2025-2026月考试卷8年级（数学）专题03期中压轴题专训（解析版）

如图①,在△ABC中，AC=BC，D，E分别在AC，BC上，若CD=CE，则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形，连接AE，BD，则AD与BE的数量关系是（2）类比探究：如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．试求7AEB的度数及AD与BE的数量关系．并说明理由．（3）拓展延伸：如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，7ACB=7DCE=90°,点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试猜想7AEB的度数及线段CM，AE，BE之间（4）解决问题：在（3）的条件下，若BE=4，CM=3，直接写出四边形ABEC的面积． 【答案】（1）AD=BE2）7AEB=60°,AD=BE；理由见解析3）7AEB=90°,AE-BE=2CM；理由见解析4）35 【详解】解1）丫AC=BC，CD=CE，∴AC-CD=BC-CE，∴AD=BE，故答案为：AD=BE． 六六LACD=60°-LDCB=LBCE，六7ADC=7BEC，AD=BE，六LAEB=LBEC-LCED=120°-60°=60°;（3）LAEB=90°,AE-BE=2CM；理由如下：六AC=BC，DC=EC，LACB=LDCE=90°,LCDE=LCED=45°六LACD=90°-LDCB=LBCE，六7ADC=7BEC，AD=BE，六LAEB=LBEC-LCED=135°-45°=90°;六AE-BE=AE-AD=DE2222个等角的度数为90°,且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，LACB=90°,AC=BC，过点C作直线DE，AD丄DEBETDE于点E，则AD，BE与DE之间满足的数量关系是②如图2，在等腰直角△ABC中，LACB=90°,AC=BC，过点C作直线CE，过点A作AD丄CE于点D，过点B作BE丄CE于点E，AD=5，BE=2，则DE的长为积②如图4，在Rt△AOB中，LAOB=90o，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连DC交OB延长线于点E，判断AO与BE的数量关系并证明．直角三角形ACD，连接BD，请画出图形并直接写出△BCD的面积．【答案】（1）①DE=BE+AD；②32）①32；②OA=【详解】解1）①丫AD丄DE，BE丄DE，:LADC=LCEB=90o，丫LACB=90o，:LACD+LCAD=90o，LACD+LBCE=90o，:LCAD=LBCE，:CD=BE，AD=CE，:DE=CD+CE=BE+AD，故答案为：DE=BE+AD；②丫AD丄DE，BE丄DE，:LADC=LCEB=90o，丫LACB=90o，:LACD+LCAD=90o，LACD+LBCE=90o，:LCAD=LBCE，在△CAD和△BCE中，:△CAD≌△BCE(AAS)，:CD=BE，AD=CE，丫AD=5，BE=2，:DE=CE-CD=AD-BE=5-2=3，故答案为：3；（2）①如图所示，过点B作BH丄DC交DC延长线于H，②OA=2BE，证明如下：如图所示，过点D作DH丄BE交BE延长线于H，（3）以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，LCAD=90°,如图4，过点A作AE丄BC于E，过点D作DF丄EA交EA延长线于F，丫AB=AC，BC=4，S△ABCBC.AE=6，:AE=3，CEBC=2，由（1）得：△ACE≌△DAF，:AF=CE=2，:S△BCD=BC.EF=×4×(2+3)=10；以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，LACD=90°,如图5，过点A作AE丄BC于E，过点D作DF丄BC交BC延长线于F，丫AB=AC，BC=4，S△ABCBC.AE=6，:AE=3，CEBC=2，由（1）得：△AEC≌△CFD，:CE=DF=2，:S△BCDBC.DF综上所述，△BCD的面积为10或4．325-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且LMDN=60°,LBDC=120°,BD=DC．探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．【问题探究】（1）如图1，当点M，N分别在边AB，AC上，且DM=DN时，此时BM，NC，MN间的（2）如图2，点M，N边分别在AB，AC上，且当DM≠DN时，猜想BM，NC，MN之间的数量关系QQL用x，L表示，直接写出结果)．