《复变函数》第1章

《复变函数》第1章第一章复数与复变函数§1复数及其代数运算1.复数的概念复变函数——自变量为复数的函数.复变函数研究的中心对象:解析函数．复变函数论又称为解析函数论．i—虚数单位i2

=－1复数：z=x+iy(或z=x+yi),x,

y为实数实部：x=Re(z)虚部：y=Im(z)纯虚数：z=iy(y

≠0)6/11/20262《复变函数》(第四版)2.复数的代数运算(1)加(减)法:(2)乘法:按多项式法则相乘z=0x=y=0

z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2

x1=x2,y1=y2

注意：任意两个复数不能比较大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共轭复数：z1±

z2=(x1

±

x2)+i(y1

±

y2)z1·

z2=(x1+iy1)(x2+

iy2)=(x1x2－

y1y2)+i(x2y1+

x1y2)6/11/20263《复变函数》(第四版)(3)除法:复数的运算满足交换律、结合律和分配律.(4)共轭复数性质i)ii)iii)iv)6/11/20264《复变函数》(第四版)证例1解:P.4设z1=5－5i,z2=－3+4i,求与6/11/20265《复变函数》(第四版)例2解:设求Re(z),Im(z)与6/11/20266《复变函数》(第四版)§2复数的几何意义1.复平面,复数的其它表示法复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.(1)z=x+iy点(

x,y)↔(

几何表示法)直角坐标平面

xoy复平面.x

—实轴y

—虚轴(2)z=x+iy↔(

向量表示法)模由此:or6/11/20267《复变函数》(第四版)结论:辐角:辐角主值:(两边之和大于第三边)(两边之差小于第三边)(z

0)无穷多个,相差2kπ.k=0,±1,±2,……当z=0时,|z|=0,而辐角不确定.6/11/20268《复变函数》(第四版)Argz的主值argz(z

0)可由Arctan的主值arctan来确定:例:其中z=－3+3i(图示)6/11/20269《复变函数》(第四版)(3)三角表示法(4)指数表示法例由欧拉公式得求和的辐角主值.解:6/11/202610《复变函数》(第四版)例1解:1)将下列复数化为三角表示式与指数表示式:1)2)

(或∵z

在第三象限)∴三角式:指数式:书P.76/11/202611《复变函数》(第四版)解:2)例2.见书P.8…(自阅)续上页例1三角式:指数式:6/11/202612《复变函数》(第四版)平面图形与复数形式方程例3通过两点

z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线的方程解法一:由过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的参数方程得复数形式的参数方程解法二:如图,z－z1与z2－z1共线即z2ozz16/11/202613《复变函数》(第四版)例4解:1)解:2)求下列方程所表示的曲线1)|z+i|=2;2)|z－2i|=|z+2|;3)几何上看|z+i|=|z

－(－i)

|=2:的距离为2的点轨迹,即中心为(－i

),半径为2的圆.

代数推导:设z=x+iy

则|x+(y+1)i|=2x2+(y+1)2

=4|z－2i|=|z+2|——到点2i

和－2距离连结2i和－2的线段的垂直平分线.与点－i相等的点轨迹:|x+(y－2)i|=|(x+2)+yi|x2+(y－2)2=(x+2)2+y2

y=－x(见书P10图1.5)6/11/202614《复变函数》(第四版)解:3)问:

续上页例4

1－y=4

y=－3|z+3

|+|z+1|=4中z的轨迹?到定点z

=－3和z=－1的距离和为常数——椭圆.(左焦点)(右焦点)6/11/202615《复变函数》(第四版)2.复球面任取一与复平面切于原点的球面,原点称球面的南极,过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点,又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应,构成扩充复平面与球面点的一一对应,即复数与球面上的点的一一对应,球面称为复球面.6/11/202616《复变函数》(第四版)规定:注:1.在高等数学中,∞可以分为+∞和－∞.而在复变函数中只有唯一的无穷远点∞.(这样才能与复球面一一对应)2.引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义.∞可以作为复平面的唯一的边界点.在扩充的复平面上,直线可看成是一个圆.|∞|=+∞α≠∞,α+∞=∞+α=∞α－∞=∞－α=∞α

·∞=∞·α=∞无特殊说明,平面仍指有限平面.6/11/202617《复变函数》(第四版)§3复数的乘幂与方根1.乘积与商(两端可能值相等,即集相等)6/11/202618《复变函数》(第四版)几何意义:特别:z1·z2:z1

逆时针旋转一个角度argz2,并伸长|z1|到|z2|倍.z2

顺时针旋转一个角度argz1,并伸长iz1

——对z1

实行一次旋转变换,旋转角

6/11/202619《复变函数》(第四版)例1方法一:已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i,求它的另一个顶点.解:设z3=x+yi

⇒⇒6/11/202620《复变函数》(第四版)方法二:类似可得续上页例1(书P14图1.8)Z3xy0Z1Z2Z3/36/11/202621《复变函数》(第四版)补例:证:若|z1|=|z2|=|z3|.求证三点共圆=α

Z1Z2Z3

6/11/202622《复变函数》(第四版)2.幂与根╰—棣莫弗(DeMoivre)公式—╯z的n次方根:(n为负整数时亦成立)r=1:(k=0,1,2,…,n-1)为以原点为中心,为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.6/11/202623《复变函数》(第四版)特别:补例1:1的n次方根也叫n次单位根.1的三次方根:∴x11+x7+x3=x2+x+1解:∵x3－1=(x－1)(x2+x+1),而x2+x+1=0故x是一个三次单位根.从而x11=

x9·x2

=x2,x7=x,x3=1.=0已知

x2+x+1=0,求x11+x7+x3的值.6/11/202624《复变函数》(第四版)补例2:证:求证易知比较虚部与实部,即得所证.6/11/202625《复变函数》(第四版)补例3:解:但(1+z)5=(1－z)5

验证知z≠1.故原方程可写成:则w5=1.k=0,1,2,3,4故原方程的根为:解方程6/11/202626《复变函数》(第四版)§4区域1.区域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的δ–邻域:|z–zo|<δ的全体点.

