几何轨迹-2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题一、尺规作图1．如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.（1）尺规作图：在射线AE上找一点F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).（2）根据(1)的作法，若AD=1，求AF的长.2．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.（1）作圆心O和AB的中点M.（2）连结OM，交AB于点N，若AB=4，ON=3，求⊙O的半径.3．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得DE=（1）①做法正确的同学有___________；②请选择你认为正确的一种做法给出证明；（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线．（1）用圆规和无刻度的直尺作AC的垂直平分线，分别交BC，AD于点E，F；（2）在（1）条件下，若CD=3,AD=6，求DF的长．5．如图，点P是∠ABC平分线上的一点，点M是射线BC上的一点（异于点B），连结MP，在射线BA上用尺规作图的方法找一点N，使△BPN≌△BPM．下面有两种作图方法．方法1：以B为圆心，BM为半径作弧，交射线BA于N，连结PN，则△BPN≌△BPM．方法2：以P为圆心，PM为半径作弧，交射线BA于N，连结PN，则△BPN≌△BPM．（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；（2）直接写出当∠PMB的大小满足什么条件时，两种方法都正确．6．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“连弧纹镜”；（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）7．某公园有一座古塔（如图1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为37°；步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处.此时在B处测得塔尖C的仰角为45°.点D是塔尖C在地平线AB上的正投影.（1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)（2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据：sin二、网格作图8．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点A，B在网格的格点上。（1）在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD：（2）在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF。9．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.图1（2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.图210．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．（1）在图1中作一个以AB为腰的等腰△ABC．（2）在图2中以AB为边画一个平行四边形ABCD．11．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．（1）请画出△A'B'C'；（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是；（3）△A'B'C'的面积为．三、直尺作图13．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．（1）如图1，已知∠AOB,OA=OB．点E在OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请你在图中画出∠AOB的平分线．（2）如图2．已知E是菱形ABCD中AB边上的中点，请作出AD边上的中点F．14．如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A=70°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．（1）请在图中作一个110°的圆周角，记为∠1．（2）请在图中作一个40°的圆心角，记为∠2．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF，连结EF，请仅用无刻度的直尺画出线段EF的中点O，并说明这样画的理由．16．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠（1）在图1中作一个100°的角；（2）在图2中作一个130°的角；（3）在图3中作一个40°的角．17．如图，是一正六边形ABCDEF，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作一个以BD为对角线的平行四边形；（2）在图2中，作出△ABD中AB边上的中线DM．18．数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图.（1）如图，点A、B、C在⊙O上，①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.（2）在图③中，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D.画出∠BAC的平分线.四、几何轨迹19．2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（）A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对20．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（）A． B．C． D．21．在平面直角坐标系xOy中，若点A(0,2)绕原点O顺时针旋转60°得到点A'．则点A运动到A'的轨迹的长度为22．如图，在正方形ABCD中，E是正方形内部一动点，∠AEB=90°，请画出点E的运动轨迹.【思路引导】定弦为，定角为，画出点E的运动轨迹.23．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线l对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.24．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A【思路引导】定点(圆心)是，定长(半径)是，点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是，当F在位置时，A'到达终点，画出点A'的运动轨迹.A'

答案解析部分1．【答案】（1）解：图1即为所作图形.（2）解：如图2，作CH⊥AF于点H.∵△ABC是等腰直角三角形，AD是中线，AD=1，∴∠ACB=45°，AD⊥BC，BC=2AD=2.∵AE∥BC，∴CH=AD=1.∵∠FAC=∠ACB=45°，∴AH=CH=1.∵CF=BC=2,∴FH=22−12【解析】【分析】（1）以点C为圆心，BC长为半径画弧交AE与点F，连接CF，则CF即为所求．（2）作CH⊥AF于点H．根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=45°，AD⊥BC，BC=2AD=2．即可得到△AHC是等腰直角三角形，求出AH=1，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出HF，最后根据线段的和差解答即可．2．【答案】（1）解：如图，点O和点M即为所求，（2）解：如图，连接OA，由（1）可知，点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴AN=BN=1在Rt△OAN中，OA=A【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点C，连接AC，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，AB的垂直平分线与AB的交点即为中点M；（2）连接OA，根据垂径定理的逆定理可得OM⊥AB，AN=BN=13．【答案】（1）①甲、丙；②甲的做法证明如下：方法一：由图可知AE平分∠BAC，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，又∵点D为AB的中点，∴DE=1方法二：由图可知AE平分∠BAC，∵AB=AC，∴AE为BC边上的中线，即点E为BC的中点，又∵点D为AB的中点，∴DE是ABC的中位线，∴DE=1∴DE=1丙的做法证明如下：方法一：连结BF，CF由图可知∴点F在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AE是BC的垂直平分线，∴∠AEB=90°，又∵点D为AB的中点，∴DE=1方法二：连结BF,CF由图可知BF=CF，∴点F在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AE是BC的垂直平分线，即点E为BC的中点，又∵点D为AB的中点，∴DE是ABC的中位线，∴DE=1∴DE=1（2）解：如图，以点D为圆心AB为直径画圆，交BC于点E，则DE=BD=AD=1其他做法酌情给分