【答案】（1）MN=BM+NC2）MN=BM+CN，证明见解析；丫DM=DN，LMDN=60°,:△MDN是等边三角形，:MN=DM=DN，丫LBDC=120°,BD=DC，:LDBC=LDCB=30°,丫△ABC是等边三角形，:LABC=LACB=60°,:LDBM=LDCN=90°,在Rt△DBM和Rt△DCN中，:Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，:LBDM=LCDN=30°,BM=CN，:DM=2BM，:DM=2BM=BM+NC，:MN=DM=BM+NC；丫AB=AC，BM=CN，:AM=AN，丫LA=60°,:△AMN是等边三角形，:AM=AN=MN=2BM，:△AMN的周长Q=3MN=6BM，等边△ABC的周长L=3AB=3(AM+BM)=9BM，；故答案为:MN=BM+NC（2）解：MN=BM+CN，证明：如图2，延长AC到E，使CE=BM，连接DE，丫△ABC是等边三角形，:LABC=LACB=60°,丫BD=CD，LBDC=120°,:LDBC=LDCB=30°,:LABC+LDBC=LACB+LDCB，即LABD=LACD=90°,:LDCE=180°-LACD=90°=LDBM，\△DBM≌△DCE(SAS)，\DM=DE，ÐBDM=ÐCDE，丫ÐBDC=120°,ÐMDN=60°,\ÐBDM+ÐCDN=120°-60°=60°,\ÐCDE+ÐCDN=60°,即ÐEDN=60°=ÐMDN，丫EN=CE+CN，CE=BM，\MN=BM+CN；丫△ABC是等边三角形，\AB=AC=BC，\等边三角形ABC的周长L=AB+AC+BC=3AB，丫MN=BM+NC，\△AMN的周长Q=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB，（3）解：CN=BM+MN，证明：在NC上截取CF=BM，连接DF，由（2）知：ÐABD=ÐACD=90°,\ÐMBD=90°=ÐFCD，丫ÐMDN=ÐBDM+ÐBDN=ÐCDF+ÐBDN=60°,丫ÐBDC=120°,\ÐFDN=60°=ÐMDN，丫CN=CF+FN，CF=BM，\CN=BM+MN；丫等边△ABC的周长为L，\AB△AMN的周长Q=MN+AN+AM，==FN+AN+AB+BM，=AN+AF+AN+AC+CF，=2AN+2AC故答案为：2x+．424-25八年级上·山东东营·期中）如图，在△ABC中，LC=LMON=90o，将LMON绕点O旋转，LMON的两边分别与射线AC、CB交于点D、E．(1)当LMON转动至如图一所示的位置时，连接CO，求证：△COD≌△BOE；(2)如图一，线段CD、CE、AC三者之间的数量关系是(3)当LMON转动至如图二所示的位置时，线段CD、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)CE+CD=丫LMON=LCOB=90o，∴LDOC=LEOB，（2）CE+CD=AC，理由如下：如图所示，连CO，∴LCOB=90o，LECO=LDAO，∴LCOE+LBOE=90o，（3）CE-CD=AC．理由：连接OC．丫丫LMON=LCOB=90o，∴LDOC=LEOB，∴CD=BE，∴CE-CD=CE-BE=BC=AC．525-26八年级上·四川·阶段练习1）如图1，点E，F是边长为4cm的正方形ABCLEBF=45o．为了探究AE，CF，EF之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长EA到H，使AH=CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再结合得出的结论证明△EBH≌△EBF，得EF=EH，从而得到（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，LB+LD=180o，E，F分别是线段BC，CD上的点，且LEAFLBAD，探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；（3）如图3，在四边形ABCD中，LABC+LADC=180o，AB=AD，点E，F分别在CB和CD的延长线上，且满足EF=BE+DF，请探究LBAD和LEAF间的数量关系．