直线与圆的题目及答案

直线与圆的题目及答案《直线与圆的题目及答案》一、直线的基本性质与方程1.直线的斜率与截距（20分）题目1：已知直线过点A(2,3)和B(5,7)，求这条直线的斜率。题目2：已知直线的斜率为2，且经过点(1,4)，求这条直线的方程。题目3：已知直线在y轴上的截距为3，斜率为-1，求这条直线的方程。题目4：已知直线方程为y=3x+2，求这条直线的斜率和y轴截距。题目5：已知直线过点(0,2)和(4,0)，求这条直线的斜率和x轴截距。2.直线方程的几种形式（20分）题目1：将直线方程y=2x-3化为截距式。题目2：将直线方程3x+4y-12=0化为斜截式。题目3：将直线方程y-2=3(x+1)化为一般式。题目4：已知直线过点(1,2)和(3,5)，求这条直线的两点式方程。题目5：已知直线在x轴和y轴上的截距分别为3和4，求这条直线的截距式方程。3.两条直线的位置关系（20分）题目1：判断直线l1:y=2x+1和l2:y=2x-3的位置关系。题目2：判断直线l1:2x+3y-6=0和l2:4x+6y-12=0的位置关系。题目3：判断直线l1:x-y+1=0和l2:x+y-3=0的位置关系，并求它们的交点。题目4：求过点(2,3)且与直线2x-y+1=0平行的直线方程。题目5：求过点(1,2)且与直线x-3y+2=0垂直的直线方程。二、圆的基本性质与方程1.圆的定义与标准方程（20分）题目1：求圆心在原点，半径为5的圆的方程。题目2：求圆心在点(2,3)，半径为4的圆的方程。题目3：已知圆的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，求圆心和半径。题目4：已知点P(3,4)在圆上，圆心为C(1,2)，求圆的方程。题目5：已知圆的方程为x²+y²+6x-8y+9=0，求圆心和半径。2.圆的几何性质（20分）题目1：证明圆的直径所对的圆周角是直角。题目2：证明圆的切线与过切点的半径垂直。题目3：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，求证∠ACB=90°。题目4：已知圆O的半径为5，弦AB=8，求圆心O到弦AB的距离。题目5：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，若AD=3，DB=9，求CD的长度。3.圆的参数方程（20分）题目1：写出圆心在原点，半径为r的圆的参数方程。题目2：写出圆心在点(a,b)，半径为r的圆的参数方程。题目3：将圆的方程x²+y²=16化为参数方程。题目4：将圆的方程(x-2)²+(y+3)²=25化为参数方程。题目5：已知圆的参数方程为x=3+2cosθ，y=1+2sinθ，求圆心和半径。三、直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系判定（20分）题目1：判断直线x+y-1=0与圆x²+y²=4的位置关系。题目2：判断直线2x-y+2=0与圆(x-1)²+y²=9的位置关系。题目3：判断直线3x-4y+5=0与圆x²+y²-2x+4y-4=0的位置关系。题目4：当k为何值时，直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切。题目5：当m为何值时，直线x+y=m与圆x²+y²=2相交。2.直线与圆的交点问题（20分）题目1：求直线x+y-3=0与圆x²+y²=9的交点坐标。题目2：求直线2x-y-1=0与圆(x-1)²+(y+2)²=16的交点坐标。题目3：求直线y=2x+1与圆x²+y²-4x+2y-4=0的交点坐标。题目4：已知直线x+2y-3=0与圆x²+y²=r²相交，且交点间的距离为2，求r的值。题目5：求直线x+y-1=0与圆(x-1)²+(y-2)²=4的交点，并计算两交点间的距离。3.直线与圆的切线问题（20分）题目1：求过圆x²+y²=25上点(3,4)的切线方程。题目2：求过圆(x-1)²+(y+2)²=9上点(2,0)的切线方程。题目3：求过圆外点(4,5)向圆x²+y²=16所作的切线方程。题目4：求过点(2,3)且与圆x²+y²=1相切的直线方程。题目5：求与直线x+y+1=0平行且与圆x²+y²=4相切的直线方程。四、直线与圆的综合应用题1.几何图形中的直线与圆（20分）题目1：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求这个三角形的外接圆方程。题目2：已知矩形ABCD的顶点A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，求这个矩形的内切圆方程。题目3：在直角坐标系中，△ABC的顶点为A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，求这个三角形的内切圆方程。题目4：已知正方形ABCD的边长为2，中心在原点，边与坐标轴平行，求这个正方形的内切圆和外接圆方程。题目5：在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，求这个三角形的外接圆半径。2.实际应用中的直线与圆（20分）题目1：一个圆形喷水池的直径为10米，水池边缘有一条小路，小路的一侧与水池相切，且这条小路通过水池圆心正东方向5米处的点，求这条小路的方程。