知，AC=A,C，即点C为AA,的中点，又丫LACB=90o，:PC垂直平分AA,，:AP=A,P，丫LACB=90o，LABC=30o，:LA,AB=90o-LABC=90o-30o=60o，连接A,B，:AB=A,B，:△A,AB是等边三角形，:A,D=BC=6，:AP+DP=A,P+DP=A,D=6，即AP+DP的最小值为6．的垂直平分线的交点，连接EA,EC,ED．(1)如图1，当LBAC=50o时，求LAED的度数．(2)当LBAC=60°时，①如图2，连接AD，按边分，△AED是三角形．②如图3，直线CF与ED交于点F，满足LCFD=LCAE,P为直线CF上的一个动点．说明当点P在什么位置时，PE-PD的值最大？并求出这个最大值．【答案】(1)80°(2)①等边；②当点P在ED,（点D,为点D关于直线CF的对称点）的延长线上时，PE-PD的值最大，最（2）①△ADE是等边三角形，证明EA=ED，LAED=60°即可；②结论：PE-PD=2AB．如图3中，作点D关于直线CF的对称点D,，连接CD,，DD,，ED,．当点P在ED,的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=ED,，利用全等三角形的性质证明ED,=AC，可得:EA=EC=ED，:LEAC=LECA，LECD=LEDC，:LACB=90°-50°=40°,:LACD=180°-40°=140°,:LEAC+LACD+LEDC=280°,:LAED=360°-280°=80°.:EA=EC=ED，:LEAC=LECA，LECD=LEDC，:LACB=90o-60o=30o，:LACD=180o-30o=150o，:LEAC+LACD+LEDC=300o，:LAED=360o-300o=60o，:△ADE是等边三角形；②如图3中，作点D关于直线CF的对称点D,，连接CD,，DD,，ED,．当点P在ED,的延长线上时，PE-PD的值最大，此时PE-PD=ED,，丫LCFD+LCFE=180o，LCFD=LCAE，:LCAE+LCFE=180o，:LACF+LAEF=180o，:LACF=120o，:LACB=LFCD=30o，:LDCF=LFCD,=30o，:LDCD,=60o，:DC=DD,，LCDD,=LADE=60o，:LADC=LEDD,，丫DA=DE，:△ADC≌△EDD,(SAS)，:AC=ED,，:AC=2AB，:PE-PD=2AB=2×1=2．六点P在ED,的延长线上时，PE-PD的值最大，最大值为2，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，连接OB,OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB=OC,BC=8，则CD的长为()【答案】A【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分根据AB=AC,OB=OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D,BC=8，从而可以得到CD的长，本题得以解决． 故选：A．2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知A（）【答案】C【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，利用线段垂直平分线的判定定理判定AC垂直平分BD，再四边形ABCDAC.BD【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，VABC是等腰三角形，AB=AC1为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP，若ÐBAP=50°,则扇形BAC的面积2 = .【答案】【答案】π9容是解题的关键．先根据作图得CP=BP，证明AP是线段BC的垂直平分线，结合等腰三角形的三线合一，【详解】解：如图：连接CP,BP，12∴7CAP=LBAP=50o，9【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．(1)求BC的长；(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．【答案】(1)BC=10(2)点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，同理EA=EC，于是得到结论；（2）连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的\DB=DA，同理EA=EC，\BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10；理由：连接AO，BO，CO，l2是AB，AC的垂直平分线，\AO=BO，CO=AO，\OB=OC，\点O在边BC的垂直平分线上．124-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心A,B,C围成的△ABC区域内修建一个电视信号发射塔O，使得该发射塔O到三个乡镇中心A,B,C三地的距离相等，以下选址正确的是 则OA=OC=OB，六点O在线段AB、AC的垂直平分线上，即线段AB、AC的垂直平分线的交点即为发射塔O，224-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等边△ABC中，BC边上的中线AD=6，F是AD边上的一个动点，E是边AC的中点，在点F运动过程中，存在EF+CF的最小值，这个最小值是．【答案】6【答案】6【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，依据由题，先连接BE，再根据FB=FC，将EF+FC转化为EF+BF，最后根据两点之间线段最短，求得BE的长，即为EF+CF的最小值．【详解】解：由题意，连接BE，∴AD是BC边上的中线，即AD垂直平分BC．∴FB=FC．∴当B、F、E三点共线时，EF+FC=EF+BF=BE为最小值．