工程力学教学课件1191

第1章静力学基础1.1静力学的基本概念

1.2静力学公理

1.3约束与约束反力

1.4受力图

思考题

习题

1.1静力学的基本概念

1.1.1力的概念

1．力的定义力是物体之间的相互机械作用。这种作用有两种效应：使物体产生运动状态变化和尺寸及形状变化，分别称为运动效应（外效应）和变形效应（内效应）。力对刚体的作用只有运动效应（包括此效应的特例——平衡）。

2．力的三要素

力对物体作用的效应取决于力的大小、方向和作用点三个因素，通常称其为力的三要素。在这三个要素中，如果改变其中任何一个，也就改变了力对物体的作用效应。度量力的大小的单位将随所采用的单位制不同而不同。本书采用国际单位制（SI），力的单位用牛顿（中文代号为牛，国际代号为N）或千牛顿（中文代号为千牛，国际代号为kN）。力的方向包含方位和指向两个意思，如铅直向下，水平向右等。

力的作用点指的是力在物体上的作用位置。一般说来，力的作用位置并不是一个点而是一定的面积，应为分布力。但是，当作用面积很小以至可以忽略不计其大小时，就抽象为一个点，而认为力集中作用于这一点，这种力则称为集中力。集中力在实际中是不存在的，它是分布力的理想化模型。另一方面，分布力的分布规律一般比较复杂，也需要进行简化。过力的作用点作一直线，使直线的方位代表力的方位，则该直线称为力的作用线。力既具有大小和方向，而又服从矢量的平行四边形法则，所以力是矢量（也称向量）。

3．力系

作用在物体上的若干个力总称为力系。对同一物体产生相同效应的两个力系互称为等效力系。如果一个力系与单个力等效，则此单个力称为该力系的合力，而力系中的各力则称为合力的分力。

作用于物体上使之保持平衡的力系称为平衡力系。

1.1.2平衡的概念我们知道，所谓物体的平衡，工程上一般是指物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态。静力学研究物体的平衡问题，实际上就是研究作用于物体上的力系的平衡条件，并利用这些条件解决具体问题。

1.1.3刚体的概念任何物体受力后都将或多或少地发生变形。但是，工程实际中构件的变形通常是非常微小的，在很多情况下，在研究其平衡或运动时，变形只是次要因素，因而可以忽略不计。例如，一根梁，当其受力弯曲时，由于变形微小，两支点之间距离（跨度）的变化量也很小，在求支承反力时若考虑小变形的影响，不仅十分复杂，而且没有必要，直接采用刚体模型（认为梁的跨度不变）进行计算，

完全能够满足工程需要。

所谓刚体，是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体，亦即受力后任意两点之间的距离保持不变的物体。显然，这只是一种理想化了的模型，实际上并不存在这样的物体。这种抽象简化的方法，虽然在研究许多问题时是必要的，而且也是许可的，但它是有条件的。后面我们将会看到，在研究物体的变形以及与变形有关的截面内力分布时，即使变形很小，也必须考虑物体的变形情况，即把物体视为变形体而不能再看作刚体。

1.2静

力

学

公

理

1.2.1二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分和必要条件是：此两力的大小相等、方向相反、作用线沿同一直线（简称等值、反向、共线）。这个公理揭示了作用于刚体上的最简单的力系在平衡时所必须满足的条件，它是静力学中最基本的平衡条件。对刚体来说，这个条件既是必要的又是充分的；但对于非刚体而言，这个条件是不充分的。例如，软绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受两个等值、反向、共线的压力作用就不能平衡，

如图1-1所示。

图1-11.2.2加减平衡力系公理在作用于刚体的已知力系中，增加或减去任意一平衡力系后所构成的新力系与原力系等效。这是因为平衡力系对刚体的作用总效应等于零，所以它不会改变刚体的平衡或运动状态。这个原理常被用来简化某一已知力系，是力系等效代换的重要理论依据。与二力平衡公理相同，加减平衡力系公理只适用于同一刚体。对于需要考虑变形的物体，加减任何平衡力系，都将会改变物体的变形情况。例如，图1-2（a）所示的杆AB，在平衡力系（F1，F2）的作用下会产生拉伸变形，如果去掉该平衡力系，则杆就没有变形；若将二力反向后再加到杆端，如图1-2（b）所示，则该杆就要产生压缩变形。拉伸与压缩是两种不同的变形效应。

图1-2实践经验表明，作用于刚体上的力可沿其作用线任意移动而不致改变其对于刚体的运动效应。例如，用小车运送物品时（图1-3），不论在车后A点用力F推车，或是在车前同一直线上的B点用力F拉车，对于车的运动而言，其效果都是一样的。力的这种性质称为力的可传递性。由此可见，就力对于刚体的运动效应来说，力的作用点已不再是重要因素。也就是说，我们只须知道力的作用线，至于作用线上的哪一点是力的作用点，则无关紧要。因此，作用于刚体上的力的三要素又可以说是：力的大小、方向和作用线。图1-31.2.3力的平行四边形公理作用在物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由两力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定，如图1-4（a）所示，这称为力的平行四边形法则。如将原来的两力叫做分力，则此性质可简述为：合力等于两分力的矢量和。写成矢量式为

FR＝F1＋F2

根据平行四边形公理用作图法求合力时，通常只需画出半个平行四边形就够了。如图

1-4（b）所示，从

A

点开始先画矢量＝F1，从

B

点再画矢量

＝F2。连接起点

A

与终点

D，合力FR就由封闭边的矢量

决定。这称为求两汇交力合力的三角形法则。

图1-41.2.4作用与反作用公理两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、作用线相同、指向相反、分别作用在两个不同的物体上。这个性质指出，力总是成对出现的，有作用力必有一反作用力，这是分析物体之间相互作用力的一条重要规律。作用力与反作用力，一般用同一字母表示。为了便于区别，在其中一个字母的右上角加一小撇“