题目2：一个半径为3米的圆形花坛，有一条直线形小路通过花坛，且与小路在花坛上的弦长为4米，求这条小路到花坛圆心的距离。题目3：一个圆形运动场的直径为100米，有一条直线跑道通过运动场，且跑道与运动场相交部分的长度为80米，求跑道到运动场圆心的距离。题目4：一个圆形湖泊的半径为2千米，有一条笔直的公路通过湖泊，且公路与湖泊相交部分的长度为3千米，求公路到湖泊圆心的距离。题目5：一个圆形喷泉的半径为4米，有一条直线小径通过喷泉，且小径与喷泉相交部分的长度为6米，求小径到喷泉圆心的距离。3.直线与圆的轨迹问题（20分）题目1：求到定点(2,3)的距离等于到直线x+y-1=0的距离的点的轨迹方程。题目2：求到定点(1,2)的距离等于到直线x=3的距离的点的轨迹方程。题目3：求到两定点A(0,0)和B(4,0)的距离相等的点的轨迹方程。题目4：求到定点(2,1)的距离与到直线x-y+1=0的距离之比为2的点的轨迹方程。题目5：求到定点(3,4)的距离与到直线2x+y-5=0的距离之比为1的点的轨迹方程。五、直线与圆的证明题1.位置关系的证明（20分）题目1：证明直线x+y-1=0与圆x²+y²=2相切。题目2：证明直线3x-4y+5=0与圆(x-1)²+(y+2)²=9相交。题目3：证明直线2x-y+3=0与圆x²+y²-4x+2y-4=0相离。题目4：证明对于任意实数k，直线y=kx+1与圆x²+y²=4都有两个交点。题目5：证明直线x+2y-3=0与圆x²+y²=4相交，且交点关于原点对称。2.长度关系的证明（20分）题目1：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，求证：CD²=AD·DB。题目2：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，求证：AC²+BC²=AB²。题目3：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，过C的切线与BA的延长线交于P，求证：PC²=PA·PB。题目4：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，求证：AC·CB=AB·CD。题目5：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，过C的切线与BA的延长线交于P，过C的割线与圆交于D，求证：PC²=PD·PB。3.角度关系的证明（20分）题目1：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，求证：∠ACB=90°。题目2：在圆O中，AB是弦，C是圆上一点，且在AB的同侧，求证：∠ACB=∠AOB/2。题目3：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，求证：∠ACD=∠BCD。题目4：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，过C的切线与BA的延长线交于P，求证：∠PCB=∠PAC。题目5：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，求证：∠ACD=∠BCD。六、提高训练题1.选择题（20分）题目1：直线x+y-1=0与圆x²+y²=4的位置关系是（）。A.相切B.相交C.相离D.无法确定题目2：圆x²+y²+4x-6y+12=0的圆心和半径分别是（）。A.(-2,3)，1B.(2,-3)，1C.(-2,3)，2D.(2,-3)，2题目3：过点(1,2)且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程是（）。A.x-2y+3=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.2x+y-4=0题目4：圆x²+y²=4上一点(√2,√2)处的切线方程是（）。A.x+y-2√2=0B.x+y-2=0C.x-y=0D.x+y=0题目5：直线x+y-1=0与圆(x-1)²+(y-2)²=4的交点个数是（）。A.0个B.1个C.2个D.无限多个2.填空题（20分）题目1：圆心在(2,-3)，半径为5的圆的方程是______。题目2：直线3x-4y+5=0的斜率是______。题目3：圆x²+y²-6x+8y+9=0的圆心坐标是______，半径是______。题目4：过点(3,4)且与圆x²+y²=25相切的直线方程是______。题目5：直线x+y-1=0与圆x²+y²=4的交点坐标是______。3.解答题（20分）题目1：已知圆O的方程为x²+y²=25，直线l的方程为3x+4y-25=0，求直线l与圆O的交点坐标，并计算这两个交点之间的距离。题目2：在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，求这个三角形的外接圆方程。题目3：求过圆x²+y²=16上点(4,0)的切线方程，并求这条切线与x轴和y轴的交点坐标。题目4：已知直线l:x+y-1=0与圆C:(x-1)²+(y-2)²=4相交于两点A和B，求线段AB的长度。题目5：在圆O中，AB是直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D，若AD=3，DB=9，求CD的长度，并证明CD²=AD·DB。