【解析】【解答】解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；

【分析】本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合DE=1（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；②甲的做法证明如下：方法一：由图可知AE平分∠BAC，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，又∵点D为AB的中点，∴DE=1方法二：由图可知AE平分∠BAC，∵AB=AC，∴AE为BC边上的中线，即点E为BC的中点，又∵点D为AB的中点，∴DE是ABC的中位线，∴DE=1∴DE=1丙的做法证明如下：方法一：连结BF，CF由图可知∴点F在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AE是BC的垂直平分线，∴∠AEB=90°，又∵点D为AB的中点，∴DE=1方法二：连结BF,CF由图可知BF=CF，∴点F在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AE是BC的垂直平分线，即点E为BC的中点，又∵点D为AB的中点，∴DE是ABC的中位线，∴DE=1∴DE=1（2）解：如图，以点D为圆心AB为直径画圆，交BC于点E，则DE=BD=AD=1其他做法酌情给分4．【答案】（1）解：EF即为所求.（2）解：∵四边形ABCD为矩形ABCD，

∴∠D=90°，

∵CD=3,AD=6，

∴AC=AD2+CD2=32+62=35，

∴cos∠DAC=ADAC=6【解析】【分析】（1）分别以A,C为圆心，大于12（2）根据勾股定理先求出AC的长，再根据余弦值求出AF的长，进而得出答案．（1）解：如图，EF即为所求；（2）∵矩形ABCD，∴∠D=90°，∵CD=3,AD=6，∴AC=3∴cos∠DAC=∵EF垂直平分AC，∴OA=OC=1∴AF=OA∴DF=AD−AF=6−155．【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示

证明：∵BP平分∠ABC，

∴∠NBP=∠MBP，

在△BPN和△BPM中

∵BM=BN（由作图可得）∠NBP=∠MBP（已证）BP=BP（（2）∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM【解析】【解答】（2）解：当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确，理由如下：当∠PMB=90°时，则PM⊥BC，

∴PM的长即为点P到BC的距离；按照方法2作图，PN的长即为点P到AB的距离，∠PNB=90°，射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN≌△BPM；当∠PMB<∠PBM时，PM>PB，此时按照方法2作图，PN>PB，射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN≌△BPM．【分析】（1）方法一正确，根据SAS即可证明全等；（2）当以P为圆心，PM为半径作弧，与射线BA的交点N只有一个，即当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确.（1）解：方法一正确，画图如图所示证明：由作图可得BM=BN，∵BP平分∠ABC，∴∠NBP=∠MBP，在△BPN和△BPM中BM=BN∠NBP=∠MBP∴△BPN≌△BPMSAS（2）解：当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确．理由：当∠PMB=90°时，PM⊥BC，PM的长即为点P到BC的距离，按照方法2作图，PN的长即为点P到AB的距离，∠PNB=90°，射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN≌△BPM；当∠PMB<∠PBM时，PM>PB，此时按照方法2作图，PN>PB，射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN≌△BPM．6．【答案】（1）七（2）解：如图

【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”

故答案为：七.

【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可.