”，如F表示作用力，则F

便表示反作用力。应该指出，力的上述性质无论对刚体或变形都是适用的。注意：不要把二力平衡条件与力的作用和反作用性质弄混淆了。对二力平衡条件来说，两个力作用在同一刚体上，而作用力和反作用力则是分别作用在两个不同的物体上。

如图1-5所示的绳索下端系一重物，其重量为G，上端固定在天花板上，绳索的重量不计。图1-51.3约束与约束反力

1.3.1约束的概念

1.约束在各种机器和工程结构中，每一构件都根据工作要求以一定方式和周围其他构件相联系，它的运动会因此而受到一定的限制。例如，数控机床工作台受到床身导轨的限制，只能沿导轨移动；火车受到钢轨的限制，只能沿轨道行驶；电机转子受到轴承的限制，只能绕轴线转动；门受到合页的限制，只能绕门轴转动，等等。凡是限制某一物体运动的周围物体，称为该物体的约束。上面所说的导轨、钢轨、轴承、合页等就分别是工作台、火车、

电机转子、

门的约束。

2.约束反力

约束既然限制研究物体(即研究对象)的运动，它就必须承受该研究物体对它的作用力。同样，约束也对研究物体有反作用力。我们将约束对研究物体的反作用力称为约束反作用力，简称约束反力。谈到每一个力，我们自然想到力的大小、方向、作用点这三个要素。约束反力的大小一般是未知的，需根据研究物体的受力情况和运动情况来计算。约束反力的作用点，则在研究物体上与约束的接触处。

3.约束反力的方向

约束总是限制研究物体的运动，故约束反力的方向必与该约束所限制的运动方向相反。如图1-6（a）所示，当我们研究放在桌面上的重力为G的物体A时，桌面便是物体A的约束。桌面限制物体A向下运动，必然给它一个向上的约束反力，如图1-6（b）所示。图1-61.3.2常见的约束类型及约束反力的画法

1.柔索约束工程上常用的钢丝绳、皮带、链条等柔性索状物体统称为柔索约束。这类约束只能承受拉力，而不能抵抗压力和弯曲。由于柔索约束只能限制物体沿柔索中心线伸长方向的运动，因此，柔索的约束反力方向一定是沿着柔索中心线而背离物体，作用在柔索与物体的连接点。柔索的约束反力通常用符号FT表示。图1-7(a)表示用钢丝绳悬挂一重物，钢丝绳对重物的约束反力如图1-7(b)所示。

图1-7当柔性的绳索、链条或皮带绕过轮子时（图1-8(a

)），它们给轮子的约束反力沿着柔索中心线，

指向则背离轮子，

如图1-8(b)所示。

图1-8两物体相互接触，如果接触面非常光滑，摩擦力可以忽略不计，这种约束称为光滑接触面约束。光滑接触面约束限制物体沿接触面公法线压入接触面，而不能限制被约束物体沿接触面的切线方向运动。要保证两物体相互接触，接触面间只能是压力，而不能是拉力。因此，光滑接触面对物体的约束反力，作用在接触处，沿接触面的公法线，指向受力物体。这种约束反力也常称作法向反力，一般用符号

FN

表示。如图

1-9

所示，直杆在接触点

A、B、C

三处所受的约束反力FNA、FNB、FNC。当略去摩擦时，齿轮传动中一对齿的齿廓曲面间的接触也是光滑接触，因而两齿轮的相互作用力FN、一定沿着齿廓曲面在啮合点K的公法线方向，如图1-10。

2.光滑接触面约束图1-9图1-10

3.光滑圆柱形铰链约束

1）中间铰如图1-11（a）、（b）所示，用销钉穿入带有圆孔的构件A、B的圆孔中，即构成中间铰，通常用简图1-11（c）、（d）表示。

图1-11

2）固定铰链支座当圆柱形铰链中有一构件固定时，则称为固定铰链支座，其结构和简图分别如图1-12（a）、（b）所示。显然，固定铰链支座是圆柱形铰链的一种特殊情况，故其约束反力的确定原则与圆柱形铰链约束反力的确定原则相同，一般也分解为两个正交分力，

如图1-12（c）所示。

图1-12（3）活动铰链支座（辊轴铰链支座）

在铰链支座与支承面之间装上辊轴，就成为活动铰链支座（或辊轴铰链支座），如图1-13a、b所示。如略去摩擦，这种支座不限制构件沿支承面的移动和绕销钉轴线的转动，只限制构件沿支承面法线方向的移动。因此，活动支座的约束反力

FN

必垂直于支承面，通过铰链中心，指向待定。在力学计算中，常用图

1-13c所示的简图来表示活动铰链支座。活动铰链支座的约束反力常用符号FN表示，如图1-13d所示。

图

1-131.4受

力

图

例1-1

重量为G的梯子AB，放在水平地面和铅直墙壁上。在D点用水平绳索DE与墙相连，如图1-14(a)所示。若略去摩擦，试画出梯子的受力图。

图1-14解

设想将研究对象梯子从周围物体中分离出来，单独画出。梯子受到的主动力为重力

G，作用于其重心，方向铅直向下。使梯子成为分离体时，需要在

A、B、D

三处分别解除墙壁、地面和绳索构成的约束，因此必须在这三处加上相应的约束反力来代替约束的作用。根据光滑接触面约束的特点，墙壁和地面作用于梯子的反力

FNA和FNB应分别作用在

A

点和B

点，并分别为垂直于墙壁和地面的压力。绳索

DE

作用于梯子的反力FTD

是沿着

DE

方向的拉力，作用在D点。梯子的受力如图1-14b所示。

例

1-2

重量为

G的水平梁

AB

用斜杆

CD

支撑，A、C、D

三处均为光滑铰链连接。梁上放置一重量为

W

的电动机，如图

1-15a所示。不计

CD

杆的自重，试分别画出

CD

和梁AB（包括电动机）的受力图。图1-15解（1）

CD

杆的受力图。取

CD

杆为分离体时，需在

C、D

两处解除约束，而分别代之以固定铰链支座

C

的反力

FC和水平梁

AB

通过铰链

D作用的反力

FD。根据光滑铰链约束反力的特点，这两个约束反力必定分别通过铰链

C、D

的中心，方向暂时不能确定；但由于斜杆的自重不计，它只在

FC和

FD

两个力作用下处于平衡，根据二力平衡原理，这两个力必定沿同一直线，且等值、反向。由此可以确定FC和FD的作用线必在

C

和

D

两点的连线上。由经验判断，CD杆受压力，如图1-1(b)

