2026年近世代数测试题及答案

2026年近世代数测试题及答案

一、单项选择题（共10题，每题2分）1.设G是6阶循环群，则G的子群个数为（）A.2B.3C.4D.62.对称群S₃中，置换(123)的阶为（）A.1B.2C.3D.63.下列关于子群的说法中，错误的是（）A.群G的非空子集H是子群当且仅当对任意a,b∈H，有ab⁻¹∈HB.循环群的子群仍是循环群C.有限群的子群的阶一定整除原群的阶D.非交换群的子群一定非交换4.环Z/12Z中，零因子的个数为（）A.2B.4C.6D.85.设F是特征为p的域，则p一定是（）A.素数B.合数C.0D.任意非负整数6.设φ:G→H是群同态，则kerφ（同态核）一定是G的（）A.子群但非正规子群B.正规子群C.陪集D.商群7.下列整环中，不是主理想整环的是（）A.整数环ZB.域F上的多项式环F[x]C.高斯整数环Z[i]D.二元多项式环F[x,y]8.设H是群G的正规子群，当且仅当（）A.对任意a∈G，aH=HaB.H是G的极大子群C.H的阶是G的阶的素因子D.H是交换子群9.环R中的极大理想I满足（）A.R/I是整环B.R/I是除环C.I是R的最大真理想D.I包含R的所有理想10.有限域GF(pⁿ)的乘法群是（）A.循环群B.交换群但非循环群C.非交换群D.平凡群二、填空题（共10题，每题2分）1.对称群S₄的阶为______。2.无限循环群的非平凡子群个数为______。3.模6剩余类环Z/6Z中，可逆元的个数为______。4.域的特征只能是0或______。5.交换群的每个子群都是______子群。6.在主理想整环中，素元与不可约元______（填“等价”或“不等价”）。7.若有限群G的阶为12，则G中任意元素的阶必为______的因数。8.环同态φ:R→S的核kerφ一定是R的______（填“理想”或“子环”）。9.有限域GF(pⁿ)的元素个数为______。10.群同构的两个群一定具有______的阶。三、判断题（共10题，每题2分）1.所有循环群都是交换群。（）2.素数阶群一定是循环群。（）3.环中的零因子一定是非零元。（）4.域的特征可以是合数。（）5.子群的交仍然是子群。（）6.主理想整环一定是唯一分解整环。（）7.有限群中每个元素的阶都整除群的阶。（）8.环同态的像一定是子环。（）9.若G/H是交换群，则G一定是交换群（H是正规子群）。（）10.环R的极大理想I满足R/I是域（R是交换环且含幺）。（）四、简答题（共4题，每题5分）1.简述群同态基本定理的内容。2.循环群的结构定理指出了什么？3.什么是环中的零因子？无零因子环与整环的区别是什么？4.主理想整环与欧几里得整环的关系是什么？五、讨论题（共4题，每题5分）1.证明：有限群G中，每个元素的阶都整除G的阶。2.分析环Z/6Z的所有理想，并描述其结构。3.讨论域与除环的区别与联系。4.证明：若G是交换群，H是G的子群，则商群G/H也是交换群。答案一、单项选择题1.B2.C3.D4.C5.A6.B7.D8.A9.C10.A二、填空题1.242.无限多个3.2（1和5）4.素数5.正规6.等价7.128.理想9.pⁿ10.相同三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.群同态基本定理：设φ:G→H是群同态，kerφ=K，则G/K≅Imφ（同构），且映射π:G→G/K（自然同态）与φ满足φ=ψη（其中ψ:G/K→Imφ是同构）。2.循环群的结构定理：无限循环群同构于整数加群Z，其所有子群为nZ（n≥0）；n阶循环群同构于Z/nZ，其子群由n的正因子d唯一确定，对应d阶子群。3.零因子：环R中存在非零元a,b，使得ab=0，则a,b为零因子。无零因子环要求非零元相乘不为零；整环是含幺、交换的无零因子环，比无零因子环多两个条件（含幺、交换）。4.欧几里得整环必为主理想整环（每个理想由一个元素生成），但主理想整环不一定是欧几里得整环（如Z[(-19)^(1/2)]是主理想整环但非欧几里得整环）。五、讨论题1.设g∈G，阶为d，由g生成的子群⟨g⟩的阶为d。根据拉格朗日定理，子群的阶整除群的阶，故d||G|。2.Z/6Z的理想由其加法子群构成，加法子群由6的正因子d=1,2,3,6生成，对应理想为：d=6时{0}；d=3时{0,2,4}；d=2时{0,3}；d=1时Z/6Z本身。因此理想为{0},{0,3},{0,2,4},Z/6Z。3.联系：域和除环都是含幺环，非零元关于乘法构成群（除环是乘法群，域是交换乘法