2025-2026月考试卷8年级（数学）与三角形有关的线段重难点（解析版）

就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形.【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是() 设第三根小棒的长度是x，若三根小棒可以围成三角形， 再由图中挡板高度为5，则3<x≤5，结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，故选：C．角形的个数为() 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的【详解】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是(12-x-y)根，又因为x，y是整数，因而同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：2，5；3，4；3，5；4，则满足条件的n的值有()【答案】C【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式（组）的应用．【答案】C【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式（组）的应用．根据三角形三边关系，分最大边为n+6和3n两种情况讨论，列出不等式组求解，再合并所有符合条件的正343AD的取值范围是()A．4cm<AD<14cmB．4cm≤AD≤14cmC．2cm<AD<7cmD．2cm≤AD≤7cm【答案】C【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，即9-5<2AD<9+5，【答案】8【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边【详解】解：设三角形的第三边长度是x，【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．本题已知了等腰三角形的C的两条边长，则△ABC的周长是()【答案】B【答案】B分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，结合\m-2=0且n-4=0，），【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌解得x=8,y=2，【答案】8【详解】解：如图，连接BB,，即：5-3≤BC,≤5+3【答案】【答案】6【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差的第三边长是x，由此得到3<x<7，即可得到答案．【详解】解：设三角形的第三边长是x，故答案为：6．BC，AD的中点．连接EF，线段EF的最大值为．【答案】5【分析】此题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中三边的一半．取BD的中点G，连接EG，FG，根据三角形中位线性质得出GFABEG，根据三角形三边关系可知：EF≤EG+FG，从而得出答案即可．∵E，F分别为边BC，AD的中点，根据三角形三边关系可知：根据三角形三边关系可知：EF≤EG+FG，∴当E、G、F三点共线时，EF最大，且最大值为． 系得CP>AC-AP，当D在BC边上运动时，总有CP≥AC-AP，据此求解即可． 在△APC中，由三角形三边关系得CP>AC-AP，当点P落在AC边上时，CP=AC-AP，∴当D在BC边上运动时，总有CP≥AC-AP， 故答案为：2．接起来，AB、CD可以转动．用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x． 【详解】（1）解：要求AD的最大值，即将AB绕B点逆时针方向旋转，使其与BC在一条直线上；将CD绕C点顺时针方向旋转，使其与BC在一条直线上，即四点从左到右依次为A、B、C、D．要求AD的最小值，即将AB绕B点顺时针方向旋转，使其与BC共线；将CD绕C点逆时针方向旋转，使其与BC共线，即四点从左到右依次为B、A、D、C．:AD=BC-AB-CD=15-6-4=5．长边x的取值范围为()【答案】A【答案】A【分析】根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3l【答案】A【答案】A【详解】试题解析：三边相等时,m21724-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a-b>b-c（a为最长边，c为最短边则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别7-5>5-4，所以这个三角形为“不均）．①13cm,18cm,9cm；②9cm,8cm,6cm．（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x-2,10,2x-6直接写出x的整数值为． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均 :13cm,18cm,9cm能组成“不均衡三角形”；:9cm,8cm,6cm不能组成“不均衡三角形”． 10-(2x-2)>(2x-2)-(2x-6)， ②当2x-2为最长边，2x-6为最短边时，((2x-2)-10>10-(2x-6)解得：x<8，③当2x-2为最长边，10为最短边时，2x-2-(2x-6)>2x-6-10解得：x<10，解得：x>8，综上所述，x的整数值为9；②高相等，面积之比等于底边之比.2)高与勾股定理的联系：有高就有直角，想到勾股定理.3）三角形三高线的交点是垂心，注意垂心的性质.(1)画出VABC的AB边上的高CD，垂足为D；(2)求VABC的面积．(2)VABC的面积为8．