2026学年八年级数学北师大版下册期末测试卷（含答案）

2026学年八年级数学下册期末测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列说法不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）A． B．C． D．4．下列说法正确的是（

）A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数5．如图，是∆ABC的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（

）A． B．1 C． D．26．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（

）A． B． C． D．7．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（）A．且 B．且C． D．8．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(

)A．关于的方程的解是B．关于的不等式的解集是C．当时，函数的值比函数的值大D．关于，的方程组的解是9．如图，在∆ABC中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（

）个（1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．12．因式分解：____．13．如图，在∆ABC中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___．14．在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______15．关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______．16．如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．18．先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值．19．如图，已知在中，是的角平分线，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的度数．20．如图，在平面直角坐标系中，已知∆ABC三个顶点的坐标分别是．(1)将∆ABC向下平移6个单位长度得到，请画出；(2)画出关于原点O成中心对称的；(3)若将∆ABC绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是．21．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______；(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．22．随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．23．定义运算：．已知，．(1)直接写出：，；(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；(3)若的解集为，求不等式：的解集．24．（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．25．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．【初步尝试】（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；【深入探究】（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，①猜想与的数量关系，并说明理由；②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．参考答案一、选择题1．BA、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意．2．C解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，∴若，则，选项A正确；∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，∴若，则，选项B正确；∵当时，，此时，不满足，∴选项C的说法不正确；∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，∴若，则，选项D正确；故选：C．3．B解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式，∴A选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解；B选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解；C选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解；D选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解．4．D解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误；对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误；对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误；对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确．故选：D．5．B解：∵是的中位线，，，∴，，；∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；故选：B．6．B解：正十二边形的每个内角为，∴，正六边形的每个内角为，∴，∴，故选：B．7．B∵原方程为，将方程变形为，两边同乘去分母得：，整理求解得：，∵方程的解为正数，且分式分母不能为0，∴，且，解第一个不等式得：，解第二个不等式得：，∴且．8．B解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：B．9．C解：连接，，由作法得，，垂直平分，，故①正确；，，，由作法得平分，，，，在中，，，，故②正确；在中，，，，，，，，，，故③错误；，

，，垂直平分线段，故④正确．故正确的个数有3个．10．C解：根据图形和图象，得当时，，故；点P从点B运动到点D，行走路程为，；当点P运动到点D时，，此时；故平行四边形的周长为；当时，，此时点P为的中点，故的面积与的面积相等，且为的面积的一半，过点B作于点H，∵，∴，故，故的面积为，故的面积为24；故（1）（2）（3）正确；（4）错误；故选：C．二、填空题11．解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得解得．12．解：．13．3解：如图所示，取的中点，连接，∵为的中点，点为的中点，，∴，，，∵，直线与直线重合，∴直线与直线重合，∵，，∴，，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，∴，故答案为：．14．解：因为点在一次函数的图像上，设点的坐标为，则点旋转后的对应点的坐标为，因为点在一次函数的图像上，所以，解得将代入点的纵坐标表达式，得，故点的坐标为．15．解：解不等式，得，解不等式，得，∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，∴，解得，将关于y的分式方程的两边都乘以得，，解得，∵关于y的分式方程的解为整数，∴或或，解得或或或或或，又∵分式方程的增根是，∴，即，解得，又∵，∴符合条件的整数a的和为．16．或或解：当时，顶角为；当时，，顶角为；当时，在边上，，顶角；当时，在边上，顶角为；综上所述：顶角为：或或；故答案为：或或．三、解答题17．解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，∴表示在数轴上为：18．解：，当或时，原分式没有意义；当时，原式；当时，原式．19．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，又∵是的角平分线，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可知，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．20．（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：如图，连接，交点即为旋转中心点M，由图可知，点M的坐标为．故答案为：．21．（1）解：；故答案为：．（2）第个等式：，证明如下：等式左边等式右边，故等式成立．故答案为：．22．（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元，根据题意，得，解得：，经检验，是所列分式方程的解，（元）．答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元．（2）解：根据题意，得：，解得：，A款电热毯的售价为（元），B款电热毯的售价为（元），则，∵，∴W随a的增大而增大，∵且x为正整数，∴当时，W的值最大，．答：最大利润为1998元．23．（1）解：把，代入，得：，解得：；故答案为：，；（2）根据题意得；解得：∵关于的不等式组无解，∴；（3）根据题意得，整理得：，此不等式解集为，，且，整理得：，所求不等式化简得：，即，把代入得：，解得：，∴解得：．24．解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，又∵，，∴，∴，，∴，∴；∴，；故答案为：，；（2），证明如下：如图所示，连接，∵，，∴，∵，∴，即，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴；∵，∴，∴；（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，∴，，∴，，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴．25．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下，∵四边形是平行四边形，