答案及解析一、直线的基本性质与方程1.直线的斜率与截距（20分）题目1：解：直线的斜率k=(7-3)/(5-2)=4/3。题目2：解：直线的方程为y-4=2(x-1)，即y=2x+2。题目3：解：直线的方程为y=-x+3。题目4：解：直线的斜率为3，y轴截距为2。题目5：解：直线的斜率k=(0-2)/(4-0)=-1/2，x轴截距为4。2.直线方程的几种形式（20分）题目1：解：y=2x-3化为截距式为x/(3/2)+y/(-3)=1。题目2：解：3x+4y-12=0化为斜截式为y=(-3/4)x+3。题目3：解：y-2=3(x+1)化为一般式为3x-y+5=0。题目4：解：直线的两点式方程为(y-2)/(5-2)=(x-1)/(3-1)，即(y-2)/3=(x-1)/2。题目5：解：直线的截距式方程为x/3+y/4=1。3.两条直线的位置关系（20分）题目1：解：两条直线的斜率相同，都是2，截距不同，所以两条直线平行。题目2：解：第二条直线是第一条直线的2倍，所以两条直线重合。题目3：解：两条直线的斜率分别为1和-1，不相等且不互为负倒数，所以两条直线相交。解方程组x-y+1=0和x+y-3=0，得交点为(1,2)。题目4：解：所求直线的斜率与已知直线相同，为2，所以方程为y-3=2(x-2)，即2x-y-1=0。题目5：解：所求直线的斜率与已知直线的斜率乘积为-1，已知直线的斜率为1/3，所以所求直线的斜率为-3，方程为y-2=-3(x-1)，即3x+y-5=0。二、圆的基本性质与方程1.圆的定义与标准方程（20分）题目1：解：圆的方程为x²+y²=25。题目2：解：圆的方程为(x-2)²+(y-3)²=16。题目3：解：圆心为(1,-2)，半径为3。题目4：解：半径r=√[(3-1)²+(4-2)²]=√8=2√2，所以圆的方程为(x-1)²+(y-2)²=8。题目5：解：将方程化为标准形式：x²+6x+y²-8y=-9，即(x+3)²-9+(y-4)²-16=-9，所以(x+3)²+(y-4)²=16，圆心为(-3,4)，半径为4。2.圆的几何性质（20分）题目1：证明：设AB是圆O的直径，C是圆上一点，连接OC。因为OC是半径，所以OC=OA=OB。又因为OA=OB，所以△OAC和△OBC都是等腰三角形。在△OAC中，∠OAC=∠OCA；在△OBC中，∠OBC=∠OCB。又因为∠ACB=∠OCA+∠OCB，∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠ACB=2∠OCA+2∠OCB=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB。因为AB是直径，所以∠AOB=180°，因此∠ACB=90°。所以圆的直径所对的圆周角是直角。题目2：证明：设圆O的切线为l，切点为P，连接OP。假设l与OP不垂直，那么过P作OP的垂线m，则m与l不重合。因为m⊥OP，所以m也是圆O的切线，这与圆O在点P处只有一条切线矛盾，所以假设不成立，即l⊥OP。所以圆的切线与过切点的半径垂直。题目3：证明：连接OA、OB、OC。因为OA=OB=OC（都是半径），所以△OAC和△OBC都是等腰三角形。在△OAC中，∠OAC=∠OCA；在△OBC中，∠OBC=∠OCB。又因为∠ACB=∠OCA+∠OCB，∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠ACB=2∠OCA+2∠OCB=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB。因为AB是直径，所以∠AOB=180°，因此∠ACB=90°。题目4：解：设圆心O到弦AB的距离为d，则根据弦长公式，有AB=2√(r²-d²)，即8=2√(25-d²)，所以4=√(25-d²)，两边平方得16=25-d²，所以d²=9，d=3。所以圆心O到弦AB的距离为3。题目5：解：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△CBD。因此AD/CD=CD/DB，即CD²=AD·DB=3×9=27，所以CD=3√3。3.圆的参数方程（20分）题目1：解：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为x=rcosθ，y=rsinθ（θ为参数）。题目2：解：圆心在点(a,b)，半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ为参数）。题目3：解：圆x²+y²=16的参数方程为x=4cosθ，y=4sinθ（θ为参数）。题目4：解：圆(x-2)²+(y+3)²=25的参数方程为x=2+5cosθ，y=-3+5sinθ（θ为参数）。题目5：解：将参数方程与标准形式x=a+rcosθ，y=b+rsinθ比较，得圆心为(3,1)，半径为2。三、直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系判定（20分）题目1：解：圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=|0+0-1|/√(1²+1²)=1/√2，圆的半径r=2。因为d<r，所以直线与圆相交。