【答案】（1【答案】（1）EF=AE+CF；8cm2）EF=BE+DF3）∠EAF=180oBAD【详解】解1）如图所示，延长EA到H，使AH=CF，连接BH，∴∠BAH=180o-∠BAD=90o=∠C，又丫AH=CF，∴△ABH≌△CBF(丫LEBF=45o，∴LABE+LCBF=LABC-LEBF=45o，∴∠EBH=∠ABE+∠ABH=∠ABE+∠CBF=45o，∴LEBH=LEBF，丫EH=AE+AH=AE+CF，∴EF=AE+CF，故答案为：EF=AE+CF；8cm；（2）如图所示，延长EB到H，使得BH=DF，连接AH，丫LEAFLBAD，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAFBAD，1∴LEAH=LBAE+LBAH=LBAE+LDAF=LBAD，∴LEAH=LEAF，2（3）如图所示，延长DC到G，使得DG=BE，连接AG，LABC+LADC=180O，LABC+LABE=180O，∴LADG=LABE，6.（24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知LDCE与LAOB，OC平分LAOB．(1)如图1，LDCE与LAOB的两边分别相交于点D、E，LAOB=LDCE=90O，试判断线段CD与CE的数解：CD=CE．请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明①如图3，LDCE与LAOB的两边分别相交于点D、E时，写出线段OD、OE、OC的数量关系；②如图4，LDCE的一边与AO的延长线相交时，写出线段OD、OE、OC的数量关系； °-Ð2=45°°（（2）①OE+OD=OC．理由如下：方法一：过点C作CM丄OA，CN丄OB，垂足则ÐCMD=ÐCNE=90°,又丫OC平分ÐAOB，∴CM=CN，∴OMOC，同理ON=OC，∴OE+ODOCOC=OC．方法二：以方法二：以CO为一边作LFCO=60o，交OB于点F，如图，∴L1=L3，L3=L2=LFCO，∴△COF是等边三角形，∴CO=CF，②有OE-OD=OC结论成立．以OC为一边，作LOCF=60o与OB交于F点，如图，丫LAOB=120o，OC为LAOB的角平分线，∴LCOB=LCOA=60o，丫LOCF=LOCD+LDCF=60o，LDCE=LDCF+LFCE=60o，∴LOCD=LFCE，过点C作CM丄OA，CN丄OB垂足分别为M，N，如图，则LCMD=LCNE=90o，又丫OC平分LAOB，∴CM=CN，设OD=2x，△OCDOD.CM=a，S△OCEOE.CN则S△OCE．725-26八年级上·江苏·阶段练习）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①,等腰△ABC中，AB=AC．点D是AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上，且AB=AE，(1)问题思考在图①中，求证：LBPC=LBAC；(2)问题再探若LBAC=60o，如图②,探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明．小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段(3)问题拓展，若LBAC=90o，且BD平分LABC，如图③,请直接写出的值为．【答案】(1)证明见解析；(2)BP=AP+EP，证明见解析；(3)．【详解】（1）解：BP=AP+EP，证明如下：丫AB=AE，AB=AC,:AC=AE，在△APC与△APE中，:△APC≌△APE，:LACP=LAEP，丫AB=AE，AB=AC,:LABE=LAEB，LACB=LBCA，:LABE=LACP，丫LBAC+LABC+LACB=LBAC+LABE+LPBC+LACB=180o，LBPC+LPBC+LPCB=LBPC+LPBC+LBCA+LACP=180o，:LBAC=LBPC；（2）如图所示，在线段BP上取点F，使得LPAF=60o，丫△APE丝△APC，:LAPE=LAPC，丫LBPC=LBAC=60o，:LAPF+LAPE=2LAPF+60o=180o，:LAPF=60o=LPAF，丫LBAC=LFAP=60o，:LBAF=LCAP，在△BAF与△CAP中:△BAF丝△CAP，:BF=CP，丫BP=BF+PF，PC=PE，AP=PF，:BP=AP+EP；:LABC=LACB=45o，LABH=LHBC=22.5o，又丫LBAH+LHAP=90。，LPAC+LHAP=90。，:LBAH=LPAC，:AH=AP，:LAHE=LAPB=45o，:LBAH=LAHE-LABH=45o-22.5o=22.5o=LPAC=LAPC，:AP=PC，:BH=AH=PC=PE，LHBA=LHAB=22.5o，:LHDA=180-LABH-LBAC=67.5o=LHAD，即：HA=HD，\\HD=HA=BH=EP，故答案为：．如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE小明的方法思考1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是；A．