所示。工程上将只受两个力作用而处于平衡状态的构件，称为二力构件（或二力杆）。其受力特点是：两个力的方向沿二力作用点的连线，且等值、反向。

（2）

AB

梁的受力图。梁受有

G、W

两个主动力的作用。取水平梁

AB（包括电动机）为分离体时，需在

A、D

两处解除约束，而代之以相应的约束反力。二力杆

CD

通过铰链

D对水平梁AB的约束反力是，力和FD互为作用力与反作用力，故应与FD等值、反向、共线。固定铰链支座A的约束反力则用两个正交分力

FAx、FAy表示，其指向可任意假设，梁AB的受力图如图1-15b所示。例1-3如图1-16a所示的结构由杆AC、CD与滑轮B铰接而成。物体重为G,用绳索挂在滑轮上。如杆、滑轮及绳索的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B（包括绳索）、杆AC、CD及整体系统的受力图。

图1-16解（1）滑轮及绳索的受力。取滑轮及绳索为研究对象，画出分离体图；无主动力；在B处滑轮通过中间铰B受到杆AC的约束，在解除约束的B处可用两个正交分力、来表示，在E处受柔索约束，可在E处用沿绳索中心线背离滑轮的拉力表示，在H处受柔索约束，可在H处用沿绳索中心线背离滑轮的拉力表示。滑轮及绳索受力图如图1-16b所示。

（2）杆CD的受力图。取杆CD为研究对象，画出分离体图；无主动力；很显然CD杆为一二力杆，根据二力杆的特点，C、D两处的约束反力必沿两点的连线，且等值、反向，假设CD杆受拉，在C、D处画上拉力和，且，杆CD受力图如图1-16c所示。

（3）杆AC的受力图。取杆AC为研究对象，画出分离体图；无主动力。杆AC在A处受固定铰链支座约束，在解除约束的A处可用两个正交分力FAx、FAy来表示；在B处通过中间铰B受到滑轮的约束，可在B处画出约束反力FBx′、FBy′，它们分别与FBx、FBy互为作用力与反作用力;在C处受到杆CD的约束，其约束反力为FCD′，它与FCD互为作用力与反作用力。杆AC的受力图如图1-16(d)所示。

（4）整体系统的受力图。取整体系统研究，画出分离体图；主动力为G，在A处受固定铰链支座的约束，其约束反力同AC杆的A处画法，同理在E处其约束反力的画法同滑轮E处的画法，在D处其约束反力的画法同CD杆的D处的画法。

对物体进行受力分析，恰当地选取分离体并正确地画出受力图是解决力学问题的基础，不能有任何错误，否则以后的分析计算将会得出错误的结论。为使读者能正确地画出受力图，现提出以下几点供参考：（1）要明确哪个物体是研究对象，并将研究对象从它周围的约束中分离出来，单独画出其简图。

（2）受力图上要画出研究对象所受的全部主动力和约束反力，并用习惯使用的字母加以标记。为了避免漏画某些约束反力，要注意分离体在哪几处被解除约束，则在这几处必作用着相应的约束反力。

（3）每画一力都要有依据，要能指出它是哪个物体（施力物体）施加的，不要臆想一些实际上并不存在的力加在分离体上，尤其不要把其他物体所受的力画到分离体上。（4）约束反力的方向要根据约束的性质来判断，切忌单凭直观任意猜度。（5）在画物体系统的受力图时，系统内任何两物体间相互作用的力（内力）不应画出。当分别画两个相互作用物体的受力图时，要特别注意作用力与反作用力的关系，作用力的方向一经设定，

反作用力的方向就应与之相反。

思

考

题

1-1

试判断以下说法是否正确：

（1）物体的平衡就是指物体静止不动。

（

）（2）力的作用效果就是使物体改变运动状态。

（

）（3）在任意力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体称为刚体。

（

）（4）两个力等效的条件是大小相等，方向相反，且作用在同一物体上的同一点。

（

）（5）在两个力的作用下处于平衡的物体称为二力构件。

（

）

（6）作用在物体上某点的力，可沿其作用线移到物体上任一点，而不改变其作用效果。

（

）（7）平衡力系中的任意一个力对于其余的力来说都是平衡力。（）（8）无论两个相互接触的物体处于何种运动状态，作用与反作用公理永远成立。（）（9）凡是作用在物体上的两个力，大小相等、方向相反且在同一直线上时，则物体一定平衡。（）

1-2如图所示曲杆，能否在其上的A、B两点上各施一力，使曲杆处于平衡状态？

1-3能否将作用于三角架AB杆上的力F，沿其作用线移到BC杆上，而使A、B、C铰链处的约束反力保持不变？

思考题1-2图

思考题1-3图

1-4图示中哪些构件是二力构件？（凡未画出重力的物体其重量忽略不计。

）

思考题1-4图

1-5图示中各受力图是否有错误？如有，

请改正。

思考题1-5图

习

题

1-1画出图示中C、

E点的受力图。

题1-1图

1-2分别画出图示各圆柱体的受力图。

题1-2图

1-3画出图示各托架中各构件的受力图。

题1-3图

1-4画出图示指定物体的受力图。假定所有接触面都是光滑的，图中凡未画出重力的物体，其自重不计。

题1-4图(a)