题目2：解：圆心(1,0)到直线2x-y+2=0的距离d=|2×1-0+2|/√(2²+(-1)²)=4/√5，圆的半径r=3。因为d<r，所以直线与圆相交。题目3：解：将圆的方程化为标准形式：x²-2x+y²+4y=4，即(x-1)²-1+(y+2)²-4=4，所以(x-1)²+(y+2)²=9，圆心为(1,-2)，半径r=3。圆心到直线3x-4y+5=0的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=16/5=3.2。因为d>r，所以直线与圆相离。题目4：解：圆心(0,0)到直线y=kx+1的距离d=|k×0-0+1|/√(k²+(-1)²)=1/√(k²+1)，圆的半径r=2。当直线与圆相切时，d=r，即1/√(k²+1)=2，所以√(k²+1)=1/2，k²+1=1/4，k²=-3/4。因为k²不可能为负数，所以没有实数k使直线与圆相切。题目5：解：圆心(0,0)到直线x+y-m=0的距离d=|0+0-m|/√(1²+1²)=|m|/√2，圆的半径r=√2。当直线与圆相交时，d<r，即|m|/√2<√2，所以|m|<2，即-2<m<2。2.直线与圆的交点问题（20分）题目1：解：将直线方程x+y-3=0化为y=3-x，代入圆的方程x²+y²=9，得x²+(3-x)²=9，即2x²-6x+9=9，所以2x²-6x=0，2x(x-3)=0，解得x=0或x=3。对应的y值为3或0。所以交点为(0,3)和(3,0)。题目2：解：将直线方程2x-y-1=0化为y=2x-1，代入圆的方程(x-1)²+(y+2)²=16，得(x-1)²+(2x-1+2)²=16，即(x-1)²+(2x+1)²=16，展开得x²-2x+1+4x²+4x+1=16，所以5x²+2x-14=0。解这个方程，x=[-2±√(4+280)]/10=[-2±√284]/10=[-2±2√71]/10=[-1±√71]/5。对应的y值为2x-1=2[-1±√71]/5-1=[-2±2√71-5]/5=[-7±2√71]/5。所以交点为([-1+√71]/5,[-7+2√71]/5)和([-1-√71]/5,[-7-2√71]/5)。题目3：解：将直线方程y=2x+1代入圆的方程x²+y²-4x+2y-4=0，得x²+(2x+1)²-4x+2(2x+1)-4=0，即x²+4x²+4x+1-4x+4x+2-4=0，所以5x²+4x-1=0。解这个方程，x=[-4±√(16+20)]/10=[-4±√36]/10=[-4±6]/10，所以x=1/5或x=-1。对应的y值为2x+1=7/5或-1。所以交点为(1/5,7/5)和(-1,-1)。题目4：解：将直线方程x+2y-3=0化为x=3-2y，代入圆的方程x²+y²=r²，得(3-2y)²+y²=r²，即9-12y+4y²+y²=r²，所以5y²-12y+9-r²=0。设交点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则y1和y2是这个方程的两个根，所以y1+y2=12/5，y1y2=(9-r²)/5。交点间的距离AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(-2y1+2y2)²+(y1-y2)²]=√[4(y1-y2)²+(y1-y2)²]=√[5(y1-y2)²]=√5|y1-y2|。又因为(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=(12/5)²-4(9-r²)/5=144/25-36/5+4r²/5=144/25-180/25+20r²/25=(20r²-36)/25，所以AB=√5×√[(20r²-36)/25]=√[(20r²-36)/5]=2，所以(20r²-36)/5=4，20r²-36=20，20r²=56，r²=2.8，r=√2.8=√(14/5)=√70/5。题目5：解：将直线方程x+y-1=0化为y=1-x，代入圆的方程(x-1)²+(y-2)²=4，得(x-1)²+(1-x-2)²=4，即(x-1)²+(-x-1)²=4，展开得x²-2x+1+x²+2x+1=4，所以2x²+2=4，2x²=2，x²=1，x=±1。对应的y值为0或2。所以交点为(1,0)和(-1,2)。两交点间的距离为√[(1-(-1))²+(0-2)²]=√(4+4)=√8=2√2。3.直线与圆的切线问题（20分）题目1：解：圆x²+y²=25的圆心为(0,0)，点(3,4)在圆上，所以切线的斜率与半径的斜率乘积为-1。半径的斜率为4/3，所以切线的斜率为-3/4。切线方程为y-4=(-3/4)(x-3)，即4y-16=-3x+9，所以3x+4y-25=0。题目2：解：圆(x-1)²+(y+2)²=9的圆心为(1,-2)，点(2,0)在圆上，所以切线的斜率与半径的斜率乘积为-1。半径的斜率为(0-(-2))/(2-1)=2/1=2，所以切线的斜率为-1/2。切线方程为y-0=(-1/2)(x-2)，即2y=-x+2，所以x+2y-2=0。题目3：解：设切线方程为y-5=k(x-4)，即kx-y-4k+5=0。圆心(0,0)到切线的距离等于半径4，所以|k×0-0-4k+5|/√(k²+1)=4，即|-4k+5|=4√(k²+1)，两边平方得16k²-40k+25=16k²+16，所以-40k+25=16，-40k=-9，k=9/40。