【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解（1）延长AB，过点C作AB延长线的垂线即可；【详解】（1）解：如图，延长AB，过点C作AB延长线的垂线，垂足为D，线段CD即为VABC的AB边每个小正方形的边长均为1，A,B,C均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图不要求写出画法，保留作图痕迹）【分析】本题考查了作图——三角形的中线和高线，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据相关知识（1）由矩形对角线互相平分可知，点D是AB中点，连接CD即为）． 7C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是7CAB与7CBA平分线的交点，则点O到AB的距离为．【答案】1【答案】1cm/1厘米【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作OETAC,OFTBC,OGTAB，连接OC，易得点O在7ACB的角平分线上，推出OF=OE=OG，设【详解】解：分别过点O作OETAC,OFTBC,OGTAB，连接OC，在△ABC中，ÐC=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，524-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在VABC中，AB=AC，D为BC中点，过点D作DP丄AB，DP=3，E为BC上一点，过点E作EM丄AB，EN丄AC，EM=4.2，则EN=．【答案】【答案】1.8S△ABC=S△ABF+S△ACFAB.DFAC.EF是解此题的关键．连接AD，AE，根据D为BC中点，得出【详解】解：如图，连接AD，AE，:S=S+S=AB.EM+AC.EN解得：EN=1.8．故答案为：1.8．【答案】3.75【答案】3.75AD:BE的值．【答案】【答案】AD:BE=5:4根据题意，利用等面积法，用两种方法表示△ABC的面积，进而求出AD:BE的值．点P为BC上一点，且PE丄AB，PF丄AC．则PE+PF的值为．【答案】9.6【详解】解：连接AP，△ABC△ABP△ACP，故答案为：9.6．【答案】6【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出【答案】6【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出S△ABPAP.BC，再根据=AP.BC，SΔABCAC.BC，1024-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在LAOB的边OA,OB上取点M、N．连接MN,PM【答案】6【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，掌握角平分线上的【答案】6【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，掌握角平分线上的丫PM平分LAMN，PN平分LMNB，:PF=PG，PE=PF，:PG=PE=PF，:PF=2，:四边形OMPN的面积=S△PMN+S△OMN=6，:OM+ON=6，故答案为：6【答案】6或12/12或6【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论AD在△ABC内部和AD在△ABC外部两种情况，求出CD的长度，利用三角形面积公式即:△ACD的面积是如图所示，当AD在△ABC外部时，:△ACD的面积是故答案为：6或12．【分析】本题考查了三角形面积的计算，分【分析】本题考查了三角形面积的计算，分AD在三角形的::BC=BD-CD=4-2=2，132025·黑龙江哈尔滨·三模）在△ABC中，LB=40°,若从顶点A作高线AD和角平分线AE，AD与AE的夹角为5°,则LC的度数为°.【答案】【答案】30或50【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分LB>LC和LB<LC两种情况，分别【详解】解：当LB>LC时，如图①,∵ADTBC，∵AE是7BAC的角平分线，当LB<LC时，如图②,∵ADTBC，∵AE是7BAC的角平分线，∴LC=180°-LBAC-LB=180°-90°-40°=50°;综上，LC的度数为30°或50°,故答案为：30或50．中有一个角为56o，则LBAC的度数为．分两种情况：LA为锐角与7BAC为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可．【详解】解：当LA为锐角时，如图，设三角形的两条高BD,C 【问题探究】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是线段BC上任他们用两种方法表示VABC的面积：解答过程如下：…方法二：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACDAB.DEAC.DF．【学以致用】如图2，直线y与x轴交于点A，且经过点D(2,m)，已知点C的坐标为(6,0)．【答案】【答案】[问题探究]（1）见解析（2[学以致用]（1）y2）P的坐标为或【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，分类讨论思想的应用等，解题的（2）当P在D下方时，由S△ACD=S△ADPH，得到PH，即可求解；当P在D上方时，同理可解．（1）作AG丄BC于点G，则：BGBC=5，则则DE+DF，（1）把（1）把D(2,m)代入y=x+得：m\\D(2,3)，设直线设直线CD解析式为y=px+q，由点C、D的坐标得，,解得：\\直线CD解析式为y（2）过（2）过D作DG丄AC于G，过P作PH丄AC于H，连接AP，当当P在D下方时，如图：yy，令y=0得x=-2，\\A(-2,0)，丫丫D(2,3)，C(6,0)，△ACD解得PH解得PH\P当P在D上方时，如图：△ACD=S△ACP-S△ADP，解得PH，同理可得：P综上所述，P的坐标为被称为“面积法”．已知等边△ABC，点P是平面上任意一点，设点P到△ABC边AB、AC边的距离分别为PD、PE，△ABC的BC边上的高为AM．