球C；

(b)

梁AB；

(c)

梁AB；

(d)

杆AE；

(e)

杆AB

1-5画出图示物体系中各物体及整体的受力图。未画重力的物体，均不计其重量；

所有接触处均为光滑接触。

题1-5图

1-6画出图示物体系中各物体的受力图。未画出重力的物体，均不计其重量；所有接触处均为光滑接触。

题1-6图

第2章平面汇交力系2.1平面汇交力系的简化

2.2平面汇交力系的平衡

思考题

习题

2.1平面汇交力系的简化

2.1.1平面汇交力系合成的几何法

1．二汇交力合成的三角形法则设有F1与F2二力作用于某刚体上的A点，根据平行四边形公理，这两个力可以合成为一个合力FR，它的作用线通过汇交点A，大小和方向由平行四边形的对角线决定，如图2-1a所示。用矢量表达为

FR=F1+F2

（2-1）

按选定比例作图，可以从图上直接量得合力的大小和方向（）。

为简便计，作图时可省略AC与CD，直接将F2联在F1的末端，通过即可求得合力FR，如图2-1b所示。此法就称为求二汇交力合力的三角形法则。三角形法则同样地表达出矢量式FR=F1+F2

。

图2-1

2．多个汇交力合成的力多边形法则设在刚体某平面上有一汇交力系F1、F2、F3、F4作用并汇交于O点其合力FR可连续使用上述三角形法则来求得，即先作F1与F2的合力FR1，再将FR1与F3合成为FR2，最后求出FR2与F4的合力FR，力FR即为该汇交力系的合力，可用矢量式表示为

FR=F1+F2+F3+F4

由图2-2可见，FR1、FR2……亦可省略，故求合力FR，只需将各力首尾相接，形成一条折线，最后连其封闭边，从共同的始端O指向F4的末端所形成的矢量即为合力FR的大小与方向。此法称为力的多边形法则。

图2-2由多边形法则求得的合力FR，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力FR的大小、方向与各力相加次序无关。若平面汇交力系包含n个力，以FR表示它们的合力，上述关系可用矢量表达式表述如下：

（2-2）

例2-1

在O点作用有四个平面汇交力，如图2-3所示。已知F1=100N，F2=100N，F3=150N，F4=200N，用几何作图法求力系的合力FR。

解

选用比例尺如图所示，将F1、F2、F3、F4首尾相接依次画出，如图2-3所示。得到力多边形abcde，其封闭边就表示合力FR。量得

FR=170N合力的作用点仍在O点。

图2-32.1.2平面汇交力系合成的解析法

1．力在坐标轴上的投影已知力F作用于刚体平面内A点，且与水平线成的夹角。建立平面直角坐标系Oxy，如图2-4所示。过力F的两端点A、B分别向x、y轴引垂线，垂足在x、y轴上截下的线段ab、a1b1分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定为：由起点a到终点b（或由a1到b1）的指向与坐标轴的正向一致时为正，反之为负。一般地，有(2-3)

式中——力F与x轴所夹的锐角。

图2-4图2-4中，力F在x、y轴上的投影为

反过来，若力F在x及y轴上的投影F及F已知，则可确定F的大小和方向：

（2-4）

式中表示力F与x轴所夹的锐角，F的指向由投影F、F的正负号确定。

如果将力F沿x、y坐标轴分解，所得分力Fx、Fy的大小与F力在同轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。（只有当采用直角坐标时，才有这种关系。如果x与y不相垂直，读者试作图证明两分力的大小不等于两投影的绝对值）。但须注意，力的投影是代数量，而力的分力则是矢量。

2．合力投影定理设刚体上O点作用有平面汇交力系(F1，F2，F3)（图2-5a），其合力FR即可连续使用力三角形法则来求解，如图2-5b所示。取坐标系Oxy，将合力FR及力系中各力F1、F2、F3向x轴投影，得

FRx=adF1x=abF2x=bc

F3x=-dc

图2-5由图可知

ad=ab+bc+(-dc)

故

同理可得

显然，上述关系可以推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系，从而得出（2-5）

3．平面汇交力系合成的解析法若进一步按式（2-4）运算，即可求得合力FR的大小及方向

（2-6）

式中为合力FR与x轴之间所夹的锐角。合力FR的指向由、的正负号确定。

例2-2

用解析法求图2-6（a）所示平面汇交力系的合力的大小和方向。已知F1=100N，F2=100N,F3=150N,F4=200N。解

由式（2-5）计算合力FR在x、y轴上的投影

故合力FR的大小和方向为：

由于为负值，为正值，所以合力指向第二象限，如图2-6（b）所示，合力的作用线通过力系的汇交点Ｏ。

图2-62.2平面汇交力系的平衡

2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5）等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系（FR1，F5）也是平衡力系。根据二力平衡公理，FR1与F5应等值、反向、共线。可见FR1与F5的合力等于零，也就是原力系的合力等于零。由此可得：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力FR等于零。以矢量式表示为

FR=0或

（2-7）

图2-7例2-3

图2-8所示起重机吊起一重G=10kN的钢管。试求AB、AC、AE绳的拉力。解

（1）选取研究对象并画出其受力图。本题若单取吊钩为研究对象，其分离体受力图如图2-8（d），吊钩受三个未知力的作用。若取吊钩及重物一起研究，其分离体受力图如图2-8（b）所示，包含已知力重力G。因此利于解题。

图2-8（2）从图2-8（b）可知，FTE与G构成二力平衡，FTE、G必共线、反向、等值。FTE=G。已知FTE后，可取吊钩为研究对象，先画出已知力FTE（ed段），在已知力FTE的首尾两端，分别作出FTB、FTC的平行线并交于f点，则即为所求的封闭的力三角形，图中ef及fd段分别代表FTB、FTC（如图2-8c）所示。由于de、ef、fd段采用相同的比例作图，可量出ef、fd的长度，算出FTB=FTC=19kN。2.2.2平面汇交力系平衡的解析条件由上述可知，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是，该力系的合力FR等于零。由式2-7，应有