故答案为：6．324-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在△ABC中，AD丄BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交(1)求证：(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求DC的长．【答案】(1)见解析(2)10cm（1）中垂线的性质，得到AE=EC，易得AD垂直平分BE，得到AB=AE，即可得证；（2）根据三角形的周长公式推出AB+BC=20cm，根据DC=DE+EC，等量代换推出DC，424-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知：AB=AC，DB=DC，点E在AD的延长线上．(1)求证：AE垂直平分BC；【答案】【答案】(1)详见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．（2）由线段垂直平分线的性质定理推出BE=CE，即∴AE垂直平分BC；∴△BDE≌△CDE(SSS)．【例1】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE丄DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小：.（提示：可添加辅助线）【答案】【答案】BE+CF>EF【分析】延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH，证明△BDE≌△CDH，根据全等三角形的性质得到CH=BE，再根据线段垂直平分线的性质可得EF=HF，根据三角形的三边关系解答即可．【详解】延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH，在△BDE和△CDH中，\△BDE≌△CDH(SAS)，\CH=BE，\DF是EH的垂直平分线，\EF=HF，\BE+CF>EF，故答案为：BE+CF>EF．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是．①作LAPB的平分线PC交AB于点C②过点P作PC丄AB于点C且AC=BC③取AB中点C，连接PC④过点P作PC丄AB，垂足为C【答案】【答案】①③④【详解】解：①、利用SAS判断出△PCA兰△PCB，③、利用SSS判断出△PCA兰△PCB，∴LPCA=LPCB=90°,④、利用HL判断出△PCA兰△PCB，故答案为：①③④.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握已知：如图，AB∥CD,MNTCD于点O,MP交AB于点G，当71=50°时，求7PMN的度数．思路二：过点G作GE∥MN，交CD于点E；思路三：过点O作OF∥PM，交AB于点F．(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求7PMN度数的解答过程．【答案】(1)140o；【分析】（1）过点M作EF聂CD，可得AB∥CD∥EF，从而得到71=72、L3=L4，即可求解；（3）过点G作GE∥MN，根据题意可求出LAGE=LGEO=90o，根据平角的定义可得LEGM=180o-L1-LAGE=40o，然后即可求出答案；过点O作OF∥PM，交AB于点F，根据平行线∴73=74=90o，∴7PMN=72+73=140o；（2）解：根据题意作图如下.∴7∴74=90°,如图乙，过点G作GE∥MN，交CD于点E，∴ÐAGE=ÐGEO=90°,∴ÐEGM=180°-Ð1-ÐAGE=40°,∴7PMN=140°;如图丙，过点O作OF∥PM，交AB于点F，∵MNTCD，∵LFGM=180o-L1=130o，【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅124-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰直角三角形ABC，E是射线AT上一点，点B作BMTAT(3)点E在射线AT上运动时AE，BF，EF之间的数量关系是否发生变化，如果发生变化，直接写出变化后AE，BF，EF之间的数量关系．【答案】(1)作图见解析(2)EF=AE+BF(3)当LACE<45o时，不会发生变化；当LACE>45o时，会发生变化，EF=AE-BF12交点即为F；（2）将△ACE逆时针旋转90O到△BCD的位置，由题意知AC=BC，CE=CD，AE=BD，LACE=LBCD，LFCD=90o-LECF=45o，在四边形ACBM中LACB=90o，LBMA=90o，LCAE+LCBM=180o，LCAE=LCBD，LCBD+LCBM=180o，F、B、D在一条直线上，进而可证△CEF≌△CDF(SAS)，得到AC=BC，CE=CD，AE=BD，LACE=LBCD，LFCD=90o-LECF=45o，在四边形ACBM中LACB=90o，LBMA=90o，LCAE+LCBM=180o，LCAE=LCBD，LCBD+LCBM=180o，F、B、D在一条直线上，进而可证△CEF≌△CDF(SAS)，得到EF=DF=BD-BF=AE-BF即可．12与BM交点即为F．（2）解：EF=AE+BF由题意知AC=BC，CE=CD，AE=BD，LACE=LBCD六LFCD=90o-LECF=45o丫在四边形ACBM中LACB=90o，LBMA=90o丫LCAE=LCBD六LCBD+LCBM=180o在△CEF和△CDF中六EF=DF=FB+BD=BF+AE（3）解：①当LACE>45o时，会发生变化，EF=AE-BF，证明：当LACE>45o时，如图所示将△ACE逆时针旋转90O到△BCD的位置由题意知AC=BC，CE=CD，AE=BD，LACE=LBCD∴LFCD=90o-LECF=45o丫在四边形ACBM中LACB=90o，LBMA=90o∴LCAE+LCBM=180o丫LCAE=LCBD∴LCBD+LCBM=180o在△CEF和△CDF中∴EF=DF=BD-BF=AE-BF∴EF=AE-BF．