初中相似三角形知识点专项训练题

初中相似三角形知识点专项训练题相似三角形是初中几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决几何计算与证明问题的重要工具，在中考中占据着举足轻重的地位。掌握相似三角形的判定与性质，能够帮助我们更深刻地理解图形间的数量关系与位置关系，提升逻辑推理能力和空间想象能力。本专项训练将围绕相似三角形的核心知识点，通过典型例题解析与针对性练习，帮助同学们夯实基础、突破难点，熟练运用相似三角形的知识解决实际问题。一、核心知识点梳理在进行专项训练之前，我们先来回顾一下相似三角形的核心知识点，这是解决一切相关问题的基础。1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。*注意：相似比具有顺序性，若△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k。2.相似三角形的判定定理：*预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。*判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.相似三角形的性质：*对应角相等。*对应边成比例。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。4.常见的相似模型：*“A”型相似（包括正“A”型和斜“A”型）*“X”型相似（或“8”型相似）*母子相似（直角三角形中“射影定理”的基本模型）*一线三垂直模型二、典型例题精析例题1：平行线分线段成比例与相似判定如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，BC=6，求DE的长。分析：本题考查的是相似三角形的预备定理及性质。因为DE∥BC，所以可以直接得出△ADE与△ABC相似。根据相似三角形对应边成比例，即可求出DE的长度。解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应三角形与原三角形相似）。∴AD/AB=DE/BC。∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=3+2=5。∴3/5=DE/6，解得DE=(3×6)/5=18/5=3.6。点评：找准对应边是解决此类问题的关键。在书写比例式时，务必注意对应顶点的顺序。例题2：利用两边成比例且夹角相等判定相似已知：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=10，AC=8，AD=5，AE=4。求证：△ABC∽△ADE。分析：要证明△ABC与△ADE相似，已知一组对应角∠BAC=∠DAE相等，只需再证明夹这个角的两边对应成比例即可。解答：证明：∵AB=10，AC=8，AD=5，AE=4，∴AB/AD=10/5=2，AC/AE=8/4=2。∴AB/AD=AC/AE。又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。点评：“夹角相等”是该判定定理的关键条件，若不是夹角，则不能直接判定相似。例题3：相似三角形性质的综合应用已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。若△ABC的面积为S，周长为C，求△A'B'C'的面积S'和周长C'。分析：直接运用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。解答：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∴C/C'=k，（相似三角形周长的比等于相似比）S/S'=k²。（相似三角形面积的比等于相似比的平方）∴C'=C/k，S'=S/k²。点评：牢记相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，注意区分“比”与“平方比”。三、专项训练题（一）基础巩固1.下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠EB.AB/DE=BC/EF=AC/DFC.AB/DE=AC/DF，且∠B=∠ED.∠C=∠F=90°，AB/DE=AC/DF2.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为（）（此处应有图：△ABC，DE在AB、AC上，DE∥BC）A.1.5B.2C.2.5D.33.若两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的周长比为______，面积比为______。4.已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为3，若△A'B'C'的面积为5，则△ABC的面积为______。5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。（此处应有图：Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB）（二）能力提升6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC延长线上，连接AE交CD于点F。若AB=5，BC=3，CF=1，则CE的长为多少？（此处应有图：平行四边形ABCD，E在BC延长线上，AE交CD于F）7.如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠ADE=∠B。求证：AD²=AE·AB。（此处应有图：等腰△ABC，AB=AC，D在BC上，E在AB上，∠ADE=∠B）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？（此处应有图：Rt△ABC，∠C=90°，P在AC上从A向C运动，Q在BC上从C向B运动）9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8。点P从点A开始沿AB边向点B以1单位/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2单位/秒的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（此处应有图：Rt△ABC，∠B=90°，P在AB上，Q在BC上）参考答案与提示基础巩固1.C（提示：选项C中的角不是夹角）2.A（提示：利用△ADE∽△ABC，AD/AB=AE/AC）3.2:3；4:94.45（提示：面积比为相似比的平方）5.提示：利用“有两个角对应相等的三角形相似”，证明每组三角形都有两个角对应相等。例如∠A是△ABC和△ACD的公共角，且∠ADC=∠ACB=90°。能力提升6.CE=3/4（提示：证△ADF∽△ECF，利用平行四边形性质得AD=BC=3，DF=CD-CF=AB-CF=4）7.提示：欲证AD²=AE·AB，即证AD/AE=AB/AD，可通过证明△ADE∽△ABD得到。由∠ADE=∠B，∠BAD为公共角即可得证。8.t=2.4或t=12/7（提示：分两种情况讨论：①PC/AC=QC/BC；②PC/BC=QC/AC）9.t=1.2或t=3（提示：分两种情况讨论：①PB/AB=QB/CB；②PB/CB=QB/AB）三、总结与建议相似三角形的学习，关键在于理解其核心概念，熟练掌握判定方法与性质，并能灵活运用这些知识解决具体问题。在解题过程中，要注意以下几点：1.仔细观察图形：善于从复杂图形中分解出基本的相似模型（如“A”型、“X”型等）。2.准确寻找对应关系：无论是角还是边，找准对应关系是正确运用相似性质的前提。3.