欲使上式成立，必须同时满足

（2-8）

用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下：（1）确定研究对象，画分离体受力图；（2）选定坐标轴x、y，将诸力分别向x、y轴上投影；（3）列平衡方程并求解；（4）校核。例2-4

重为G=1kN的球O用与斜面平行的绳索AB系住，并放置在与水平面成角的光滑斜面上，如图2-9a所图。求绳索AB所受的拉力及球对斜面的压力。

解（1）取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9b。这是一平面汇交力系。（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。（3）列平衡方程，并求解：

根据作用与反作用公理知，绳AB所受的拉力；球对斜面的压力，其指向与图中的指向相反。

图2-9（4）校核

重新建立坐标系Oxy轴如图2-9c所示，与FT、FN都不垂直。列平衡方程：

（1）

（2）

联立解（1）与（2）方程得

例2-5

如图2-10所示,物重G=20kN,用钢丝绳经过滑轮B再缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接,并以铰链A、C与墙连接。设两杆和滑轮的自重不计,并略去摩擦和滑轮的尺寸,求平衡时杆AB和BC所受的力。解（1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用，且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计，这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d所示。

图2-10（2）由于两未知力FBA和FBC相互垂直，故选取坐标轴x,y如图2-10d所示。（3）列平衡方程并求解。

例2-6

在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。

解

（1）取铰链B和压块C为研究对象，分别画受力图，如图2-11b、c所示。（2）分别选取坐标轴如图。列平衡方程并求解：对铰链B有（因铰链B处有已知力FP作用）

对于压块C有

压块对工件的压力，就是的反作用力，也等于3.56kN。

图2-11思考题

2-1

试判断以下说法是否正确：（1）作用在物体上的各力作用线都汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。（）（2）用力多边形法则求合力时，各分力的顺序可以任意改变。（）（3）作用在同一刚体上的几个力构成的力多边形自行封闭，则此刚体一定处于平衡状态。（）（4）两个力的合力总是大于每一个分力。（）（5）两个力在同一轴上的投影相等则这两个力相等。（）（6）两个力在两相互垂直坐标轴上的投影分别相等，则此二力大小相等。（）（7）力F沿两个相互垂直的x、y轴方向的分力与力F在此两轴上的投影是相同的。（）（8）作用于刚体上的所有的力在某一轴上的投影的代数和为零，则刚体处于平衡状态。

（

）

2-2

用解析法求解平面汇交力系的平衡问题时，任选两个不垂直的坐标轴x、y，建立的方程、，能否满足条件？

2-3

某刚体受平面汇交力系作用，其力多边形如图思2-3所示，问这些图中哪一个图是平衡力系？哪一个图是有合力的？其合力又是哪一个力？

思2-3习题

2-1

已知四个力作用于O点。F1=500N，F2=300N，F3=600N，F4=1000N，方向如图所示。试用几何法求合力的大小与方向。

2-2

已知：F1=200N，F2=150N，F3=200N，F4=100N，各力的方向如图所示。试求各力在x、y轴上的投影。

题2-1

题2-2

2-3

铆接薄钢板在孔心A、B、C和D处受四个力作用，孔间尺寸如图所示。已知：F1=50N，F2=100N，F3=150N，F4=200N。求此汇交力系的合力。

2-4简易起重机由臂BC和钢索AB构成。臂的一端用铰链固定在柱的C点，另一端B用绳悬挂重物G=5kN。不计臂重，求钢索AB的拉力和臂所受的压力。（用平衡的几何条件求解）。

题2-3题2-4

2-5

用两绳吊挂重物如图所示，重物G=200N。试求绳AB、BC的拉力。

题2-5题2-6

2-7

托架制成如图所示的三种形式。已知F=1000N,AC=CB=AD。试就图示三种情况分别计算A点的约束反力的大小和方向。

题2-7

2-8

起重机BAC上装一滑轮（轮重及尺寸不计）。重G=20kN的物体由跨过滑轮的绳子用铰车D吊起，A、B、C处都是铰链。试求当载荷匀速上升时杆AB和AC所受的力。

题2-8

2-9

夹具中所用的增力机构如图所示。已知推力FP作用于A点，夹紧平衡时杆与水平线的夹角为，求夹紧力FQ的大小和时的增力倍数。

题2-9

2-10重G、半径为r的圆柱，放在光滑水平面上，柱前方有一高度为h的台阶。问需多大的推力F才能把圆柱推上台阶？设力F是水平的，其作用线垂直且通过圆柱中心线。

题2-10

2-11铰接四连杆机构ABCD的A、D固定，角度如图。在铰链C上作用水平力FQ，铰链B上作用向上的力FP，机构处于平衡，杆重不计。试求FP与FQ的比值。

题2-11

2-12三个相同的光滑圆柱放置如图。欲使圆柱不致倒塌，角的最小值应为多少？设斜面也是光滑的。

题2-12第3章力矩和平面力偶系3.1力对点之矩及合力矩定理

3.2平面力偶系3.3力的平移定理思考题

习题

3.1力对点之矩及合力矩定理

以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力F使扳手和螺母一起绕转动中心O点转动，即产生转动效应。由经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手的转动效应可用乘积F·d冠以适当的正负号来度量。这个量称为力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即（3-1）

式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。

图3-1

在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒米（）。从几何上看，力对O点的矩在数值上等于ΔABO面积的两倍，即

（3-1）

力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面内任意一点取矩，而力矩一般不相同。

由以上力对点之矩的概念，可得到以下结论：

(1)力的大小为零或力的作用线通过矩心时，其力矩为零；

(2)力沿其作用线滑动时，不会改变力对矩心的力矩；

(3)互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。

3.1.2合力矩定理在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系,对于平面汇交力系可叙述如下：合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。

