2025-2026学年福建省莆田一中高一（下）期中数学复习试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省莆田一中高一（下）期中数学复习试卷（一）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.2.在基底{，}下，向量=4-3，则在下列图中，能正确表示c的是（）A. B.

C. D.3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，且b=6，则△ABC的外接圆半径为（）A.6 B.5 C.4 D.34.矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）.已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC=6米，AB=3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP=（）A.m B.m C.m D.m5.如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，M，N分别为AE，DF的中点，将△ADE，△BDF，△CEF分别沿DE，DF，EF折起，使得A，B，C三点重合，此时MN=（）A.

B.

C.

D.6.如图所示，在边长为4的正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）A.（-8，16+8）

B.（-16，16+8）

C.（-8，16）

D.（-16，16）7.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形ABCD的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥P-ABCD的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（）A.2π B.3π C. D.8.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则A′到平面EFD的距离为（）A.1 B. C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列关于复数z的四个命题，真命题的为（）A.若∈R，则z∈R B.若z2∈R，则z∈R

C.若|z-i|=1，则|z|的最大值为2 D.若z3-1=0，则z=110.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，BC1和B1C相交于点O，M为AB的中点，正方体其余各面的中心分别为E，F，G，H，I，下面结论中正确的是（）A.DO⊥BC1

B.DB1与CM所成角的正弦值为

C.平面DMO截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形

D.多面体EFGHIO的内切球半径为

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c=4，，则下列说法正确的是（）A.bcosA+acosB=4

B.若b=7，则符合条件的三角形有两个

C.a2+b2的最大值为32

D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为

.

13.已知关于x的方程x2+4x+a=0（a∈R）的两根在复平面xOy上对应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a=

.14.如图在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，点E在线段BC上满足，若，则λμ=

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且a2+c2-ac=b2.

（1）求角B的大小.

（2）若c=3，a=2，D是AC边的中点，E为边AB上一点，且CE⊥AB，CE与BD交于点F.

（i）求BD的长度；

（ii）求cos∠CFD.16.(本小题15分)

如图，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，.

（1）若，试确定点P在线段DC上的位置；

（2）若，当λ为何值时，最小？17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=4，，，点E，F分别为棱BC，A1B的中点.

（1）证明：直线EF∥平面AA1C1C；

（2）求异面直线EF与B1C1所成的角的大小.18.(本小题17分)

如图，在圆柱OO1中，AC，A1C1分别为圆O，圆O1的直径，AA1，BB1，CC1为圆柱的母线.

（1）求证：平面A1OB∥平面O1B1C；

（2）若圆O的半径为2，∠BAC=30°，A1A=AB，点P为A1B的中点，求三棱锥P-O1B1C的体积.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形.

（1）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面PAB；

（2）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若四棱锥P-ABCD是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积；

（3）若四棱锥P-ABCD是阳马，且PD=CD，点E可能为PA，PB，PC的中点，试确定点E位置使得四面体E-BCD为鳖臑，并证明.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】；

（i）；（ii）．

16.【答案】解：（1）过C作CF∥AB交AD于F，如图所示：

因为，所以DA∥BC，DA=2BC，

则四边形ABCF是平行四边形，故DA=2BC=2AF，即F是AD的中点，

所以，

因为，所以，

所以，

又因为，

所以，解得，

所以P在线段DC上靠近D点的四等分点处；

（2）因为，所以，

所以，

因为，，=4，

所以，

所以当，即时，取得最小值．

所以的最小值为，此时．

17.【答案】（1）证明：连接A1C，

由已知条件，点E，F分别为棱BC，A1B的中点，

故有EF∥A1C，

又EF⊄平面AA1C1C，A1C⊂平面AA1C1C，

所以直线EF∥平面AA1C1C；

（2）解：由（1）可知EF∥A1C，BC∥B1C1，

故∠BCA1或其补角为异面直线EF与B1C1所成的角．

因为AB⊥AC，AB=4，，AA1=4，

所以BC===8，

根据直三棱柱性质可知，AA1⊥AB，AA1⊥AC，

所以BA1===4，CA1===12，

在△A1CB中，由余弦定理得cos∠BCA1===，

又∠BCA1∈（0，π），故，

即异面直线EF与B1C1所成的角的大小为．

18.【答案】证明：如图所示，连接OO1，由四边形OO1B1B为矩形，∴OB∥O1B1，

∵O1B1⊂平面O1B1C，OB⊄平面O1B1C，

∴OB∥平面O1B1C，

又∵四边形OCO1A1为平行四边形，

∴A1O∥O1C，

∵O1C⊂平面O1B1C，A1O⊄平面O1B1C，

∴A1O∥平面O1B1C，

∵OB∩A1O=O，且OB，A1O⊂平面A1OB，

∴平面A1OB∥平面O1B1C

2

19.【答案】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，

且BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PDB，所以AC⊥平面PDB；设AC与BD相交于点F，连接EF，

又由AC⊥平面PDB，EF⊂平面PBD，

所以AC⊥EF，S△ACE=AC•EF；当△AEC面积最小时，EF最小，则EF⊥PB，

S△ACE=9，×6×EF=9，解得：EF=3；由PB⊥EF且PB⊥AC，EF∩AC=F，EF、AC⊂平面AEC，

则PB⊥平面AEC，又EC⊂平面AEC，则PB⊥EC；又由EF=AF=FC=3，则EC⊥AE，而PB∩AE=E，

PB、AE⊂平面PAB，故EC⊥平面PAB

50π

点E是PC的中点，

证明：因为PD=CD，所以DE⊥PC，

又因为PD⊥底面ABCD，BC