SSSB．AASC．SASD．HL[初步运用]（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AE=EF．若EF=3，EC=2，线段BF的长为．（4）如图3，AD是△ABC的中线，LBAC=LACB，点E在BC的延长线上，EC=BC．求证：AEAE=2AD．解：由（1）知△ADC≌△EDB，∴BE=AC=4，AD=DEAE，在△ABE中，AB=6，∴6-4<AE<6+4，即2<AE<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；解：如图所示，延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，标记L1,L2,L3,L4，丫AE=EF，EF=3，EC=2，∴L1=L2，AC=AE+EC=EF+EC=5，∴BG=AC=5，L2=L4又丫L2=L3，∴L3=L4，∴BF=BG=5，∴线段BF的长为5；（4）证明：如图所示，延长AD到点H，使DH=AD，连接CH，标记L5,L6，丫LBAC=LACB，∴AB=BC，LBAC+L5=LACB+L6，即LACE=LACH，又丫EC=BC，∴EC=HC，∴在△ACE和△ACH中，∴△ACE≌△ACH(SAS)，∴AE=AH，又丫DH=AD，∴AH=2AD，∴AE=2AD．925-26八年级上·江西宜春·阶段练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关(1)如图1，E是边AB上任意一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．.求证：DE=DF．(2)如图2，连接AD，若AB=6，AC=4，求AD的长的取值范围．(3)如图3，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AB=CE，LBAC=LBCA，求证：AC平分LDAE．(4)若将（3）中的“AB=CE，LBAC=LBCA”更改为“AC平分LDAE，LE=LBAD”，试探究线段AE与AD【答案】(1)见解析(2)1<AD<5(3)见解析(4)AE=2AD，理由见解析【详解】（1）解：丫CF∥AB，∴LB=LDCF，LF=LBED，（2）解：如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接EC．又AC=4，∴在△AEC中，由三边关系可得：CE-AC<AE<CE+AC，即2<AE<10，（3）证明：如图，延长AD至点F，使FD=AD，连接FC．同法（1）得：△ABD≌△FCD，∴CF=AB,LABD=LFCD，丫LBAC=LBCA，∴AB=BC丫LACE=LABC+LBAC，∴LACE=LACB+LBCF=LACF，在△ACF和△ACE中，丫CF=CE,LACF=LACE,AC=AC，（4）AE=2AD，理由如下：如图，延长AD至点F，使FD=AD，连接FC．∴AF=2AD同法（1）得：△ABD≌△FCD，∴LF=LBAD，AB=AC，点D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG（2）【探究】如图③,在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，7BAE=7EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．（3）【应用】如图④,在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若【详解】续写证明：丫DG聂AC，:7GDF=7E，7ACB=7DGB，丫DF=EF,7GFD=7CFE，:△DGF≌△ECF，:DG=CE．丫AB=AC，:7ABC=7ACB，:7DGB=7ABC，:BD=DG，又丫DG=CE，:BD=CE．【探究】解：AB＝AF+CF．如图1，分别延长DC、AE，交于G点，丫AB∥DC，:7B=7GCE，7BAE=7EGC，丫E为BC边的中点，:BE=CE，:△ABE≌△GCE（AAS:AB=CG，又丫AB∥DC，:7BAE=7G，而7BAE=7EAF，:7G=7EAF，:AF=GF，:AB=CG=GF+CF=AF+CF．【应用】解：如图2，延长GE交CB的延长线于M，丫四边形ABCD是正方形，:AD∥CM，:7AGE=7M，丫7AEG=7BEM，AE=BE:△AEG≌△BEM（AAS:GE=EM，AG=BM=1，丫EFTMG，:FG=FM，丫BF=2，:MF=BF+BM=1+2，:GF=FM=2+1．故答案为：2+1．