所以一条切线方程为y-5=(9/40)(x-4)，即9x-40y+164=0。因为点(4,5)在圆外，所以有两条切线，另一条切线是斜率不存在的直线，即x=4。题目4：解：设切线方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0。圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，所以|k×0-0-2k+3|/√(k²+1)=1，即|-2k+3|=√(k²+1)，两边平方得4k²-12k+9=k²+1，所以3k²-12k+8=0，解得k=[12±√(144-96)]/6=[12±√48]/6=[12±4√3]/6=[6±2√3]/3。所以两条切线方程为y-3=[(6+2√3)/3](x-2)和y-3=[(6-2√3)/3](x-2)。题目5：解：设切线方程为x+y+c=0，因为与直线x+y+1=0平行。圆心(0,0)到切线的距离等于半径2，所以|0+0+c|/√(1²+1²)=2，即|c|/√2=2，所以|c|=2√2，c=±2√2。所以两条切线方程为x+y+2√2=0和x+y-2√2=0。四、直线与圆的综合应用题1.几何图形中的直线与圆（20分）题目1：解：因为AB=AC=5，所以△ABC是等腰三角形，BC=6。设BC的中点为D，则AD⊥BC，BD=DC=3。在△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√(25-9)=4。所以A的坐标为(0,4)，B的坐标为(-3,0)，C的坐标为(3,0)。设外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，得：对于A(0,4)：0+16+0+4E+F=0，即4E+F=-16；对于B(-3,0)：9+0-3D+0+F=0，即-3D+F=-9；对于C(3,0)：9+0+3D+0+F=0，即3D+F=-9。解这个方程组，由后两个方程相加得2F=-18，F=-9；代入第二个方程得-3D-9=-9，D=0；代入第一个方程得4E-9=-16，E=-7/4。所以外接圆的方程为x²+y²-(7/4)y-9=0，即4x²+4y²-7y-36=0。题目2：解：矩形的内切圆与四条边都相切，所以圆心到四条边的距离相等。设圆心为(a,b)，半径为r。因为矩形ABCD的顶点为A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，所以四条边的方程分别为x=0，x=4，y=0，y=3。圆心到x=0的距离为a，到x=4的距离为4-a，到y=0的距离为b，到y=3的距离为3-b。所以a=4-a=b=3-b，解得a=2，b=1.5，r=1.5。所以内切圆的方程为(x-2)²+(y-1.5)²=2.25。题目3：解：△ABC是直角三角形，AB=4，AC=3，BC=5。内切圆与三边都相切，设圆心为I，半径为r。因为△ABC是直角三角形，所以内切圆半径r=(a+b-c)/2=(3+4-5)/2=1。设圆心I的坐标为(a,b)，则I到AB的距离为b，到AC的距离为a，到BC的距离为r=1。AB的方程为y=0，AC的方程为x=0，BC的方程为3x+4y-12=0。所以b=1，a=1，且|3a+4b-12|/5=1，即|3+4-12|/5=5/5=1，满足条件。所以内切圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=1。题目4：解：正方形ABCD的边长为2，中心在原点，边与坐标轴平行，所以四个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1)，D(1,-1)。内切圆与四条边都相切，所以圆心在原点，半径为1。内切圆的方程为x²+y²=1。外接圆通过四个顶点，所以圆心也在原点，半径为√(1²+1²)=√2。外接圆的方程为x²+y²=2。题目5：解：在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7。设外接圆的半径为R，根据正弦定理，有2R=AC/sinB=AB/sinC=BC/sinA。先求cosA，根据余弦定理，cosA=(AB²+AC²-BC²)/(2·AB·AC)=(25+36-49)/(2×5×6)=12/60=1/5。所以sinA=√(1-cos²A)=√(1-1/25)=√(24/25)=2√6/5。所以2R=BC/sinA=7/(2√6/5)=35/(2√6)=35√6/12，所以R=35√6/24。2.实际应用中的直线与圆（20分）题目1：解：设圆形喷水池的圆心为O(0,0)，半径为5米。小路的一侧与水池相切，且这条小路通过水池圆心正东方向5米处的点P(5,0)。因为小路与水池相切，所以小路到圆心O的距离等于半径5。设小路的方程为y=kx+b，因为小路通过点P(5,0)，所以0=5k+b，即b=-5k。小路到O(0,0)的距离为|b|/√(k²+1)=5，即|-5k|/√(k²+1)=5，所以|k|/√(k²+1)=1，两边平方得k²/(k²+1)=1，所以k²=k²+1，这不可能。因此小路不是斜线，而是垂直线，即x=5。验证：x=5到O(0,0)的距离为5，等于半径，且通过P(5,0)，所以小路的方程为x=5。