(2025年)《应用时间序列分析》课后习题答案

(2025年)《应用时间序列分析》课后习题答案习题1：已知某平稳时间序列{Xₜ}满足AR(2)模型：Xₜ=0.6Xₜ₋₁+0.2Xₜ₋₂+εₜ，其中εₜ为白噪声序列，方差σ²=4。（1）计算该模型的自协方差函数γₖ（k=0,1,2）；（2）验证其偏自相关函数（PACF）在k=2处截尾。解答（1）：对于AR(2)模型，自协方差函数满足递推关系：γₖ=φ₁γₖ₋₁+φ₂γₖ₋₂（k≥1），其中φ₁=0.6，φ₂=0.2。当k=0时，γ₀=E[Xₜ²]。由模型方程两边平方取期望，注意到Xₜ与εₜ不相关（t时刻的Xₜ仅依赖于过去的X和当前ε），有：E[Xₜ²]=0.6²E[Xₜ₋₁²]+0.2²E[Xₜ₋₂²]+2×0.6×0.2E[Xₜ₋₁Xₜ₋₂]+E[εₜ²]因平稳性，E[Xₜ²]=E[Xₜ₋₁²]=E[Xₜ₋₂²]=γ₀，E[Xₜ₋₁Xₜ₋₂]=γ₁，故：γ₀=0.36γ₀+0.04γ₀+0.24γ₁+4整理得：γ₀(10.360.04)=0.24γ₁+4→0.6γ₀=0.24γ₁+4…（1）当k=1时，γ₁=φ₁γ₀+φ₂γ₋₁=φ₁γ₀+φ₂γ₁（因γ₋₁=γ₁），代入φ₁=0.6，φ₂=0.2得：γ₁=0.6γ₀+0.2γ₁→0.8γ₁=0.6γ₀→γ₁=(0.6/0.8)γ₀=0.75γ₀…（2）将（2）代入（1）：0.6γ₀=0.24×0.75γ₀+4→0.6γ₀=0.18γ₀+4→0.42γ₀=4→γ₀=4/0.42≈9.5238。则γ₁=0.75×9.5238≈7.1429。当k=2时，根据递推关系γ₂=φ₁γ₁+φ₂γ₀=0.6×7.1429+0.2×9.5238≈4.2857+1.9048≈6.1905。解答（2）：AR(p)模型的PACF在k=p处截尾，k>p时PACF为0。对于AR(2)模型，PACFφₖₖ在k=1,2时非零，k≥3时φₖₖ=0。PACF的计算可通过Yule-Walker方程：对于k=1，φ₁₁=ρ₁=γ₁/γ₀≈7.1429/9.5238≈0.75；对于k=2，由Yule-Walker方程组：ρ₁=φ₂₁ρ₀+φ₂₂ρ₁ρ₂=φ₂₁ρ₁+φ₂₂ρ₀其中ρ₀=1，ρ₁=0.75，ρ₂=γ₂/γ₀≈6.1905/9.5238≈0.65。代入得：0.75=φ₂₁×1+φ₂₂×0.750.65=φ₂₁×0.75+φ₂₂×1解方程组：第一式得φ₂₁=0.750.75φ₂₂，代入第二式：0.65=0.75(0.750.75φ₂₂)+φ₂₂=0.56250.5625φ₂₂+φ₂₂=0.5625+0.4375φ₂₂解得0.4375φ₂₂=0.65-0.5625=0.0875→φ₂₂=0.0875/0.4375=0.2，即PACF在k=2处为0.2（非零）。对于k=3，PACFφ₃₃=0（因AR(2)模型PACF在k=2后截尾），验证了PACF的截尾性。习题2：某月度销售额序列{Yₜ}（t=1,2,…,120）的样本自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）如下表所示（滞后k=1到6）：滞后k123456ACF0.780.530.320.150.080.03PACF0.780.05-0.020.01-0.010.00（1）判断该序列的平稳性；（2）识别其适用的ARMA模型类型，并说明依据。解答（1）：平稳时间序列的均值、方差不随时间变化，自协方差仅与滞后阶数有关。样本ACF的衰减速度可辅助判断平稳性：若ACF随滞后k增加快速衰减至0，通常为平稳序列；若缓慢衰减或呈现周期性，则可能非平稳。本题中，ACF在k=1时为0.78（较高），但k=2降至0.53，k=3降至0.32，k=4后接近0（k=6时仅0.03），呈现指数衰减趋势，符合平稳AR(p)模型的ACF特征（拖尾但快速衰减）。结合PACF在k=1后几乎为0（k≥2时PACF绝对值均小于0.05，可视为不显著），初步判断序列平稳。解答（2）：ARMA模型识别的核心依据是ACF和PACF的截尾/拖尾特性：AR(p)模型：PACF在k=p处截尾（k>p时PACF≈0），ACF拖尾；MA(q)模型：ACF在k=q处截尾，PACF拖尾；ARMA(p,q)模型：ACF和PACF均拖尾。