1125-26九年级上·北京·阶段练习）Rt△ABC中，LACB=90o，LB=a，点D是AB边中点，点E是BC边上动点（不与点B、点C重合连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转2a，得到线段DF，连接BF．(1)如图1，若点F刚好落在BC边上，连接AF，求证：AF=BF；(2)在图2中判断AC、BE、BF的数量关系，并证明；【答案】【答案】(1)见解析(2)证明见解析(3)又又丫点D是AB边中点，:DF垂直平分AB，:AF=BF，（2）解：AC2+BE2=BF2，理由如如图所示，过点A如图所示，过点A作AG聂BC，AG=BE，则AG丄AC，∴LGAD=LEBD，丫LABC=a，则LADC=LDBC+LDCB=2a∴LGDC=LGDA+2a又丫旋转，则LEDF=2a，DF=DE，∴LBDF=LBDE+2a=LGDC，DG=DF，在Rt△ACG中，AC2+AG2=CG2，∴AC2+BE2=BF2； 由旋转可得：由旋转可得：DE=DF，LEDF=2a=60o，丫LABC=a，则LADC=LDBC+LDCB=2a∴LADF=LCDE=2a+LCDF在Rt△AFC中，AC=1，LCAF=LBAC-LBAF=60o-30o=30o∴CFAC故答案为1224-25八年级上·广东·阶段练习）综合探究．AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，写出AB与CE的位置关系为；线段EC，AC，【答案】（【答案】（1）证明见解析2）AB∥CE，EC=AC+CD；证明见解析3）有；5:AB=AC,AD=AE,LBAC=LDAE=60o，丫LBAC=LDAE，:LBAC-LDAC=LDAE-LDAC，即LBAD=LCAE，丫△ABC和△ADE是等边三角形，:AB=AC,AD=AE,LBAC=LDAE丫LBAC=LDAE，:LBAC+LDAC=LDAE+LDAC，即LBAD=LCAE，丫AC=BC，:CE=BD=BC+CD=AC+CD．（3）解：有最小值，在射线BC上截取PC=DM，连接EM，丫△ABC和△DPE是等边三角形，\PE=ED,LDPE=LACB=60O，\LACD=180O-LACB=120O，\LACD+LDEP=180O，\LECD+LCDE+LCED+LPCE+LCEP+LEPC=360O，丫LPCE+LECD+LCEP+LCED-LACD+LDEP=180O，\LEPC+LCDE=180O，\LEPC=LEDM，\EC=EM,LPEC=LDEM，丫LPEC+LCED=LDEP=60O，\LCEM=LDEM+LCED=60O，∴△CEM是等边三角形，\LECM=60O，\LECD=60O,LACE=180O-LECD-LACB=60O，即点E在LACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP,=CP，连接EP,，在△CEP和△CEP,中，\△CEP≌△CEP,(SAS)，\PE=P,E，\BE+PE=BE+P,E，由三角形三边关系可得，BE+P,E≥BP,，即当点E与点C重合时，BE+P,E=BP,时，BE+PE有最小值BP,，丫AP=1,AC=BC=AB=3，\PC=AC-AP=2，\BE+PE=BE+P,E=BP,=BE+CP,=BC+CP=3+2=5．∴BE+PE的最小值为5．1325-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA=DC，EC=EB，LADC=a，LCEB=β,且a+β=180O．(2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF丄EF；(3)如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合连接DE，若a=60o，AC=△△【答案】(1)详见解析(2)详见解析(【详解】（1）证明：在△DAC中，丫AD=DC，:LDAC=LDCA，丫LDCE=180o,a+β=180o，:LDCE=90o，:DC丄CE；（2）证明：延长DF至Q，使FQ=DF，连接BQ，又丫AD=DC，:DC=QB，由（1）知LDAC=LDCA，LECB=LEBC，设LDAC=LDCA=x,LECB=LEBC=y，LCAB=L1,LCBA=L2，:LQBF=x-L1，:LQBE=y+x-L1-L2，LDCE=180o-y-x-L1-L2，由（1）知y+x=90o，:LDCE=LQBE=90o-L1-L2，又丫DF=QF，:DF丄EF；:AEDE=AE+EH，根据垂线段最短，当A、E、H共线且AH丄BC时，AE+EH最小值为A到CD1425-26八年级上·江苏·阶段练习）如图1，AO是边长为2的等边△ABC的高，点D是线段AO上的一个动点（点D不与点A、O重合以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连接BE．