2027届新高考数学热点精准复习直线与圆、圆与圆的位置关系

2027届新高考数学热点精准复习直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求真题分布1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．2025年全国Ⅰ卷T72024年—2023年新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T15知识清单1.直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.位置关系几何法代数法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相离d________rΔ________0<>＝＝><

两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系________________________________________图示公切线条数40213d>r1＋r20≤d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2【常用结论】1．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，(1)若两圆相交，将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程．两圆圆心的连线垂直平分公共弦．(2)若两圆相切，将两圆方程直接作差，得到两圆公切线所在的直线方程．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(

)(2)在圆中最长的弦是直径．(

)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．(

)(4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.(

)√√×√2．(人教A版选修一P93练习T1(2)改编)直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是(

)A．相交B．相切C．相离D．相切或相交答案：B

3．(人教A版选修一P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(

)A．外切B．相交C．外离D．内切答案：A

4．(人教A版选修一P93T3改编)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．

命题点一直线与圆的位置关系例1(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案：ABD

答案：B

真题探源

(源自人教A版选修一P99习题T13)圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋b的距离等于1，此时b＝________．

学霸笔记：(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．

答案：B

(2)已知P为直线l：3x－4y＋9＝0上一点，过P作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，则最短切线长为________．

学霸笔记：(1)过一点求圆的切线方程的两种求法．①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意斜率不存在的情况；②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.注意斜率不存在的情况．特别地，当点在圆上时，可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程．(2)过圆外一点P引圆的切线，求切线长时，常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解．跟踪训练

(1)圆O：x2＋y2＝25在点P(4，3)处的切线方程为(

)A．4x＋3y－25＝0B．3x＋4y－25＝0C．4x－3y－25＝0D．2x＋3y－17＝0(2)过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为________________________．Ax＝－1或4x＋3y＋1＝0

命题点三圆与圆的位置关系例4(1)(多选)已知圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆O2：x2＋y2＝r2(r>0)，下列选项正确的有(

)A．若r＝1，则两圆外切B．若r＝1，则直线x＝－1为两圆的一条公切线C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y＝0D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为4(2)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．答案：BD

答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)

(2)由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图，

跟踪训练

(1)(衔接·人教A版选修一P103T13改编)圆x2＋y2－10x－10y＝0与圆x2＋y2－6x＋2y－40＝0的公共弦长是________．(2)(衔接·人教A版选修一P98T10改编)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程为___________．

1．已知直线l：x＋2y＋5＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝a2＋6，则直线l与圆C的位置关系是(

)A．相离

B．相切C．相交

D．与a的取值有关答案：C

2．圆C1：x2＋y2－2x－4y＋4＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝9的位置关系为(

)A．内切

B．相交C．外切

D．外离答案：C

答案：C

4．已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－2)2＝4，则(

)A．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x＋2y－2＝0B．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x＋2y＝0C．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x＋2y－2＝0D．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x＋2y＝0答案：B

5．(2026·驻马店模拟)若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)(

)A．在圆O外

B．在圆O内C．在圆O上

D．与圆O的位置关系不确定答案：B

答案：B

7．(2026·合肥模拟)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x－4y的取值范围为(

)A．[－4，16] B．[－8，12]C．[－10，10] D．[－16，4]答案：A

8．(2026·九江模拟)过点P(3，2)作圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为(

)A．2x＋y－6＝0 B．x＋2y－7＝0C．x－y＋1＝0 D．3x＋y－9＝0答案：A解析：如图所示，连接CA，CB，由平面几何知，CA⊥PA，CB⊥PB，点P，A，C，B共圆，且CP为直径．因为P(3，2)，C(1，1)，所以所求圆的圆心为PC的中点

答案：BD

答案：AC

11．已知直线x＝－1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝a＋5有唯一交点，则a＝________．答案：4

答案：－1(答案不唯一)

13．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点M(4，－1)，且与圆D：x2＋y2－x－6y＋a＝0相切于点N(1，2)．(1)求圆C的方程；

(2)过点A(5，1)作圆C的切线，求切线l的方程．

(2)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围．

答案：D解析：由题意直线l1，l2平行，且与圆的四个交点构成矩形ABCD，

16.(5分)(2026·抚州模拟)若对于圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意的点A，直线l：4x＋3y＋8＝0上总存在不同两点M