本题中，PACF在k=1处显著（0.78），k≥2时PACF绝对值均小于0.05（通常以2/√n为临界值，n=120时临界值≈0.18，此处k≥2的PACF远小于临界值），可认为PACF在k=1处截尾；ACF则呈现拖尾（k=1到6逐渐衰减但未突然截尾）。因此，该序列符合AR(1)模型的特征（PACF截尾于k=1，ACF拖尾）。习题3：设MA(2)模型为Xₜ=εₜ+θ₁εₜ₋₁+θ₂εₜ₋₂，其中εₜ~WN(0,σ²)，θ₁=0.5，θ₂=-0.3，σ²=2。（1）计算该模型的自协方差函数γ₀、γ₁、γ₂；（2）推导其自相关函数（ACF）ρ₁、ρ₂、ρ₃。解答（1）：MA(q)模型的自协方差函数定义为γₖ=E[XₜXₜ₊ₖ]。对于MA(2)模型，k>2时γₖ=0，k≤2时：k=0：γ₀=E[(εₜ+θ₁εₜ₋₁+θ₂εₜ₋₂)²]=E[εₜ²]+θ₁²E[εₜ₋₁²]+θ₂²E[εₜ₋₂²]+2θ₁E[εₜεₜ₋₁]+2θ₂E[εₜεₜ₋₂]+2θ₁θ₂E[εₜ₋₁εₜ₋₂]因εₜ为白噪声，E[εₜεₜ₋ₖ]=0（k≠0），故γ₀=σ²(1+θ₁²+θ₂²)=2×(1+0.25+0.09)=2×1.34=2.68。k=1：γ₁=E[(εₜ+θ₁εₜ₋₁+θ₂εₜ₋₂)(εₜ₊₁+θ₁εₜ+θ₂εₜ₋₁)]展开后，仅εₜ与θ₁εₜ、εₜ₋₁与εₜ₊₁（不相关）、εₜ₋₁与θ₁εₜ（不相关）等项中，非零项为θ₁E[εₜ²]+θ₁θ₂E[εₜ₋₁²]（因εₜ₊₁与εₜ₋₁不相关）。具体：=E[εₜθ₁εₜ]+E[θ₁εₜ₋₁θ₂εₜ₋₁]=θ₁σ²+θ₁θ₂σ²=σ²θ₁(1+θ₂)代入θ₁=0.5，θ₂=-0.3，σ²=2，得γ₁=2×0.5×(10.3)=2×0.5×0.7=0.7。k=2：γ₂=E[(εₜ+θ₁εₜ₋₁+θ₂εₜ₋₂)(εₜ₊₂+θ₁εₜ₊₁+θ₂εₜ)]非零项仅εₜ₋₂与θ₂εₜ，即θ₂E[εₜ₋₂εₜ]=θ₂σ²（因εₜ₋₂与εₜ独立？不，εₜ₊₂中的εₜ是εₜ，而Xₜ中的εₜ₋₂与Xₜ₊₂中的θ₂εₜ的乘积为θ₂εₜ₋₂εₜ，当k=2时，t+2t=2，故Xₜ₊₂中的εₜ对应Xₜ中的εₜ₋₂的滞后为2，因此E[εₜ₋₂εₜ]=0（白噪声）。正确推导应为：Xₜ₊₂=εₜ₊₂+θ₁εₜ₊₁+θ₂εₜ，Xₜ=εₜ+θ₁εₜ₋₁+θ₂εₜ₋₂，两者乘积的期望中，仅εₜ与θ₂εₜ相关，即E[εₜ×θ₂εₜ]=θ₂σ²，其他项因滞后超过2不相关。故γ₂=θ₂σ²=-0.3×2=-0.6。解答（2）：ACFρₖ=γₖ/γ₀。ρ₁=γ₁/γ₀=0.7/2.68≈0.261；ρ₂=γ₂/γ₀=-0.6/2.68≈-0.224；ρ₃=γ₃/γ₀=0（因MA(2)模型k>2时γₖ=0）。习题4：某股票日收益率序列经检验为平稳ARMA(1,1)模型：Xₜ=0.4Xₜ₋₁+εₜ+0.3εₜ₋₁，εₜ~WN(0,1)。已知X₁₀₀=2.5，ε₁₀₀=0.8，预测X₁₀₁和X₁₀₂的线性最小方差预测值。解答：线性最小方差预测利用模型的线性性质，未来t+h步预测值X̂ₜ(h)满足：对于ARMA(1,1)模型，Xₜ₊₁=0.4Xₜ+εₜ₊₁+0.3εₜ，当h=1时，预测X̂ₜ(1)=E[Xₜ₊₁|Xₜ,Xₜ₋₁,…]=0.4Xₜ+0.3εₜ（因E[εₜ₊₁|Fₜ]=0，Fₜ为t时刻及之前的信息）。已知t=100，X₁₀₀=2.5，ε₁₀₀=0.8，故X̂₁₀₀(1)=0.4×2.5+0.3×0.8=1+0.24=1.24。当h=2时，Xₜ₊₂=0.4Xₜ₊₁+εₜ₊₂+0.3εₜ₊₁，预测X̂ₜ(2)=E[Xₜ₊₂|Fₜ]=0.4E[Xₜ₊₁|Fₜ]+0.3E[εₜ₊₁|Fₜ]（因E[εₜ₊₂|Fₜ]=0）。其中E[Xₜ₊₁|Fₜ]=X̂ₜ(1)=1.24，E[εₜ₊₁|Fₜ]=E[Xₜ₊₁0.4Xₜ0.3εₜ|Fₜ]=X̂ₜ(1)0.4Xₜ0.3εₜ=1.240.4×2.50.3×0.8=1.2410.24=0（因模型残差εₜ₊₁在预测时不可观测，其条件期望为0）。因此X̂₁₀₀(2)=0.4×1.24+0.3×0=0.496。习题5：对某工业产值序列进行ADF检验，得到检验回归式：ΔYₜ=0.050.12Yₜ₋₁+0.2ΔYₜ₋₁+εₜ，其中ΔYₜ=Yₜ-Yₜ₋₁，样本量n=100，检验统计量t=-3.2。（1）写出ADF检验的原假设和备择假设；（2）若5%显著性水平下临