（2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可.7．【答案】（1）解：如图所示：线段CD即为所求（2）解：设古塔的高度CD=xm（x>0)，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°.由题意可知，∠CBD=45°，∠CAD=37°，AB=15m，∴∠CBD=∠BCD=45°，∴CD=BD=xm，AD=AB+BD=（15+x)m，∴在Rt△ACD中，tan解得，x=45，（经检验，x=45是分式方程的解，且符合题意)，即CD=45m.答：古塔的高度为45m.【解析】【解答】解：（1）作图原理：如图，连接CE，CF，NE，NF，由作图可知，CE=CF，NE=NF，∴CN垂直平分EF，即CD⊥AB，满足正投影的定义.【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可完成作图；

（2）通过解直角三角形ACD，即可求得古塔的高度CD的值。8．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作底边为2，高为3，且AB为边的平行四边形；（2）作一个底边为2，高为3，且AB为对角线的平行四边形．9．【答案】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作；（2）解：①如图1，

由题意可知AB=32+42=5=AP，

∴∠ABP=∠APB，

∵AD//BC，

∴∠APB=∠CBP，

∴∠ABP=∠CBP，

则点P即为所求；

②如图2，

由题意可知AB=3【解析】【分析】(1)如图1中，在AD上取点P，使得AB=AP，连接BP，点P即为所求.如图2中，作等腰△ABE，

AB=AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求；

(2)①由画图可知，推出∠ABP=∠APB，再根据AD//BC，证明∠APB=∠PBC，可得∠ABP=∠PBC，则点P即为所求；

②由画图可知，AB=BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求.10．【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；

（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.

【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；（2）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.（1）解：如图所示，等腰△ABC即为所求；（2）解：如图所示，平行四边形ABCD即为所求；11．【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；

（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.12．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；（2）(−（3）1【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2．∴点M'的坐标为(−a故答案为：(−a（3）△A'B'C'的面积为1×3−1故答案为：1．【分析】（1）根据位似的性质作图即可；

（2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M'的横纵坐标；

（3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积．13．【答案】（1）解：（2）解：14．【答案】（1）解：如图，在劣弧BC上任取一点E，连接BE，CE，则∠1即为所求作；（2）答：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，则∠2即为所求作.

​【解析】【分析】（1）圆内接四边形对角互补；（2）由圆周角定理得∠BOC=2∠A=140°，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则∠COF即为所求作．（1）解：如图，在劣弧BC上任取一点E，连接BE，CE，∠1即为所求作；（2）解：延长BO交⊙O于点F，∠2即为所求作．15．【答案】解：如图：连结AC交EF与点O，点O即为所求．

理由：连结AF，CE．

四边形ABCD为平行四边形，

∴AE∥FC．

又∵AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴OE=OF，

∴点O是线段EF【解析】【分析】连结AC交EF于点O，点O即为所求；连接AF、CE，由平行四边形的对边平行得出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论.16．【答案】（1）∠AOC（2）∠D（3）∠CAE【解析】【解答】解：(1)连接OA，OC，

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠AOC=2∠ABC=100°，

∴∠AOC即为所求；

故答案为：∠AOC.

(2)在AC^上任取一点D，

∴∠D即为所求；

故答案为：∠D.

(3)如图，

延长AO交⊙O于点E，连接CE，

∴∠ACE=90°，∠E=∠B=50°，

∴∠CAE=40°，

∴∠CAE即为所求.

故答案为：∠CAE.

【分析】(1)连接OA，OC，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可；

(2)在AC^上任取一点D，由圆内接四边形性质可得∠D=130°；

(3)延长AO交⊙O于点E，连接CE，AC，再根据直角三角形性质即可.17．【答案】（1）解：如图所示，连接AD、BE交于O，则四边形BCDO即为所求；可证明△ABO，△EDO都是等边三角形，则OD=OB=AB=DE=BC=DC，则四边形BCDO为菱形，即四边形（2）解：如图所示，连接OC交BD于H，连接AH交OB于G，连接DG并延长交AB于M，则DM即为所求；可得点O和点H分别时AD，BD的中点，由三角形三条中线交于一点可得【解析】【分析】（1）根据题意，连接AD、BE交于O，则四边形BCDO即为所求；（2）根据题意，连接OC交BD于H，连接AH交OB于G，连接DG并延长交AB于M，则DM即为所求．​​​​​​（1）解：如图所示，连接AD、BE交于O，则四边形BCDO即为所求；可证明△ABO，△EDO都是等边三角形，则OD=OB=AB=DE=BC=DC，则四边形BCDO为菱形，即四边形（2）解：如图所示，连接OC交BD于H，连接AH交OB于G，连接DG并延长交AB于M，则DM即为所求；可得点O和点H分别时AD，BD的中点，由三角形三条中线交于一点可得18．【答案】（1）解：①在劣弧AC⏜上任取一点D，连