(半径为δ的圆域)模zo的去心δ–邻域:0<|z–zo|<δ.

的邻域:|z|>M内点:zo

G,zo的某个邻域属于G,zo为G的内点开集:集内的每个点都是内点.连通集:连接G内任意两点的折线也属于G.区域:连通的开集.边界点:zo的任意一个邻域内既有属于G的点又有不属于G的点.zo为边界点。闭区域:区域+边界=边界可以是曲线,也可以是孤立点.6/11/202627《复变函数》(第四版)2.单连通域与多连通域(1)简单闭曲线:(2)光滑曲线:设z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)为复平面上一条连续曲线,(x(t),y(t)连续)一条没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线,如果简单曲线的起点与终点重合,称为简单闭曲线.简单曲线自身不相交(t1≠t2⇒z(t1)≠z(t2))称为光滑曲线.(a≤

t

≤

b)由几条光滑曲线依次连接而成的曲线,称为按段光滑曲线.曲线z=z(t)=x(t)+iy(t)6/11/202628《复变函数》(第四版)(3)单连通域:从几何上看:特征:若属于区域G的任何简单闭曲线C的内部也属于G,则称G为单连通域;否则称为多连通域.单连通域即是无洞、无割痕的域.属于单连通域的任何一条简单闭曲线,在域内可以经过连续变形而缩成一点.常见曲线与区域:6/11/202629《复变函数》(第四版)常见曲线与区域:6/11/202630《复变函数》(第四版)1.定义设G是复平面上的一个点集,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,都有一个或几个复数w=u+i

v与之对应,那么称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作w=f(z)单值:一个z对应w的一个值.多值:一个z对应w的两个或两个以上的值.§5复变函数6/11/202631《复变函数》(第四版)※

一个复变函数确定了自变量为x、y的两个二元实变函数.例:z=x+yi,w=f(z)=f(x+i

y)=u+i

v相当于两个关系式:u=u(x,y),v=v(x,y).令z=x+iy,w=u+iv

6/11/202632《复变函数》(第四版)例:涉及四个变量x、y、u、v,故不能用一个平面,也不能用三维空间中的几何图形表示.反映z平面上的一个点集G(定义集合)到w平面上一个点集G*(函数值集合)的一个映射.x2+y2≤1u2+v2≥1※

几何意义:6/11/202633《复变函数》(第四版)代入法：已知将其写成关于z=x+iy的解析式.补例:解:常用的方法有三种.6/11/202634《复变函数》(第四版)设零法：将式中项凑成x

±iy的组合设式中y

=0,得

f(x),代回f(z)最简单拼凑法：6/11/202635《复变函数》(第四版)Gz平面G*w平面z－原象w－象(映象)w=f(z)今后不再区分函数与映射(变换).若G与G*的映射是一一对应,则有逆映射z=φ(w).即w=f[φ(w)],

z=φ[f(z)].2.映射的概念6/11/202636《复变函数》(第四版)(1)w=

——关于实轴的一个对称映射(将z与w重叠)象与映象是关于实轴对称的全同图形.例:6/11/202637《复变函数》(第四版)(2)w=z2

z=x+yi

w=u+iv,u=x2－y2,v=2xy.argw=2argz

——辐角增大一倍.角形域→角形域→6/11/202638《复变函数》(第四版)z平面:x2－y2=c1,2xy=c2(以y=±x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线)两族平行直线:u=c1,v=c2.(图示见书P24图1.17)6/11/202639《复变函数》(第四版)1.函数的极限(1)定义:(2)几何意义w

=f(z)在

zo的去心邻域0<|z－zo|<ρ内有定义.∀ε>0,∃δ(ε)>0,使0<|z－zo|<δ

时,有|f(z)－A|<ε

则称A

为

f(z)当z

趋向于zo时的极限,

当变点z一旦进入zo的充分小的δ去心邻域时,

它的象点f

(z)就落入A的预先给定的ε

邻域中.

§6复变函数的极限和连续性6/11/202640《复变函数》(第四版)(4)极限的计算Th1.定义在形式上与叙述方法上十分相似,意义却大不相同.z

→zo

的任意性更强,条件更苛刻.其相同点是:只是z(或x)进入

zo(或xo)的δ

邻域.它的象点f

(z)(或f

(x))就进入A的ε

邻域,而且它们有相同的极限运算法则.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=uo+ivo,zo=xo+iyo,则:⇔(3)与实变函数极限的异同6/11/202641《复变函数》(第四版)⇒∀ε>0,∃δ>0,当0<|(x+iy)－(xo+iyo)

|<δ

时,|(u+iv)－(uo+ivo)

|<ε

,|(u－uo)+i(v－vo)

|<ε

.⇒|u－uo|<ε

,|v－vo|<ε

,⇒证:

必要性.6/11/202642《复变函数》(第四版)⇒∀ε>0,∃δ>0,⇒|f(z)－A|=|(u－uo)+i(v－vo)

|≤|u－uo|+|v－vo|=ε⇒证:

充分性.6/11/202643《复变函数》(第四版)由此知：复变函数极限的定义，形式上与一元实函数类