②当LACE<45o时，不会发生变化，如图，将△ACE逆时针旋转90O到△B同①可证，F、B、G在一条直线上，△CEF≌△CGF(SAS)，∴EF=GF=BG-BF=AE+BF即EF=BF+AE不变．综上可知，当LACE<45o时，不会发生变化；当LACE>45o时，会发生变化，EF=AE-BF【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，旋转的性质，三角形全等．解题的关键在于将三角形进行旋转．224-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分7CAB，过点D作DMTAB于M，DNTAC的延长线于N，且BM=CN．(2)若AB=8，AC=4，求BM的长．【答案】(1)见解析【分析】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和（1）连接BD，CD，由角平分线性质可得DM=DN，点D在BC的垂直平分线上．丫AD是7CAB的平分线，DMTAB，DNTAC，\DM=DN，在△DMB和△DNC中，\BD=CD，\点D在BC的垂直平分线上．:AM=AN丫AM=AB-BM，AN=AC+CN， :AB-BM=AC+CN． :2BM=AB-AC=8-4=4， :BM=2．324-25八年级上·浙江丽水·期末）【教材呈现】如图1，连接△AB所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=8,AC=6,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】求AE的长．（1）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，先根据线段中点的定义可得BD=CD，再利用SAS定理即（2）先根据全等三角形的性质可得BE=AC=6，再根据三角形的三边关系可得2<AE<14，（3）延长AD，交EC的延长线于点F，先证出△ABD≌△CF=AB=2，AD=FD，从而可得EF=6，再证出DE垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质即可得．在△ADC和△EDB中，∴BE=AC=6，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即8-6<AE<8+6，（3）解：如图，延长AD，交EC的延长线于点F，在△ABD和△FCD中，∴DE垂直平分AF，同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”【初步感知】在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC=EB=10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是(请直接写出答案)【实践应用】（2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首【拓展探究】(3)如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由．【答案】（1【答案】（1）2<AD<82）31m3）AF丄DE，DE=2AF，证明见解析（2）如图，延长AD,EC交于点F．证明△ADB≌△FDC，得出AD=DF，AB=CF=10.8，再进一步结合（3）如图，延长AF，使AF=FH，连接CH，证明△AFB≌△HFC(SAS)，可得AB=HC，LH=LBAF，AB∥CH，再证明△DAE≌△HCA(SAS)，可得DE=AH，LH=LADE，在进一步可得结论．【详解】解1）如图，延长AD到点E，使DE=AD，\BD=CD，丫LADC=LEDB，\△ADC≌△EDB(SAS)，\BE=AC=10，\4<2AD<16，\2<AD<8；（2）如图，延长AD,EC交于点F，丫由题意可得：LB=LDCE=90O=LDCF，而LADB=LCDF，∴△ADB≌△FDC，∴AD=DF，AB=CF=10.8m，∴EF=20.2+10.8=31m，DE是AF的垂直平分线，∴AE=EF=31m；（3）AF丄DE，DE=2AF，理由如下：如图，延长AF，使AF=FH，连接CH，丫LAFB=LCFH，∴AB=HC，LH=LBAF，∴LBAC+LACH=180o，∴LDAB=LCAE=90o，∴LDAE=LACH，∴DE=AH，LH=LADE，∴DE=2AF．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判12025·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB>AC，一定不可能经过点A的是()A．BC边的中线B．BC边的垂线C．BC边的平行线D．BC边的垂直平分线【答案】【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段【详解】解：丫AB>AC，\BC边的垂直平分线一定不经过点A，22025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB=4cm，AC=5cm，BC=6cm，则△ABD周长为()A．9cmB．10cmC．11cm【答案】B【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据DE是AC的垂直平分线得DC=DA，继而得到AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC，可得答案．解题的关键是掌握：垂直平分线上的点到线段两端点∴△ABD周长为10cm．交AB的延长线于点F．若AB=9，CD=4，则AD的长为()【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF=DE，BF=CD=4，由线\BE=EC，\LF=LCDE，LFBE=LDCE，\EF=DE，BF=CD=4， :AF=AD=