八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题

同学们在学习了“与三角形有关的角”这一节后，想必对三角形的内角和定理以及外角的性质有了初步的认识。这部分知识是我们后续学习更复杂几何知识的基础，其重要性不言而喻。通过适量的练习来巩固所学，深化理解，是非常必要的。下面，我们就通过一些有代表性的练习题来一起回顾和拓展这些知识。一、知识回顾与梳理在开始练习之前，我们先简要回顾一下本节的核心内容：我们已经知道，任意一个三角形的三个内角的和等于180度，这就是三角形内角和定理。这个定理是解决与三角形内角相关计算和证明问题的基石。基于这个定理，我们还推导出了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；同时，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。这些性质揭示了三角形的内角与外角之间的数量关系，为我们打开了另一扇解题的思路之窗。二、练习题设计与解析（一）基础巩固篇目的：夯实基础，熟练运用三角形内角和定理及外角性质解决基本问题。1.题目：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数。思考与提示：这道题直接考查三角形内角和定理。我们知道三角形三个内角加起来是多少度来着？对，把已知的两个角的度数加起来，再用总和减去这个和，是不是就能得到∠C了？动手试试看。2.题目：如图，在△ABC中，∠ACB的外角是∠ACD，若∠A=45°，∠B=65°，求∠ACD的度数。（*此处应有一个简单的示意图，显示△ABC及外角∠ACD*）思考与提示：这道题是关于外角性质的。我们学过，三角形的一个外角等于什么来着？它是不是等于和它不相邻的两个内角的和？那么∠ACD是哪个角的外角？它不相邻的内角又是哪两个呢？把这两个内角的度数找到，问题就解决了。3.题目：一个三角形的三个内角度数之比为2:3:4，求这个三角形各个内角的度数。思考与提示：当遇到比例问题时，我们通常会设一份为未知数。比如，这里我们可以设三个内角分别为2x，3x，4x。然后根据什么定理来列方程呢？没错，三角形内角和定理。把这三个表达式加起来等于180°，解出x，各个角的度数就都能求出来了。这个方法很常用，要掌握哦。（二）能力提升篇目的：综合运用知识，解决稍复杂的问题，培养逻辑推理能力。4.题目：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线。若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数。（*此处应有示意图，显示△ABC，AD为高，AE为角平分线*）思考与提示：这道题稍微复杂一点，涉及到了高和角平分线。我们一步一步来。首先，要求∠DAE，它在Rt△ADE中吗？如果能知道∠AED或者∠ADE的度数，或许能求。不过∠ADE是直角，因为AD是高。那我们是不是可以先求出∠BAE和∠BAD，然后用∠BAE减去∠BAD得到∠DAE呢？要得到∠BAE，我们需要先知道∠BAC的度数，这可以通过三角形内角和定理，利用∠B和∠C求出来。AE是角平分线，所以∠BAE就是∠BAC的一半。至于∠BAD，在Rt△ABD中，∠B是30°，∠ADB是90°，那么∠BAD是不是就很容易求了？把这些关系理清楚，答案就不远了。5.题目：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=80°，求∠BDC的度数。（*此处应有示意图，显示一个△ABC，点D在内部，连接BD、CD，形成∠1、∠2、∠3、∠4*）思考与提示：这个图形看起来有点绕，但不要怕。要求∠BDC，我们可以在△BDC中考虑，它的内角和也是180°，如果能知道∠DBC和∠DCB的度数之和，就能求出∠BDC了。题目告诉我们∠1=∠2，∠3=∠4，这说明BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线吗？嗯，看起来是的。∠A是80°，那么∠ABC+∠ACB是多少度呢？根据三角形内角和定理，应该是180°-∠A。那么，∠DBC+∠DCB是不是就是∠ABC+∠ACB的一半呢？因为它们是被平分了的。想明白了这一点，∠BDC就迎刃而解了。（三）拓展思考篇目的：挑战思维极限，联系实际，培养空间想象能力和解决问题的灵活性。6.题目：小明想制作一个三角形的框架，他有两根长度分别为5cm和8cm的木条，他还需要一根木条来组成这个三角形。（1）若这个三角形的周长是偶数，那么第三根木条的长度可以是多少？（取整数）（2）若这个三角形有两个内角相等，那么第三根木条的长度又可以是多少？思考与提示：这道题把三角形的边和角联系起来了，还有点实际应用的意思。第一问，首先要考虑三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。所以第三根木条的长度肯定有一个范围。设第三根木条长为xcm，那么x需要满足8-5<x<8+5，即3<x<13。又因为周长是偶数，已知的两边之和是5+8=13cm，是奇数，所以x必须是奇数才能让周长（13+x）是偶数。在3<x<13这个范围内的奇数有哪些呢？第二问，“有两个内角相等”说明这是个等腰三角形。那么哪两条边相等呢？有两种情况：要么是5cm和xcm相等，要么是8cm和xcm相等。当然，第三种情况5cm和8cm相等是不可能的。所以分别讨论一下：如果x=5，那么三边是5，5，8，能组成三角形吗？检查一下三边关系。如果x=8，那么三边是5，8，8，同样检查一下。这两种情况都符合条件吗？三、解题方法与总结通过以上练习，我们可以总结出一些解决与三角形有关的角的问题的常用方法：1.直接应用定理法：对于基础题，直接运用三角形内角和定理或外角性质即可求解。2.方程思想：当题目中涉及角度的比例关系、倍数关系或未知量较多时，设未知数，根据定理列方程求解是非常有效的方法。3.转化思想：将未知角转化为已知角的和或差，或者利用外角与内角的关系进行转化。4.数形结合：认真观察图形，找出图中隐含的角与角之间的关系，如对顶角、邻补角、角平分线、高线所形成的直角等，将图形信息与已知条件结合起来。在解题过程中，一定要养成认真审题、仔细看图、规范书写的好习惯。遇到难题不要慌张，多从已知条件出发，联想所学过的知识，一步一步地分析，往往就能找到突破口。四、参考答案与详解（为了不影响同学们独立思考，建议先自行完成上述练习，再对照以下答案。）基础巩固篇1.∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。2.∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD=∠A+∠B=45°+65°=110°。3.设三个内角分别为2x，3x，4x。则2x+3x+4x=180°，解得x=20°。所以三个内角分别为40°，60°，80°。能力提升篇4.在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°。因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠BAC/2=40°。在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°。所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°。5.在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°。因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)/2=50°。在△BDC中，∠BDC=180°-(∠2+∠3)=130°。拓展思考篇6.（1）设第三根木条长为xcm，根据三角形三边关系，3<x<13。已知两边之和为13cm，周长为偶数，所以x为奇数。因此，x可以是5cm、7cm、9cm、11cm。（2）若三角形有两个内角相等，则为等腰三角形。情况一：x=5cm，