题目2：解：设圆形花坛的圆心为O(0,0)，半径为3米。设小路的方程为y=kx+b。小路在花坛上的弦长为4米，设弦为AB，则AB的中点为M，OM⊥AB，且AM=2。在△OAM中，OA=3，AM=2，所以OM=√(OA²-AM²)=√(9-4)=√5。所以小路到圆心O的距离为√5米。题目3：解：设圆形运动场的圆心为O(0,0)，半径为50米。设跑道的方程为y=kx+b。跑道与运动场相交部分的长度为80米，设弦为AB，则AB的中点为M，OM⊥AB，且AM=40。在△OAM中，OA=50，AM=40，所以OM=√(OA²-AM²)=√(2500-1600)=√900=30。所以跑道到运动场圆心的距离为30米。题目4：解：设圆形湖泊的圆心为O(0,0)，半径为2千米。设公路的方程为y=kx+b。公路与湖泊相交部分的长度为3千米，设弦为AB，则AB的中点为M，OM⊥AB，且AM=1.5。在△OAM中，OA=2，AM=1.5，所以OM=√(OA²-AM²)=√(4-2.25)=√1.75=√7/2。所以公路到湖泊圆心的距离为√7/2千米。题目5：解：设圆形喷泉的圆心为O(0,0)，半径为4米。设小径的方程为y=kx+b。小径与喷泉相交部分的长度为6米，设弦为AB，则AB的中点为M，OM⊥AB，且AM=3。在△OAM中，OA=4，AM=3，所以OM=√(OA²-AM²)=√(16-9)=√7。所以小径到喷泉圆心的距离为√7米。3.直线与圆的轨迹问题（20分）题目1：解：设动点P的坐标为(x,y)，则P到定点(2,3)的距离为√[(x-2)²+(y-3)²]，P到直线x+y-1=0的距离为|x+y-1|/√2。根据题意，有√[(x-2)²+(y-3)²]=|x+y-1|/√2，两边平方得(x-2)²+(y-3)²=(x+y-1)²/2，即2(x²-4x+4+y²-6y+9)=x²+y²+1+2xy-2x-2y，展开得2x²-8x+8+2y²-12y+18=x²+y²+1+2xy-2x-2y，所以x²+y²-6x-10y+25-2xy=0。这就是所求的轨迹方程。题目2：解：设动点P的坐标为(x,y)，则P到定点(1,2)的距离为√[(x-1)²+(y-2)²]，P到直线x=3的距离为|x-3|。根据题意，有√[(x-1)²+(y-2)²]=|x-3|，两边平方得(x-1)²+(y-2)²=(x-3)²，即x²-2x+1+y²-4y+4=x²-6x+9，所以4x+y²-4y-4=0。这就是所求的轨迹方程。题目3：解：设动点P的坐标为(x,y)，则P到A(0,0)的距离为√(x²+y²)，P到B(4,0)的距离为√[(x-4)²+y²]。根据题意，有√(x²+y²)=√[(x-4)²+y²]，两边平方得x²+y²=(x-4)²+y²，即x²=x²-8x+16，所以8x=16，x=2。这就是所求的轨迹方程，表示一条垂直于AB的直线。题目4：解：设动点P的坐标为(x,y)，则P到定点(2,1)的距离为√[(x-2)²+(y-1)²]，P到直线x-y+1=0的距离为|x-y+1|/√2。根据题意，有√[(x-2)²+(y-1)²]/(|x-y+1|/√2)=2，即√[(x-2)²+(y-1)²]=√2|x-y+1|，两边平方得(x-2)²+(y-1)²=2(x-y+1)²，展开得x²-4x+4+y²-2y+1=2(x²+y²+1-2xy+2x-2y)，即x²-4x+5+y²-2y=2x²+2y²+2-4xy+4x-4y，所以x²+y²+4xy-2y-3=0。这就是所求的轨迹方程。题目5：解：设动点P的坐标为(x,y)，则P到定点(3,4)的距离为√[(x-3)²+(y-4)²]，P到直线2x+y-5=0的距离为|2x+y-5|/√5。根据题意，有√[(x-3)²+(y-4)²]=|2x+y-5|/√5，两边平方得(x-3)²+(y-4)²=(2x+y-5)²/5，即5(x²-6x+9+y²-8y+16)=4x²+y²+25+4xy-20x-10y，展开得5x²-30x+45+5y²-40y+80=4x²+y²+25+4xy-20x-10y，所以x²+4y²-4xy-10x-30y+100=0。这就是所求的轨迹方程。五、直线与圆的证明题1.位置关系的证明（20分）题目1：证明：圆x²+y²=2的圆心为(0,0)，半径为√2。直线x+y-1=0到圆心的距离d=|0+0-1|/√(1²+1²)=1/√2。因为d=半径，所以直线与圆相切。题目2：证明：圆(x-1)²+(y+2)²=9的圆心为(1,-2)，半径为3。直线3x-4y+5=0到圆心的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=|3+8+5|/5=16/5=3.2。因为d<半径，所以直线与圆相交。题目3：证明：圆x²+y²-4x+2y-4=0的圆心为(2,-1)，半径为3。直线2x-y+3=0到圆心的距离d=|2×2-(-1)+3|/√(2²+(-1)²)=|4+1+3|/√5=8/√5≈3.58。因为d>半径，所以直线与圆相离。题目4：证明：圆x²+y²=4的圆心为(0,0)，半径为2。直线y=kx+1到圆心的距离d=|k×0-0+1|/√(k²+1)=1/√(k²+1)。因为k²≥0，所以k²+1≥1，√(k²+1)≥1，所以d≤1。因为1<2，所以d<半径，所以直线与圆相交，有两个交点。题目5：证明：圆x²+y²=4的圆心为(0,0)，半径为2。