2025-2026学年浙江省衢州三中等校高二（下）期中数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省衢州三中等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设集合M={1，0，a}，N={0，a2}，且N⊆M，则实数a的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.22.已知随机变量X∼N（2，σ2），P（X＞1）=0.7，则P（X＜3）=（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.下列求导运算正确的是（）A. B.（sin3x）′=cos3x

C.（3x）′=3x D.4.，，，则（）A.c＜b＜a B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a5.如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（）A.

B.

C.

D.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，点E是A1B1的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.108种 B.96种 C.84种 D.72种8.已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设离散型随机变量X的分布列为X468P0.30.4m若Y=2X-1，则（）A.E（X）=6 B.D（X）=2.4 C.E（Y）=12 D.D（Y）=9.610.已知点M（x0，3）在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|MF|=5，则（）A. B.抛物线C的准线方程是y=-1

C.点Q在抛物线上 D.点P在C的准线上11.设函数在上的最大值为an（n=1，2，…），则（）A. B.fn（x）的极小值为

C.∀n≥2时，都有 D.fn（x）有两个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为

.13.已知复数，，a∈R，i是虚数单位，若z1+z2＜0，则|z1|=

.14.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作圆D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和P．

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求P的值；

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．16.(本小题15分)

已知数列{an}的首项，且满足.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，求{bn}的前n项和Sn.17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1B=C1C，AB⊥AC，AB=AC=6，D是BC的中点，C1A=C1D=3

（1）求C1到平面ABC的距离；

（2）求平面ABB1A1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值.18.(本小题17分)

已知过点的椭圆的离心率为.

（1）求C的方程；

（2）如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且AB⊥CD，点P为直线AD与BC的交点.

（i）求四边形ACBD面积的最大值.

（ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求△PMN面积的最大值.19.(本小题17分)

若对∀x1，x2∈D且x1＜x2，函数f（x），g（x）满足：|f（x1）-f（x2）|≥m|g（x1）-g（x2）|（m＞0），则称函数f（x）是函数g（x）在区间D上的m级控制函数.

（1）判断函数f（x）=x是否是函数g（x）=x2在区间上的1级控制函数，并说明理由；

（2）若函数f（x）=lnx是函数g（x）=x在区间[1，2]上的m级控制函数，求实数m的取值范围；

（3）若函数f（x）是函数g（x）=lnx-x在区间（0，+∞）上的m级控制函数，且函数f（x）在区间（0，+∞）上存在两个零点a,b,求证：a+b＞2.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】AD

11.【答案】AC

12.【答案】81

13.【答案】

14.【答案】或

15.【答案】解：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，

则1-P（）=1-=，

解得p=．

（2）ξ的可能取值为0，1，2，3

P（ξ=0）==，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）==．

∴ξ的分布列为：

ξ

0

12

3

P

Eξ==．

16.【答案】

17.【答案】

18.【答案】

（i）2；（ii）

19.【答案】是，理由如下：

函数f（x）=x是函数g（x）=x2在区间上的1级控制函数．

由题意可知，

∵，

∴0≤|x1+x2|≤1，

∴1-|x1+x2|≥0，

∵|x1-x2|＞0，

∴|x1-x2|•（1-|x1+x2|）≥0，

∴，即|f（x1）-f（x2）|≥|g（x1）-g（x2）|成立，

∴函数f（x）=x是函数g（x）=x2在区间上的1级控制函数

证明：因为函数f（x）在区间（0，+∞）上存在两个零点a，b，

所以我们不妨设a＜b，且f（a）=f（b）=0，

因为函数f（x）是函数g（x）=lnx-x在区间（0，+∞）上的m级控制函数，

所以|f（a）-f（b）|≥m|g（a）-g（b）|，即0≥m|g（