(1)求证：△ACD≌△BCE(2)连接OE，在点D(3)延长BE交AC的延长线于点F．如图2，当△CEF为等腰三角形时：①求LACD的度数；②求△CEF的六∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即LACD=LBCE，：；∴∴CE≠CF，CE≠EF，∴当△CEF为等腰三角形时，必定为CF=EF，∴∴ÐACD=180°-ÐDCE-ÐECF=180°-60°-75°=45°;1524-25八年级上·江苏·阶段练习）定义：过(1)在Rt△ABC中，ÐC=90°,AC=8,BC=6．①如图1，若O为AB的中点，则射线OCVABC的等腰分割线；(填“是”或“不是”)②如图2，已知VABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P，且PB=PA，请求出CP的长度．(2)如图3，VABC中，CD为AB边上的高，F为AC的中点，过点F的直线l交AD于点E，作CM+DN的最大值．【答案】(1)①是②PCCM+DN的最大值为8②设PC=x，则AP=BP=8-x，在22丫1624-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知VABC是等边三角形．【初步探索】（1）如图1，点D在线段BC上，连接AD，作DETAB于点E，若BD=1，求BE的长；【探索证明】（2）如图2，延长BC至点E，连接AE，点F是VABC外一点，连接EF、CF，CF平分7ACE，在CF上取一点G，使得CG=CE，连接EG，若ÐAEF=60°,求证：CF=AC+CE；【灵活应用】（3）如图3，延长BC至点P，点M为BC上一点，连接AM，以AM为边在右侧作等边三角形AMN，取AC中点H，连接NH，若AB=4，请求出NH的最小值及此时BM的长．∴点N在ÐACP的角平分线所在直线上运动，由垂线段最短可知，当NH丄CN时，NH最短，即ÐHNC=90°,2-CN2=·l22-12=s3，(1)我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平图1，已知，点D在△ABC的边BC上，AD平分7BAC，且ADTBC，求证:AB=AC．请你帮助小华(2)①如图2，在△ABC中，7ABD=27C，AD是角平分线，BDTAD，证明:AC-AB=2BD．②如图3，在四边形ABCD中，AC=13,BC-AB=3,BD平分7ABC，BDTCD，当△ACD的面积最OA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分7BAC和 【详解】解1）丫AD平分7BAC，且ADTBC，六7BAD=7CAD,7ADB=（2）①延长BD交AC于点E，②延长BA,CD交于点E，六BC-AB=BE-AB=AE=3，AD平分△AEC的面积，即：S△ACDS△ACE，丫AC为定值，AE为定值，点E到AC的距离小于等于AE，（3）延长MO交AB于点D，延长NO交AB于点E，丫OA、OB分别平分ÐBAC和ÐABC，OM丄OA，ON丄OB，由“情境建模”的结论得：△AOM丝△AOD，△BON丝△BOE，\OM=OD，ON=OE，在△MON和△DOE中，\△MON≌△DOE(SAS)，\MN=DE，丫ÐC=90°,AC=9m，BC=12m，\ABm，设AM=x，BN=y，\CM=9-x，CN=12-y，丫△AOM丝△AOD，△BON丝△BOE，\AD=AM=x，BE=BN=y，\DE=AD+BE-AB=x+y-15，\MN=DE=x+y-15，1825-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且ÐDAC=ÐDCA．(1)如图所示，若ÐAEB=125°,且ÐABD=2ÐCBD，DF平分ÐADB交AB、AC边于点F、M．①判断△DME是否能构成等腰三角形？若能，请求出其顶角的度数，若不能，请说明理由．②求的值．(2)若DB平分ÐADC，DE=CE，DH交AB点H且满足ÐADH=2ÐBDH，画出符合题意的图形，判断AH与DH之间的数量关系并证明．丫AB∥CD，LDAC=LDCA，∴LDCA=LCAB=LDAC=55°-2a，∴LADE=125°-55°+2a=70°+2a，LCDB=LABD=2a，丫DF平分LADB，∴LADF=LMDE=35°+a，LDME=55°-2a+35°+a=90°-a，丫△DME为等腰三角形，当LDME=LAED时，∴90°-a=55°,解得：a=35°,当LEDM=LEMD时，∴35°+a=90°-a，解得：a=27.5°,∴LADC=70°+4´27.5°=180°,不符合题意，舍去，当LMDE=LDEM时，∴35°+a=55°,解得：a=20°,∴LADC=70°+4´20°=150°,符合题意，此时顶角LDME=90°-a=70°.