回答以下问题：(1)如图（1若点P在三角形的BC边上，PD、PE、AM存在怎样的数量关系？请给出证明过程．(3)如图（3），当点P在△ABC外，请直接写出AM与PD、PF、PE的数量关系，不用证明． (3)PD+PE-PF=AM【分析】（1）连结PA，设AB=m，则AB=AC=BC=m，则S△APBm.PD，S△APCm.PE，S△ABCm.AM，由S△APB+S△APC=S△ABC得到m.PDm.PEm.AM，即可证明PD+PE=AM；（2）连结PA、PB、PC，则S△APB=m.PD，S△APCm.PE，S△BPCm.PF，S△ABCm.AM，（3）连结PA、PB、PC，则S△APBm.PD，S△APCm.PE，S△BPCm.PF，S△ABCm.AM，由S△APB+S△APC-S△BPC=S△ABC得到m.PD+m.PE-m.PF=m.AM，则PD+PE-【详解】（1）解：PD+PE=AM，证明如下：连结PA，如图（1）所示：设AB=m，\AB=AC=BC=m，丫PD丄AB于点D，PE丄AC于点E，AM丄BC于点M，\S△APBmPD，S△APC=mPE，S△ABCmAM，△APB△APC△ABC，\PD+PE=AM；（2）解：连结PA、PB、PC，如图（2）所示：设AB=m，\AB=AC=BC=m，丫PD丄AB于点D，PE丄AC于点E，PF丄BC于点F，AM丄BC于点M，\S△APBmPD，S△APC=mPE，S△BPCmPF，S△ABCmAM，△APB△APC△BPC△ABC，\PD+PE+PF=AM，\PD+PE+PF=10，\PD+PE+PF的值为10；（3）解：PD+PE-PF=AM，理由如下：连结PA、PB、PC，如图（3）所示：设AB=m，\AB=AC=BC=m，丫PD丄AB于点D，PE丄AC于点E，PF丄BC于点F，AM丄BC于点M，△APB△APC-S△BPC=S△ABC，:PD+PE-PF=AM．数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线(1)【学有所用】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，其一腰上的高BD为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离ME、MF分别为h1、h2，小明发现，通过连接AM，将△ABC的面积转化为△ABMCM形．再根据l2上的一点M到l1的距离是2<5，则可分类讨论：当点M在BC边上时，过点M1作M1G丄ACCM，即得出；②当点M在CB延长线上时，过点M2作M2P丄AB于点P，则M2P=M1H=2，易证△M1BH≌△M2BP(AAS)，得出BM2=BM，从而可求出CM2∴在Rt△ABC中，AC（3）解：对于y，令x=0，得：y=-5；令y=对于y=5x-5，令y=0，得：x=1，则C(1,0)．∵∵l2上的一点M到l1的距离是2<5，则点M在BC边上或在CB延长线上，分类讨论：当点分类讨论：当点M在BC边上时，过点M1作M1G丄AC于点由题可知：由题可知：M1H=2，则M1G=3，将将y=-3，代入y=5x-5，解得：x 2251522②当点②当点M在CB延长线上时，过点M2作M2P丄AB于点P，如图，又∵LM1BH=LM2BP，LM1HB=LM2PB，∴△M1BH≌△M2BP(AAS)，BM22综上所述：的值为-或-．CM37【点睛】本题考查等积法，勾股定理，一次函数的应用，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与③三边中线交点为重心，切记重心的性质.AF=EF，求阴影部分的面积．【答案】【答案】7面积转化成△BDE的面积，即可求解．【详解】解：如图，连接ED，设S△DEC=x，丫BE=3CE，AF=EF，=S△ABF，S△DFA=S△DEF，解得∶x故阴影部分的面积为3x224-25七年级下·吉林长春·期中）已知BD是△ABC的中线2cm，若△ABC的周长为17cm，且AC=5cm，求AB和BC的长．【答案】AB的长为7cm，BC的长度为5cm【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到AD=CD，然后根据△ABD的周长比△BCD的周长大2cm，得到\\联立答：三角形中AB的长为7cm，BC的长度为5cm．324-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，的中点，连接AP并延长交BC于点E，若ADCD，APAE．【答案】(1)S△APB表示出来，列关于k、S的等式，从而求出k值即可．△BPE设k，则S△PCE=kS，用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚）．(1)在图1中作△ABC的中线CE与BD，设CE与BD交于点F；(2)在图2中，在y轴上找点Q，使得AQ+GQ最小；(3)在图3中的AB上找一点M，使7BCM=7GCM；（2）连接BG交y轴于Q，则点Q即为所求，点A和点B关于y轴对称，则QA=QB，线的性质得到∠BMC=∠GCM，则7BCM=7GCM．；如图2，在VABC中，若BDBC，则（2）如图3，若CD,BE分别是VABC的边AB,AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法．连接AO，由AD=DB，得，S△ADO=S△BDO，可列方程组，解得x+y=．（3）如图4，ADAB,AEAC，若S△ABC=21，求S四边形ADOE．【答案】（12）-；-3）6【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一2（3）连接OA，ADAB,AEAC，若S△ABC=21，得到S△ADO=S△BDO，S△CEO=S△AEO，S△ABES△ABC=14,S△ADCS△ABC=7，设S△ADO=x,S△CEO=y，则S△BDO=2x，S△AEO=2【详解】解1）如图，过点A作AH丄BC于点H，如图，过点A作AT丄BC于点T，22△ABC设设S△ADO=x,S△CEO=y，则S△BDO=2x，S△AEO=2y，∴∴S四边形ADOE=S△AOD+S624-25七年级下·四川成都·期中）如图，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，点G为△ABC【答案】【答案】6【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三1，S△ABE=S△ACFS△ABC，故答案为：6．