2027届新高考数学热点精准复习列联表与独立性检验

2027届新高考数学热点精准复习列联表与独立性检验情境引入学习目标1.通过实例，理解2×2

列联表的统计意义．2.基于2×2

列联表，通过实例了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本步骤，会用独立性检验解决简单的实际问题，提升数据分析能力．1.分类变量2×2列联表列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，

X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互对立的两个事件

{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝

0，1）的频数，n是样本容量，其样本频数列联表（称为2×2列联表）如

下表所示：知识梳理XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.利用随机变量χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为

χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.χ2的计算公式：χ2＝

⁠.

知识梳理下表给出了

2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828xα在假设H0成立的情况下，事件{

2≥xα}是不大可能发生的。根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断H0不成立。不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α。基于小概率值α的检验规则是：当

2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当

2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立。下表给出了

2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828CB（人教版选择性必修第三册P134T4改编）从某学校获取了容量为1000的放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本观测值数据整理如下：数学成绩语文成绩不优秀优秀合计不优秀200优秀780合计800根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩和语文成绩有关联？自主学习自主学习课本131页-132页例2，例31.归纳独立性检验步骤2.补全列联表并计算卡方值，思考如何做出统计决策方法总结独立性检验的具体步骤（1）提出零假设H0：X和Y相互独立；（2）根据样本数据整理出2×2列联表，计算χ2的值；（3）根据需要的犯错误概率的上界α，查表确定临界值xα；（4）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断

犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.（2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做

过超声波检查的人群中随机调查了1

000人，得到如下列联表：组别超声波检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001

000情境回扣（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

变式

1（2023·全国甲卷改编）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（1）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：课后作业（1）填写如下列联表：组别小白鼠体重增加量合计＜m≥m对照组试验组合计（2）根据（1）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．1414662020202040（2）根据（1）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．

变式2某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概

率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.解:零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，疗法疗效合计未治