2025-2026学年北京市顺义区第二中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市顺义区第二中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.“点A在直线l上，l在平面α内”用数学符号表示为（）A.A∈l,l∈α B.A⊂l,l⊂α C.A⊂l,l∈α D.A∈l,l⊂α2.已知平面向量，且，则x的值为（）A.±2 B.-2 C.0 D.23.在△ABC中，，则b=（）A. B. C.4 D.64.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则=（）A. B. C. D.5.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B.若m∥n,n⊂α，则m∥α

C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m,则n⊥α D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n,则α⊥β6.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则•等于（）A.- B.- C. D.7.在△ABC中，“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”成立的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.在△ABC中，，设，则λ+μ=（）A. B. C. D.19.海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里10.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1，CC1形成的几何体ABC-A1B1C1（图2）中，AB=AC≈8米，∠BAC≈144°，则平面A1B1C1与平面ABC所成角的正切值约为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在△ABC中，，则B=

.12.已知向量，则向量=

，向量夹角的大小为

.13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为4，高为6，圆锥的高为3，则这个木质工艺品的体积为

；表面积为

.

14.如图，已知正方形ABCD边长为4，E为线段CD的中点，若F为线段BE上的动点，G为DF的中点，则的最小值为

.

15.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1内的动点，且A1F∥平面AD1E，有以下四个说法：

①A1F可能与B1E相交；

②A1F与BE是异面直线；

③A1F与D1E不可能平行

④三棱锥F-AC1D的体积为定值；

其中，所有正确说法的序号是

.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知，与的夹角为.

（1）求；

（2）求；

（3）当k为何值时，？17.(本小题13分)

在△ABC中，a2+c2-b2=ac.

（1）求∠B；

（2）若，求边b.18.(本小题14分)

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，四边形ABB1A1为正方形.

（I）求证：A1C∥平面AB1D；

（Ⅱ）若△ABC为等边三角形，BC=4，

（i）直接写出直三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

（ii）直接写出异面直线AD与A1C所成角的余弦值.19.(本小题15分)

在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC.

（1）求∠B；

（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.

条件①：a=8，b=5；

条件②：；

条件③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.(本小题15分)

如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，平面PBA⊥平面ABCD，M是线段PQ上的一点，且DM∥平面ACP.求证：

（1）平面ADQ∥平面BCP；

（2）M是线段PQ的中点；

（3）PB⊥平面ABCD.21.(本小题15分)

已知为n维向量，若-1＜xi＜1，i=1，2，…，n,则称为可聚向量.对于可聚向量实施变换T：把的某两个坐标xi，xj（i≠j）删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个n-1维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换T，得到新向量，如此经过k次变换后得到的向量记为.特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数.若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数.

（1）设，直接写出的所有可能结果；

（2）求证：对于任意一个n（n≥2）维可聚向量，变换T总可以进行n-1次；

（3）设，求的聚数的所有可能结果.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】或

12.【答案】5

13.【答案】80π84π

14.【答案】

15.【答案】①②④

16.【答案】

17.【答案】

18.【答案】（I）证明：如图，连接A1B∩B1A=E，连接DE，

因为四边形ABB1A1为正方形，

所以E为A1B中点，又D是BC的中点，

所以A1C∥ED，又A1C⊄平面AB1D，ED⊂平面AB1D，

所以A1C∥平面AB1D；

（Ⅱ）（i）；（ii）．

19.【答案】

选择条件①，则△ABC不存在；选择②或③，则△ABC的面积为

20.【答案】∵AD∥BC，

且AD⊄平面BCP，BC⊂平面BCP，可得AD∥平面BCP，

又∵DBPQ为平行四边形，则DQ∥PB，

且DQ⊄平面BCP，PB⊂平面BCP，可得DQ∥平面BCP，

且AD∩DQ=D，AD，DQ⊂平面ADQ，

∴平面ADQ∥平面BCP

设AC∩BD=O，连接PO，

∵DM∥平面ACP，DM⊂平面DBPQ，平面ACP∩平面DBPQ=PO，∴DM∥PO，

在平行四边形DBPQ中，BD=PQ，

又∵DO∥PM，则DOPM为平行四边形，则DO=PM，

且O为BD中点，则，

即，

∴M是线段PQ的中点

∵AB⊥BC，AC⊥BD，

且平面PBA⊥平面ABCD，平面PBA∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面PBA，∵PB⊂平面PBA，∴BC⊥PB，

又∵平面DBPQ⊥平面ABCD，平面DBPQ∩平面ABCD=BD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥平面DBPQ，由PB⊂平面DBPQ，∴AC⊥PB，

且BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABCD，

∴PB⊥平面ABCD

21.【答案】或或

设-1＜xi＜1，-1＜xj＜1，则0＜1+xixj＜2，1+xi＞0，1+xj＞0，1-xi＞0，1-xj＞0，

xi+xj+1+xixj=（1+xi