②如图，过F作FI丄AD于I，作FJ丄BD于J，（2）解：DH=2AH，理由如下：如图，丫DB平分LADC，∴LADB=LCDB，丫LDAC=LDCA，DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∴LAED=LCED，丫LADH=2LBDH，LADH1925-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）△ABC为等腰直角三角形，LABC=90°,点D在AB边上（不与点A、B重合以CD为腰作等腰直角△(1)如图1，作EF丄BC于F，求证：△DBC≌△CFE；(2)在AD=2BM；(3)如图3，过点E作EH丄CE交CB的延长线于点H，过点D作DG丄DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论．（3）解：HE=HG+DG，理由如下：在EH上截取EQ=DG，如图，丫LDCG+LDCB=45o，六LECQ+LDCB=45o，202025·重庆·模拟预测）【解决问题】如图1，在△ABC中，延长AC到D且LA=LBCE=LD，连接BE．（1）求证：△CED≌△BCA2）如图2，若LACB=90o，将DE沿直线CD翻折得到DE,，连接BE,和CE,，BE,与CE交于F，若BE,∥ED，求证：F是BE,的中点；【迁移拓展】（3）如图3，若LACB=90o，AC=BC，将DE沿直线CD翻折得到DE'，连接BE,交CE于F，交CD于G，若AC=a，AB=b，直接写出线段CG的长度（用含a，b的式子表示无需说明理由． 【答案】（1）见解析2）见解析3）b-a 【详解】（1）证明：丫LABC+LA=LBCD，LBCE+LECD=LBCD，LA=LBCE，\LABC=LECD， （2）证明：丫LABC+LA=LBCD，LBCE+LECD=LBCD，LA=LBCE，\LABC=LECD， \BC=CE，六LACB=LDEC=90o，如图，连接CE,，丫将DE沿直线CD翻折得到DE,，\CE=CE,=CB，丫BE,∥ED，\LCFE,=LDEC=（3）解：如图，连接EG，延长EG交BC于M，根据折叠的性质，则LDGE=LDGE,，丫LDGE=LCGM，LDGE,=LBGC，\LBGC=LCGM，\△BGC≌△MGC(ASA)，\BC=CM，由（2）知，△ABC≌△\BC=CE，LACB=LDEC=90o，\CE=CB=CM，\LCBE=LCEB，LCEM=LCME，\LBEM=LCEB+LCEM\LBEM=LCED，\LBEM-LCEM=LCED-LCEM，\LBEC=LGED，丫LACB=90o，AC=BC，\LA=LABC=45o，\LEDC=LA=45o=LECD，CE=DE，丫CD=AB=b，\CG=CD-GD=b-a．2125-26九年级上·福建福州·开学考试）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①,点P在等边△ABC内部，且PA=3，PC=4，LAPC=150o，求PB的长．(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60o，得到△AP,B，连接PP,，寻找PA，PB，PC三边之间的数量关系，即可求得PB的(2)【理解应用】如图②,在等腰直角△ABC中，LACB=90o，P为△ABC内一点，LAPC=135o，判断PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③,在Rt△ABC中，LC=90o，AC=1，LABC=30o，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且LAOC=LCOB=LBOA=120o，求OA+OB+OC的值．如图，把△BCP绕点C顺时针旋转90o得到△ACD，连接PD，丫LAPC=135o，六LAPD=LAPC-LCPD=90°,（3）解：如下图，将△AOB绕点B顺时针旋转60o至△A,O,B处，连接OO,，在Rt△A,BC中，A,C2225-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC于点D，LCBE=45o，BE分别交AC,AD于点E、F，(2)如图2，若AF=BC．①求证：E是AC的中点；②求证：BF2+EF2=AE2．