2025-2026学年河南省新乡市新誉佳高级中学等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省新乡市新誉佳高级中学等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=（）A.（-1，2） B.[1，2） C.[1，3] D.（-1，3]2.“∃λ∈R，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若a=3，b=4，c=5，则cosA=（）A. B. C. D.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9=20，S7=28，则a11=（）A.19 B.25 C.30 D.335.有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.24 D.126.已知函数f（x）=（x2+mx+n）•ex的大致图象如图所示，则x1+x2=（）

A. B. C.1 D.7.已知点P为抛物线C：x2=8y上的动点，点Q为圆M：x2+y2-2x-8y+16=0上的动点，点F为抛物线C的焦点，则|PF|+|PQ|的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.58.已知函数，g（x）=f（x）-a,若g（x）恰有2个零点，则a的取值范围是（）A.[-2，-1]∪{-4} B.（-4，-3]∪[-2，-1]

C.（-2，-1]∪{-4} D.（-4，-3]∪（-2，-1]二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，

C.， D.，10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A.a=1

B.f（x）在R上单调递减

C.f（x）的值域为（-1，1）

D.f（x+1）+f（x-3）＞0的解集为{x|x＞1}11.已知点P是圆O：x2+y2=4上一动点，点M（-3，0），点N（0，-4），则（）A.点P到直线MN的距离的最大值为

B.满足PM⊥PN的点P有2个

C.过点N作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为y=-1

D.2|PM|+|PN|的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点（1，2）且与直线3x-y+1=0垂直的直线的方程是

.13.（1-3x）（x-2y）5的展开式中x4y2的系数为

.14.已知事件A，B相互独立，，，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，已知：

（1）求角A；

（2）若，b=2，求边c及△ABC的面积.16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.17.(本小题15分)

已知三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，，平面ACC1A1⊥平面ABC.

（1）求该棱柱的体积；

（2）求平面ABB1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值.18.(本小题17分)

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设X表示取到的豆沙粽个数.求

（1）X的分布列；

（2）X的期望与方差；

（3）求至少取到一个豆沙粽的概率.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-x2+（2-a）x.

（1）若f（x）在x=1时取极值，求a的值和f（x）的极小值；

（2）若不等式f（x）≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】x+3y-7=0

13.【答案】-120

14.【答案】

15.【答案】

c=3，

16.【答案】an=2n-1

17.【答案】解：（1）取AC的中点O，连接OB，OA1，

由题意知，△ABC是边长为2的等边三角形，​​​​​​​

所以OB⊥AC，OB=，

又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，OB⊂平面ABC，

所以OB⊥平面ACC1A1，

而OA1⊂平面ACC1A1，

所以OB⊥OA1，

因为，所以OA1==，

又OA=1，AA1=2，所以，即OA1⊥AC，

又OB∩OC=O，OB、OC⊂平面ABC，

所以OA1⊥平面ABC，

所以棱柱的体积V=S△ABC•OA1===3．

（2）由（1）知OA1⊥平面ABC，OB⊥AC，

所以OB，OC，OA1两两互相垂直，

故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，​​​​​​​

则A（0，-1，0），B（，0，0），A1（0，0，），

所以=（，1，0），=（0，1，），

设平面ABB1A1的法向量为=（x,y,z），则，

取=（1，-，1），

易知平面A1B1C1的一个法向量为=（0，0，1），

设平面ABB1A1与平面A1B1C1夹角为θ，

则cosθ=|cos＜，＞|===，

故平面ABB1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值为．

18.【答案】X0123P

，

19.【答案】解：（1）由题意可知：f（x）=ex-x2+（2-a）x,f′（x）=ex-2x+（2-a），

因为f′（1）=e-2+2-a=0，解得a=e,

则f（x）=ex-x2+（2-e）x,f′（x）=ex-2x+（2-e），

令t（x）=ex-2x+（2-e），则t′（x）=ex-2，

令t′（x）＜0，解得x＜ln2；令t′（x）＞0，解得x＞ln2；

可知t（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，

则t（x）的最小值为t（ln2），且t（ln2）＜t（1）=0，

当x趋近于-∞或+∞时，t（x）趋近于+∞，

可知t（x）在定义域R内有2个零点x0∈（-∞，ln2）和1，

当x∈（-∞，x0）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f′（x）＜0，

可知f（x）在（-∞，x0），（1，+∞）内单调递增，在（x0，1）内单调递减，

所以f（x）在x=1处取极小值，极小值为f（1）=1．

（2）解法1：由于不等式f（x）≥1对任意x≥1恒成立，

则f（1）=e+1-a≥1，解得a≤e,

下证：当a≤e时，f（x）≥1，

若a≤e,则ex-x2+（2-a）x≥ex-x2+（2-e）x,

令m（x）=ex-x2+（2-e）x,由（1）可知，m（x）在[1，+∞）上单调递增，

则m（x）≥m（1）=1，则f（x）≥m（x）≥m（1）=1，

所以a的取值范围为（-∞，e]；

解法2：令f（x）=ex-x2+（2-a）x≥1，x≥1，则，

设，x≥1，则，

设G（x）=ex-x-1，x≥1，则G′（x）=ex-1≥e-1＞0，

可知G（x）在[1，+∞）上单调递增，则G（x）≥G（1）=e-2＞0，

即g′（x）≥0，可知g（x）在[1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-2，

可得a≤e,所以a的取值范围为（-∞，e]；

解法3：因为f（x）=ex-x2+（2-a）x,x≥1，则f′（x）=ex-2x+2-a,

设n（x）=ex-2x+2-a,x≥1，则n′（x）=ex-2≥e-2＞0，

可知n（x）在[1，+∞）上单调递增，即f′（x）在[1，+∞）上单调递增，

则f′（x）≥f′（1）=e-a,且当x趋近于+∞时，f′（x）趋近于+∞，

当f′（1）＜0，即a＞e时，则f′（x）在[1，+∞）内存在零点x1，

若1≤x＜x1，则f′（x）＜0，可知f（x）在[1，x1）内单调递减，

可得f（x1）＜f（1）=，不合题意；

当f′（1）≥0，即a≤e时，则f′（x）≥0，可知f（x）在[1，+∞）上单调递增，

则f（x）≥f（1）=，符合题意；

综上所述：a的取值范围为（-∞，e]；

解法4：因为f（x）=ex-x2+（2-a）x≥1，x≥1，则，

设，

则，

当3-a≤1，即a≥2时，则h′（x）≤0，可知h（x）在[1，+∞）单调递减，

则，解得2≤a≤e；

当3-a＞1，即a＜2时，

令h′（x）＞0，解得1≤x＜3-a；令h′（x）＜0，解得