即

（3-3）

例3-1

一齿轮受到啮合力Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力角α=20°，节圆直径D=0.16m，如图3-2(a)所示。试计算Fn对轴心O的力矩。图

3-2解

（1）应用力矩的计算公式。力臂：

由式（3-1）得力Fn对O点之矩:负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。

（2）应用合力矩定理。将力Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr，如图3-2（b）所示，则根据合力矩定理

因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是

例3-2

手动剪断机的结构及尺寸如图3-3所示。设l1=80cm，l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50N的作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。

解本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得根据合力矩定理，力F对A点之矩

负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。

图3-33.2平

面

力

偶

系

3.2.1力偶及其基本性质

1.力偶的概念在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、方向相反但不在同一作用线上的平行力作用，而使物体产生转动效应的情况，如人用手拧水龙头开关（图3-4(a)）、司机用双手转动方向盘（图3-4(b)）、钳工用丝锥攻螺纹（图3-4(c)）等。

图3-4这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d称为力偶臂，如图3-5所示。力偶两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。实践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′),或简写为M，即（3-4）

式中的正负号表示力偶的转向，通常规定，逆时针转动取正号，顺时针转动取负号。力偶矩与力矩一样都是代数量，力偶矩的单位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒米（）。力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。

图3-5

1.

力偶的性质根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。性质一力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静力学中的两种基本元素。

图3-6性质二力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。

证明如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x，按力矩定义，F与F′对O点的力矩和为即

性质三保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，力偶可以在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对刚体的作用效应。力偶的这一性质说明力偶对物体的作用与力偶在作用面内的位置无关。须指出，这一性质只适用于刚体而不适用于变形体。

性质四只要保持力偶的转向和力偶臂的大小不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的作用效应。力偶的这一性质说明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段带箭头的弧线表示，其中弧线所在平面表示力偶的作用面，箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图3-7表示力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。

图3-7图3-8

3.2.1

平面力偶系的合成与平衡

1.

平面力偶系的合成作用在物体上同一平面内的许多力偶组成平面力偶系。力偶系的合成，就是求力偶系的合力偶矩。设为平面力偶系中的各分力偶矩，Ｍ为合力偶的力偶矩，则

（3-5）

2.平面力偶系的平衡条件

由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零；反之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。即

（3-6）

这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。

例3-3图3-9(a)所示简支梁AB上，受作用线相距为d=20cm的两反向力F与F′组成的力偶和力偶矩为M的力偶的作用。若F=F′=100N，M=40N·m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反力。图

3-9

解取梁AB为研究对象，因为只受主动力偶作用，而力偶只能用力偶来平衡，故两支座反力必构成一对力偶。现已知FB的方向，则FA与FB平行且反向，如图3-9(b)所示。由平面力偶系的平衡条件，有解得

所以 ，方向如图3-9(b)所示。

例3-4多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三个孔对工件的力偶矩分别为，。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。解：(1)求三个主动力偶的合力偶矩

负号表示合力偶矩为顺时针方向。

图

3-10

(2)求两个螺栓所受的力。选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶，设它们的方向如图所示，由平面力偶系的平衡条件，有解得

所以 ，方向如图3-10所示。

3.3力的平移定理

力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。

设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。

图3-11

力的平移定理作用于刚体上某点的力，可以平行移动到刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移点的力矩的转动方向。

证明如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点，要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F，如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F,F″)。于是，原来作用在A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一个附加力偶(F,F″)所取代，如图3-12(c)所示，此附加力偶的力偶矩大小为（3-7）

图3-12图3-13思

考

题

3-1手推磨如图所示，试解释当杆AB与转轴O共线时最不好。

思考题3-1图

3-2为什么力偶不能与一力平衡?如何解释如图所示之转轮的平衡现象？

思考题3-2图

3-3能否用力在坐标轴上的投影的代数和为零来判断力偶系的平衡？如图所示刚体上，作用二力偶(F,F′)和(F1,F1′)，它们在x轴和y轴上投影的代数和都等于零，刚体是否平衡？为什么？思考题3-3图

3-4物体受F1、F2两个作用（如图所示），试在物体上找出一点O，使F1、F2两力对O点之矩均等于零。思考题3-4图

3-5用手握钢丝钳，为什么不用很大的握紧力就能剪断铁丝？为什么用撬棒能够移动沉重的机床？

3-6汽车司机有时可以用一只手转动转向盘，但钳工在攻螺纹时，一定要用两只手转动丝锥铰杆手柄，而不允许用一只手操作，

为什么？

习

题

3-1试分别计算图示各种情况下力F对O点的矩。

题3-1图

3-2求图中力F对A点之矩。已知r1=20cm，r2=50cm，F=300N。题3-2图

3-3如图所示，梁AB长l，作用一力偶矩M=Fa的力偶。若不计梁自重，试求支座A、

B的约束反力。

题3-3图

3-4沿着刚体上正三角形ABC的三条边分别作用有力F1、F2、F3，如图所示。已知正三角形的边长为a，F1=F2=F3=F。试证明这三个力可以合成一个力偶，并求出力偶矩的大小。题3-4图

3-5车间有一矩形钢板（如图所示），边长a=4m，b=2m，为使钢板转一角度，顺着长边加两个力F和F′，设能够转动钢板所需的力F=F′=200N。试问应如何加力可使所费的力最小，并求出这个最小力的大小。题3-5图

3-6如图所示结构中，已知OA=40cm，O1B=60cm，M1=100N·m，转向如图所示。结构处于平衡状态，试求M2。题3-6图

3-7图示为多轴钻床在工件上同时钻四个直径相同的孔，每个孔均受到钻头切削刃的力偶作用，其力偶矩均为M=10

N·m。工件在A、B两处用螺栓固定，A、B二孔距离l=250mm，求两螺栓在工件平面内所受到的力。题3-7图

3-8曲柄滑块机构在图示位置处于平衡状态。已知F=100kN，曲柄AB=r=1m。试求作用于曲柄AB上的力偶矩M的大小。题3-8图

3-9如图所示，锻锤在工作时，由于锻头受工件的反作用力有偏心，使锻头发生偏斜。已知打击力F=1000kN，偏心距e=20mm，锻锤高度h=200mm。试求锻锤对两侧导轨的压力。题3-9图

