2025-2026学年河南省南阳市方城第一高级中学卓越班高二（下）期中数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省南阳市方城第一高级中学卓越班高二（下）期中数学模拟试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）=-2，则的值为（）A.-2 B.-1 C.2 D.42.已知函数f（x）=（x+a）2（x+1）在x=1处有极小值，则a=（）A.-1 B.-5 C.-1或-5 D.-1或53.已知等比数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若，则a7=（）A.1或2 B.1或4 C.2或4 D.44.已知数列{an}的首项a1=1，且满足，则数列{an}（）A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减5.设数列{an}满足，则{an}的前2026项和为（）A.32026-1 B.32026 C.32027-1 D.320276.记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（2）=1，且∀x∈R，f′（x）＜f（x），若关于x的不等式f（ax+1）＜eax-1在x∈[1，2]上有解，则a的取值范围为（）A.（-∞，1） B. C.（1，+∞） D.7.若经过点（0，-2）的直线l既与曲线y=lnx相切，也与曲线y=ex-a（a∈R）相切，则a=（）A. B.1 C.2 D.e8.已知函数，若不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=9，3an=an+1+2an-1+10（n≥2），设bn=an+1-an，则（）A.a3=15 B.数列{bn-10}为等比数列

C. D.Sn的最大值为5310.如图是璃典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，记第n个图形的边数为an，第n个图形的周长为bn，则（）A.a3=48

B.a6=1024

C.数列{log3bn}是等差数列

D.若对任意n∈N*恒成立，则11.已知函数f（x）=ex-ax2，其中a∈R，则（）A.若函数f（x）有且仅有1个零点，则

B.若函数f（x）有且仅有2个极值点，则a的取值范围是

C.不存在a∈R，使函数f（x）存在唯一的极值点

D.若对∀x＞0，f（x）≥0恒成立，则三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则的值为

；的值为

.13.{2n+3}与{7n-1}的公共项从小到大构成新数列{an}，则的最小项为

.四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

已知函数f（x）=-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是______．15.(本小题13分)学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好.某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题：x60708090100110120130y92109114120119121121122（1）从三个函数①y=bx+a.②y=m•xk（m＞0，k＞0）.③y=cx2+dx+f中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由.（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：，，，e3.25≈25.79.16.(本小题15分)

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=3，.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn，并证明：.17.(本小题15分)

已知数列{an}中，a1=1，.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列{an•an+1}的前n项和Sn；

（3）设，且，m∈Z，求m的最大值.18.(本小题17分)

已知函数，a∈R.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a≤1时，判断函数f（x）的零点个数.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=（x-a）lnx,a∈R.

（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；

（2）当a=0时，证明：f（x）＜ex+x-1；

（3）若a＞0，b∈R，对任意的x＞0，f（x）≥b-a恒成立，求b+2a的最大值.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】-69

14.【答案】（0，）

15.【答案】解：（1）根据题意可知，x增大时，y值整体呈上升趋势但存在局部波动，选择②作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适；（2）对y=m•xk（m＞0，k＞0）两边取以e为底的对数可得lny=klnx+lnm,设u=lnx,v=lny,则，，，所以v=0.33u+3.25，故lny=0.33lnx+3.25，即，所以．

16.【答案】an=2n-1

；证明：因为，

所以，

所以，

所以

=，

所以，

因为

=，

所以Tn+1＞Tn，

所以{Tn}是单调递增数列，所以，

因为n∈N*，所以，所以．

综上：

17.【答案】由，可得=+2，

即有数列是首项为1，公差为2的等差数列

Sn=

9

18.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减

当时，函数f（x）无零点；当或0≤a≤1时，函数f（x）的零点个数为1；当时，函数f（x）的零点个数为2

19.【答案】

证明：由题意函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R，

当a=0时，只需证明xlnx＜ex+x-1，x∈（0，+∞），

当x∈（0，1）时，xlnx＜0，ex+x-1＞0，此时xlnx＜ex+x-1成立，

当x∈[1，+∞）时，令g（x）=ex+x-1-xlnx，g′（x）=ex+1-（lnx+1）=ex-lnx，

令m（x）=ex-lnx，则，

因为在区间[1，+∞）上单调递减，y=ex在区间[1，+∞）上单调递增，

所以m′（x）在区间[1，+∞）上单调递增，

因为m′（1）=e-1＞0，所以