【答案】(1)7(2)①证明见解析；②在Rt△BDF中，LCBE=45o，则△BDF是等:DF=BD=5，:AF=AD-DF=12-5=7；（2）证明：①在BF上取一点H，使BH=EF，连接CF、CH，如图所示：:AE=CH，LAEF=LBHC:LCEF=LCHE，∴CE=CH，:AE=CE，即E是AC的中点；②如①图所示，丫AB=AC，AD丄BC，:BD=CD，:CF=BF，LCFD=LBFD=45o，:LCFB=90o，由①可知，CE=CH=AE，:EF=FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2+FH2=CH2，∴BF2+EF2=AE2．重合连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE，使LDAE=90o，AD=AE，连接CE，交直线AB于点H．①如图3，当点D在线段BC上时，求证：CH=EH； ∴LECD+LACB=90o，LECD+LCED=90o，∴LACB=LCED， △ACD设设AF=BD=x；当点H在线段AB上时，如图，当点H在线段AB反向延长线上时，如图，同理得：△EFH≌△C∴BF=AB+AF=1+x，BH=FHBFAH=BH-AB2425-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：在Rt△ABC中，LACB=90°,BC=AC．LDBE=LDBC+LCBE=45°+45°=90°,进而得到线段AD、BD、DE之间满足的数量关系是 （1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．【答案】（1）AD2+BD2=DE221）中的结论仍然成立；理由见解析322=DE2，故答案为：BD2+AD2=DE2；（2）解：成立，理由如下：如图，连接BE，22（3）解：①当点D在线段AB上时，如图，由（1）的结论知，AE2+AD2=DE2，AE=BD，22222六CDDE△CDECD②当点D在线段BA的延长线上时，如图，由（2）的结论知，AE2+AD2=DE2，AE=BD，22六CDDE=CD2 2525-26八年级上·陕西西安·阶段练习）古希腊位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后再巡查B营．如大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②,作点B关于直线l的对称点B,，连接AB,证明：如图③,作点B关于直线l的对称点B,，连接AB,与直线l交于点P,，连接B,P,，BP,，:PB= :当A，P，B,三点共线，即点P与点P,重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB,的长，即点P,就是饮马(1)解决问题补全证明过程；(2)模型应用：如图④,红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，两村到河 【详解】（1）解：如图③,作点B关于直线l的对称点B,，连接AB,与直线l交于点P,，连接B,P,，BP,， :PB=PB,，P,B=P,B,，:AP+PB=AP+PB≥AB,，:当A，P，B,三点共线，即点P与点P,重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB,的长，即点P,就是饮马 的位置．故答案为：PB,,P,B,,AB,； （2）①如图所示，作点A关于CD的对称点A,，连接BA,交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置；②如解图①,过点B作BE丄CA交CA的延长线于点E，连接AP, :四边形ECDB是矩形，:BE=CD=3千米，CE=BD=3千米． 丫点A与点A,关于CD对称，:AP=A,P，六AP+BP= 作DE丄AC交AC延长线于点E，2625-26八年级上·山西晋中·阶段练习）综合与探究定义：一般地，若直角三角形三边长a、b、c都是正整数，那么称a、b、c为勾股数．于c）可以组成一些有规律的勾股数．mnabc213453186325418________42_________2043________2425……………(1)请补全表中的勾股数．(2)对表中的数据探究发现，a=m2-n2，继续探究发现b和c也可以用含m、n的满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植株花．【答案】【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)56．mmnnaabbcc2211334455331188663322554411884422202044337724242525……………（（2）解：根据表格信息可知，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，由（2）可得c=42+32=25，b=2´