3-10一单级圆柱齿轮减速器如图所示，在减速器的输入轴Ⅰ上作用一力偶，其力偶矩M1=500N·m，输出轴Ⅱ上作用阻力偶，其力偶矩M2=2000N·m，转向如图所示。已知l=100cm，不计减速器自重，求螺栓A、B所受的力。题3-10图

第4章平面任意力系4.1平面任意力系的简化及分析

4.2平面任意力系的平衡方程

思考题

习题

力系中各力的作用线任意分布在同一平面内，称为平面任意力系。平面任意力系是工程实际中最常见的一种力系。如图4-1所示的支架式起吊机，受到主动力G1、G2以及约束力FA、FBx、FBy的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面任意力系。又如图4-2(a)所示的拖车，它虽然不是受平面任意力系的作用，但因所受的力是对称于通过重心的纵向铅垂平面，故可将该力系简化到此平面上，当作平面任意力系处理，如图4-2(b)所示。图4-1图4-24.1平面任意力系的简化及分析

4.1.1

平面任意力系向一点简化设在刚体上作用有平面任意力系F1，

F2

，…，Fn，分别作用于Ａ1，Ａ2，···，Ａn各点。如图4-3(a)所示。在该平面内任取一点O，O称为简化中心。根据力的平移定理，将各力平移到O点，可得到一个作用于O点的平面汇交力系F1/，

F2/，…，Fn/和一个由附加力偶组成的平面力偶系Ｍ1，Ｍ2，…，Ｍn，如图4-3（b）所示。这样，就将原力系等效替换为两个基本力系：平面汇交力系和平面力偶系。

图4-3

平面汇交力系F1，F2，…，Fn可合成为一个通过Ｏ点的合力FR′，如图4-3（c）所示。根据平面汇交力系的合成方法，这个力为（4-1）

如采用解析法，则

（4-2）

（4-3）

附加的平面力偶系M1，M2，…，Mn可合成一个合力偶，这个合力偶的力偶矩为（4-4）

式中，为主矢的作用线与轴所夹的锐角。

4.1.2平面任意力系的简化结果讨论平面任意力系向一点简化，可得到一个主矢FR’和一个主矩MO，但这不是简化的最终结果，简化的最终结果通常有以下四种情况。

(1）FR’≠０，MO≠０：表明原力系与一个力等效。根据力的平移定理的逆过程，可以将FR’

和MO进一步简化成为一个合力FR。简化过程如图4-4所示，合力FR的作用线到简化中心Ｏ的距离为d,可由下式计算：图4-4(3）FR’＝０，MO≠０：表明原力系与一个力偶等效。由于主矢的大小和方向与简化中心的选取无关，因此原力系与一个力偶等效。原力系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO（F），此时主矩ＭO与简化中心的选择无关。

(4）FR’＝０，MO＝０：表明原力系为平衡力系。刚体在此力系作用下处于平衡状态。

例4-1铆接薄钢板，在铆钉Ｂ、Ｃ、Ｄ处分别受到力F1、F2和F3的作用,如图4-5（a）所示。已知F1＝100N，F2＝50N，F3＝200N

,图中尺寸单位为mm。求：（1）力系向A点、

C点的简化结果；（2）力系简化的最终结果；（3）以上三种情况的简化结果是否等效。图4-5

解（1）力系向任意一点简化，可得一个力和一个力偶，这个力为力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和。

由式（4-2），

有

主矢FR′的大小和方向分别为：

由式（4-4）可得，力系对A点和C点的矩分别为：

计算结果为正值，说明MA、MC均为逆时针转向，如图4-5(b)、4-5（c）所示。

（2）由于F’R≠０，所以力系简化的最终结果为一合力FR’,FR的大小和方向与主矢相同。合力作用线距C点的距离为（3）力系上述三种简化结果，从形式上是不同的，但都与原力系等效，所以，三种情况的简化结果是等效的。

（3）该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的，但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。

4.1.3固定端约束固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)），嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质可知，固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正交的分力FAx、FAy和力矩为MA的力偶表示（图4-6(d)）。

图4-64.2平面任意力系的平衡方程4.2.1平面任意力系的平衡方程

1.基本方程平面任意力系向作用面内任一点Ｏ简化，可得到一个主矢FR′和一个主矩MO。如果FR′＝０，MO＝０，则平面任意力系必平衡；反之，如果平面任意力系平衡，则必有FR′＝０，MO＝０。因此，

平面任意力系平衡的充要条件是：

故得平面任意力系的平衡方程为

(4-5)即所有各力在x轴和y轴上的投影的代数和分别为零，且各力对平面内任意一点的矩的代数和也为零。式(4-5)称为平面任意力系平衡方程的基本形式，它含有三个独立的方程，因而最多能解出三个未知量。2.二矩式二矩式的平衡方程为

(4-6)附加条件：Ａ、Ｂ两点的连线不能与Ｏx轴垂直。

3.三矩式三矩式的平衡方程为

(4-7)图4-74.2.2平面特殊力系的平衡方程

1.平面汇交力系的平衡方程如前所述，平面汇交力系就是力的作用线汇交于一点的平面力系，如图4-8（a）所示。显而易见，平衡方程（4-4）中∑MO≡0，

则其独立的平衡方程为

（4-8）

图4-8

2.平面平行力系的平衡方程各力的作用线处于同一平面内且互相平行的力系，称为平面平行力系。它是平面任意力系的一种特殊情况。在基本式中，坐标轴是任选的。现取y轴平行于各力，如图4-8（b）所示，则平面平行力系中各力在x轴上的投影均为零，即∑FR≡0。同样，平面平行力系只有两个独立的平衡方程，