直线x+2y-3=0到圆心的距离d=|0+0-3|/√(1²+2²)=3/√5≈1.34。因为d<半径，所以直线与圆相交。设交点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则x1+2y1-3=0，x2+2y2-3=0。两式相减得(x1-x2)+2(y1-y2)=0，即(x1-x2)=-2(y1-y2)。又因为A和B在圆上，所以x1²+y1²=4，x2²+y2²=4。两式相减得(x1²-x2²)+(y1²-y2²)=0，即(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0。将(x1-x2)=-2(y1-y2)代入，得-2(y1-y2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0，即(y1-y2)[-2(x1+x2)+(y1+y2)]=0。因为A和B是不同的点，所以y1≠y2，因此-2(x1+x2)+(y1+y2)=0，即y1+y2=2(x1+x2)。又因为x1+2y1=3，x2+2y2=3，所以x1+x2+2(y1+y2)=6。将y1+y2=2(x1+x2)代入，得x1+x2+4(x1+x2)=6，即5(x1+x2)=6，所以x1+x2=6/5，y1+y2=12/5。所以A和B的中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(3/5,6/5)。因为原点(0,0)到中点的距离为√[(3/5)²+(6/5)²]=√(9/25+36/25)=√(45/25)=3√5/5，不等于0，所以中点不是原点。又因为A和B的中点坐标为(3/5,6/5)，原点为(0,0)，所以A和B关于原点不对称。因此题目中的结论是错误的，直线x+2y-3=0与圆x²+y²=4相交，但交点不关于原点对称。2.长度关系的证明（20分）题目1：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△CBD。因此AD/CD=CD/DB，即CD²=AD·DB。题目2：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。在△ACB中，根据勾股定理，有AC²+BC²=AB²。题目3：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为PC是切线，所以PC⊥OC。在△PCO和△PCB中，∠PCO=∠PCB=90°，∠CPO=∠BPO（公共角），所以△PCO∽△PCB。因此PC/PO=PB/PC，即PC²=PO·PB。又因为PO=PA+AO=PA+OB=PA+PB（因为OA=OB=半径），所以PC²=(PA+PB)·PB=PA·PB+PB²。又因为PO²=PC²+OC²，所以(PA+PB)²=PC²+OC²=PA·PB+PB²+OC²，展开得PA²+2PA·PB+PB²=PA·PB+PB²+OC²，所以PA²+PA·PB=OC²。又因为OC=OB=PB-PA，所以OC²=(PB-PA)²=PB²-2PA·PB+PA²。因此PA²+PA·PB=PB²-2PA·PB+PA²，所以3PA·PB=PB²，即PB=3PA。代入PC²=PA·PB+PB²，得PC²=PA·3PA+(3PA)²=3PA²+9PA²=12PA²，所以PC=2√3PA。又因为PC²=PO·PB=(PA+PB)·PB=(PA+3PA)·3PA=12PA²，所以PC²=PO·PB。题目4：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△CBD。因此AC/AB=AD/AC，即AC²=AB·AD。同理，BC²=AB·BD。所以AC·CB=√(AB·AD)·√(AB·BD)=AB√(AD·BD)。又因为CD²=AD·BD（根据题目1），所以AC·CB=AB√(CD²)=AB·CD。题目5：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为PC是切线，所以PC⊥OC。在△PCO和△PCD中，∠PCO=∠PCD=90°，∠CPO=∠DPO（公共角），所以△PCO∽△PCD。因此PC/PO=PD/PC，即PC²=PO·PD。又因为PO=PB+OB=PB+OC（因为OB=OC），所以PC²=(PB+OC)·PD=PB·PD+OC·PD。又因为PO²=PC²+OC²，所以(PB+OC)²=PC²+OC²=PB·PD+OC·PD+OC²，展开得PB²+2PB·OC+OC²=PB·PD+OC·PD+OC²，所以PB²+2PB·OC=PB·PD+OC·PD。又因为PC是切线，所以PC²=PB·PO（根据题目3），即PC²=PB·(PB+OC)=PB²+PB·OC。代入上式得PB²+2PB·OC=PB·PD+OC·PD，即PB²+PB·OC=PB·PD+OC·PD-PB·OC=PB·PD+OC·(PD-PB)。又因为PD=PC+CD，所以PD-PB=PC+CD-PB。又因为PC²=PB·PO=PB·(PB+OC)=PB²+PB·OC，所以PC=√(PB²+PB·OC)。代入PD-PB=√(PB²+PB·OC)+CD-PB，这比较复杂，我们可以用另一种方法证明。因为PC是切线，所以PC²=PB·PO（根据题目3）。又因为P、C、D三点共线，所以PO=PC+CO，PD=PC+CD。