【答案】24【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可条中线AD、BE、CF交于点G，则GD是△GBC的中线，利用上述结论可得：SΔGCD=SΔGBD，同理SΔGBF=SΔGAF，SΔGAE=SΔGCE．(1)图3中，若设SΔGCD=x，SΔGBF=y，SΔGAE=z，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想；13(3)24【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能2（3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积=1´底´高，先求出△BGC的面积进而求出四边形AEGD的2【详解】（1）解：x=y=z由题意可知S△GCD=S△GBD=x，S△GBF=S△AGF=y，S△GAE=S△GCE=z，△ABD=S△ACD，\2y+x=2z+x，\y=z，△ABE\2x+z=2y+z，\x=y，\x=y=z．113\S△ABC=3S△BGC=72，::S四边形AEGD=72-12-12-24=24．124-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分LABC和LACB，OD丄BC于点D，且OD=4，△ABC的面积是．【答案】42【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线【详解】如下图，连接OA，过O作OE丄AB于E，OF丄AC于F，丫OB、OC分别平分LABC和LACB，丫△ABC的周长是21，故答案为：42．223-24八年级上·上海松江·期末）如图，在△ABC中，已知BD是LABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD丄BD，LDAC=20o，LC【答案】58【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质．【详解】解：延长AD交BC于点E，丫BD是LABC的角平分线，:LABD=LEBD，故答案为：58．A，B重合），连接CD交BE于点O．(1)若CD是中线，BC=5，AC=3，则△BCD与△ACD的周长差为；(2)若CD丄AB，LABC=60o，求LBOC的度数．形外角的性质可得LBOC=LBDC+LABE，于是得解．:AD=BD，:△BCD与△ACD的周长差=BC-AC故答案为：2；:LBDC=90o，(1)当BD平分LABC，且LABC=60o时，求LBAE的度数；(2)当点D是AC中点，DB=6，且△ABC的面积为24，求AE的长． 【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互（2）由点D是AC中点得S△ADBS△ABC=12，然后根据S△ADBBD.AE求解即可．【详解】（1）解：∵BD平分LABC，LABC=60O（已知），（BE为△ABD的角平分线． 然后根据高的定义和互余两角的性质求出LBAF的度数为5【详解】（1）LABE=LBED-LBAD=50o-30o=20o∴LABC=2LABE=40o由题意知：S△ABCxBCxAFx12xAF=6AF=48【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形(1)若LBED=40o，LBAD=25o，求LABD的度数；83S∴LABD=2LABE=30o．∵BE为△ABD的角平分线，EN丄AB，EM为△BED的高，MEME=32，解得：ME(2)若∠BED＝40°,∠BAD＝25°,求∠BAF的大小．（2）根据LBED是△ABE的一个外角∴7BED=7ABE+7BAE，∴7BAF=90°-7ABF=60°.【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的高、三角形角平分线和三角形外AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有()【答案】C【答案】C【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据AB∥DC,ED∥B∴△ABD与△ABC面积相等，为()【答案】B【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的用．根据梯形的性质可得△ADE的面积=△AEF的面积，进而同理即可解决问题．【详解】解：梯形【详解】解：梯形ABCD中，△ADE的面积-△AEM的面积=△AEF的面积-△AEM的面积，323-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点E，若AE:EC=1:3，S△AED=1，则四边形ABCD的面积为()【答案】C【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形ABCD中，AE:EC=1:3，可得S△ACD=4S△AED，再利用AD∥BC，S△ABD=S△ACD，然后可求出S△ABE，根据可得△AED∵AD∥BC，△ABE△ABD-S△AED=3，△ABE42025·北京·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点E．若S△AED=2，则四边形ABCD的面积为．【答案】32【答案】32【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形ABCD中，AE:EC=1:3，可得S△ACD=4S△AED，再利用AD∥BC，S△ABD=S△ACD，然后可求出S△ABE，根据可得【详解】解：∵四边形ABCD中，AE:EC=1:3，△AED△AED∵AD∥BC，△ABE△ABE用