即

（4-9）

不难看出，

平面平行力系的二矩式平衡方程为

（4-10）

其中Ａ、Ｂ两点的连线不能与各力的作用线平行。平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。

3.平面力偶系的平衡方程平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，

就是

4.2.3平面任意力系平衡方程的解题步骤（１）根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对象进行受力分析并画受力图。（２）选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画，但其它特殊方向的坐标轴必须画出。（３）列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心。（４）

结果分析或校核。

例4-2摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN,载荷G2＝12kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距离x＝4ｍ时，拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。解：

（1）因已知力、未知力均汇集于横梁AB之上，故取横梁AB为研究对象，并画受力图如图4-9（b）所示。

图4-9（2）列平衡方程并求解。取未知力FAx、FAy的交点A为矩心，有

求出FB之后，分别取x、y轴为投影轴，列投影方程并求解：

（3）讨论：因x变化时，FB、FAx、FAy也随之变化，如考虑强度，则必须从全过程分析。例4-3如图4-10（a）所示，外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kＮ·m，及载荷集度为q＝10kＮ／m的均布载荷。求支座A、B处的反力。

解（1）取水平梁AB为研究对象,画受力图如图4-10（b）所示。均布载荷可简化为一合力，其大小等于载荷集度与载荷跨度的乘积，即F＝４q，其作用线在AB的中点，如图4-10（b）中F所示。

图4-10（2）选取直角坐标系如图4-10（b）所示，列平衡方程并求解如下:

例4-4塔式起重机如图4-11所示。设机架自重为G，重心在Ｃ点，与右轨距离为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡物重Q，离左轨Ａ的距离为a，轨距为ｂ。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。解取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有载重W、机架自重G、平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力FA和FB，这些力构成了平面平行力系，起重机在该平面平行力系作用下平衡。（1）满载时：W=Wmax，Q=Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状态，A处悬空，FA＝０，受力图如图4-11（b）所示。则得

（2）空载时：W=0，Q=Qmax，机架可能绕Ａ点左翻，在临界平衡状态，Ｂ处悬空，FB＝０，受力图如图4-11（ｃ）所示,则∑MＡ(F)＝０

故平衡锤Q的范围应满足不等式

思考题

4-1.

汽车司机操纵方向盘时，可用双手对方向盘施加一力偶，也可用一只手对方向盘施加一个力。问这两种操作方式对汽车的行驶来说，效果相同吗？这能否说一个力与一个力偶等效？

4-2.如思4-2图所示，在刚体上A、B、C三点分别作用三个大小相等的力F1、F2、F3，试问此刚体是否平衡？若不平衡，其简化的最终结果是什么？

思4-2图

思4-3图

4-3.

由4个力组成一平面力系如思4-3图所示，已知F1=F2=F3=F4，问力系向A点和B点简化的结果是什么？两者是否等效？

4-4有一绞车，三臂互成120°且等长，如思4-4图所示，其中F1=F2=F3=F，且各与臂垂直。试问此三力向铰盘中心简化的结果是什么？思4-4图

4-5如思4-5图所示三铰拱，在构件CB上作用有力偶M图（a）和力F图（b）。当求铰链A、B、C的约束反力时，能否将力偶M或力F分别移到构件AC上？为什么？

思4-5图

4-6.

设平面任意力系向一点简化后为一合力。问能否找到一个点为简化中心，使力系简化为一力偶。

4-7.刚体受力如思4-7图所示，当力系满足方程∑Fy=0，∑MA(F)=0，∑MB(F)=0时，刚体肯定平衡吗？

思4-7图

4-8匀质刚体AB重G，在不计自重的三根杆支持的位置上平衡，如思4-8图所示，如需求A、B处所受的约束反力，试讨论在列平衡方程时应如何选取投影轴和力矩中心。

思4-8图

习

题

4-1如图所示的一平面任意力系，已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F′=200N。试将力系向O点简化，并求该力系的合力大小及其与原点O的距离d。

题4-1图

4-2如图所示的一平面任意力系，每方格边长为10cm，F1=F2=10N，F3=F4=

。试求该力系的最后简化结果。

题4-2图

4-3梁AB用三根支杆支承，如图所示。已知F1=30kN，F2=40kN，q=20kN/m，M=30kN·m，l＝4ｍ，h＝１ｍ。试求三根支杆的约束反力。题4-3图

4-4如图所示，在AB梁上作用有四个力组成的平面平行力系。试问此力系平衡吗？

题4-4图

4-5如图所示，已知q、a且F=qa、

M=qa2。求图示各梁的支座反力。

图4-5图

4-6某飞机的操纵机构如图所示。已知气动力的合力F＝qa，倾角α，尺寸a、h、l。试求舵面平衡时，操纵者给舵面的作用力FS和支座O对舵面的约束反力，不计自重。题4-6图

4-7如图所示，飞机着陆装置由弹簧液压杆AD、油缸D和两个绕枢轴转动的连杆OB和CB组成。假设该装置正沿跑道作匀速运动，已知轮子所支承的载荷为24kN。试求销钉A所承受的力。

题4-7图

4-8重物的重量为G，杆AB、CD与滑轮联接如图所示，已知G且α=45°，不计滑轮的自重。求支座A处的约束反力以及BC杆所受的力。题4-8图

第5章平面力系的拓宽及应用5.1物体系统的平衡、

静定与超静定问题

5.2考虑摩擦时的平衡问题

思考题

习题

5.1物体系统的平衡、静定与超静定问题

5.1.1静定与超静定的概念一个物体平衡时，未知量个数等于独立平衡方程个数，全部未知量可通过静力学平衡方程求得，这类问题称为静定问题。如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为超静定问题，也称为静不定问题。如图5-1（a）所示的简支梁由一个固定铰链和活动铰链支承，梁所受外力为任意