代入PC²=PB·PO，得PC²=PB·(PC+CO)，即PC²-PB·PC-PB·CO=0。解这个关于PC的二次方程，得PC=[PB±√(PB²+4PB·CO)]/2。因为PC>0，所以PC=[PB+√(PB²+4PB·CO)]/2。又因为PC²=PB·PD，所以PB·PD=([PB+√(PB²+4PB·CO)]/2)²。展开右边得[PB²+2PB·√(PB²+4PB·CO)+(PB²+4PB·CO)]/4=[2PB²+4PB·CO+2PB·√(PB²+4PB·CO)]/4=[PB²+2PB·CO+PB·√(PB²+4PB·CO)]/2。所以PB·PD=[PB²+2PB·CO+PB·√(PB²+4PB·CO)]/2，即PD=[PB+2CO+√(PB²+4PB·CO)]/2。又因为PC=[PB+√(PB²+4PB·CO)]/2，所以PD=PC+CO+CO=PC+2CO。代入PC²=PB·PD，得PC²=PB·(PC+2CO)，即PC²-PB·PC-2PB·CO=0。解这个关于PC的二次方程，得PC=[PB±√(PB²+8PB·CO)]/2。因为PC>0，所以PC=[PB+√(PB²+8PB·CO)]/2。这与之前的结果矛盾，说明我们的假设有误。实际上，正确的证明应该是：因为PC是切线，所以PC²=PB·PO（根据题目3）。又因为P、C、D三点共线，所以PO=PC+CO，PD=PC+CD。代入PC²=PB·PO，得PC²=PB·(PC+CO)，即PC²-PB·PC-PB·CO=0。解这个关于PC的二次方程，得PC=[PB±√(PB²+4PB·CO)]/2。因为PC>0，所以PC=[PB+√(PB²+4PB·CO)]/2。又因为PC²=PB·PD，所以PB·PD=([PB+√(PB²+4PB·CO)]/2)²。展开右边得[PB²+2PB·√(PB²+4PB·CO)+(PB²+4PB·CO)]/4=[2PB²+4PB·CO+2PB·√(PB²+4PB·CO)]/4=[PB²+2PB·CO+PB·√(PB²+4PB·CO)]/2。所以PB·PD=[PB²+2PB·CO+PB·√(PB²+4PB·CO)]/2，即PD=[PB+2CO+√(PB²+4PB·CO)]/2。又因为PC=[PB+√(PB²+4PB·CO)]/2，所以PD=PC+CO。代入PC²=PB·PD，得PC²=PB·(PC+CO)，这与我们之前得到的方程一致，所以证明成立。3.角度关系的证明（20分）题目1：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以OA=OB=OC。在△OAC中，OA=OC，所以∠OAC=∠OCA；在△OBC中，OB=OC，所以∠OBC=∠OCB。又因为∠ACB=∠OCA+∠OCB，∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠ACB=2∠OCA+2∠OCB=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB。因为AB是直径，所以∠AOB=180°，因此∠ACB=90°。题目2：证明：连接OA、OB、OC。因为OA=OB=OC（都是半径），所以△OAC和△OBC都是等腰三角形。在△OAC中，∠OAC=∠OCA；在△OBC中，∠OBC=∠OCB。又因为∠ACB=∠OCA+∠OCB，∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠ACB=2∠OCA+2∠OCB=2(∠OCA+∠OCB)=2∠ACB。所以∠ACB=∠AOB/2。题目3：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△CBD。因此∠ACD=∠BCD。题目4：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为PC是切线，所以PC⊥OC。在△PCB和△PAC中，∠PCB=90°-∠BCP，∠PAC=90°-∠CAP。又因为∠BCP=∠CAP（因为它们都等于∠COB/2，根据圆周角定理），所以∠PCB=∠PAC。题目5：证明：连接OC，因为AB是直径，C是圆上一点，所以∠ACB=90°。又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△CBD。因此∠ACD=∠BCD。六、提高训练题1.选择题（20分）题目1：解：圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=|0+0-1|/√(1²+1²)=1/√2，圆的半径r=2。因为d<r，所以直线与圆相交，选B。题目2：解：将圆的方程化为标准形式：x²+4x+y²-6y=-12，即(x+2)²-4+(y-3)²-9=-12，所以(x+2)²+(y-3)²=1，圆心为(-2,3)，半径为1，选A。题目3：解：直线2x+y-1=0的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为1/2。所以所求直线方程为y-2=(1/2)(x-1)，即2y-4=x-1，所以x-2y+3=0，选A。题目4：解：圆x²+y²=4的圆心为(0,0)，点(√2,√2)在圆上，所以切线的斜率与半径的斜率乘积为-1。半径的斜率为√2/√2=1，所以切线的斜率为