安徽蚌埠禹王学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（4卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽蚌埠禹王学校等校2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（4卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数在复平面内对应点的坐标为（

）A. B. C. D.2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（

）．A. B. C. D.3.下列说法中正确的个数是（）棱柱的所有面都是四边形;一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面;过圆锥侧面上任意一点有无数条母线;水平放置的三角形用斜二测画法画出的直观图一定是三角形.A.1 B.2 C.3 D.44.已知a∈R，则“a＝0”是“复数z＝a2+a+(a2-1)i为纯虚数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.一物体在力的作用下,由点移动到点.已知力=(3,4),则力​​​​​​​对该物体所做的功为（）A. B. C. D.6.如图，在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则AB＝

A. B. C. D.7.在中,边上的中线为,的中点为,过点的一条直线与,分别交于点,.若,,则（）A. B. C. D.8.已知棱长为1的正四面体ABCD的中心为O，若球O的球面与正四面体ABCD的棱有公共点，则球O的半径的取值范围为A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，，则

C.若，则 D.10.在长方体中，，，，E为棱上一点，则（

）A.该长方体是一个正四棱柱

B.长方体的外接球的表面积为

C.四棱锥的体积为24

D.的最小值为11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P在△ABC内，且满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，称点P为△ABC的布洛卡点，角α为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是A.sin∠APB＝sin∠ABC

B.若△ABC为等边三角形，则其布洛卡角

C.若PA＝λPB，则b2＝λac

D.若a+c＝2，PA＝3PB，则cos∠ABC的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数满足，则

.13.如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是

．

14.已知P是的重心，若，则的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量，．(1)求向量与的夹角的余弦值；(2)当k为何值时，与垂直？16.(本小题15分)在中，角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，，，，求．17.(本小题15分)

如图,正方体ABCD-的棱长为a,E,F分别是棱AB,AD的中点,截面EF将该正方体分成两部分,这两部分的体积分别为,,且>.

​​​​​​​(Ⅰ)求,;(Ⅱ)求点A到平面EF的距离.18.(本小题17分)在中，角的对边分别为，.（1）求.（2）已知平分且交于点.（ⅰ）若，求；（ⅱ）求周长的最小值.19.(本小题17分)Ⅰ某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球现有两种设计方案，一种是正方体礼盒如图，另一种是圆柱形礼盒如图，在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠

Ⅱ设某长方体礼盒的长、宽、高分别为，，．(ⅰ)若用十字捆扎法如图，且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度不考虑接口处的彩带长度(ⅱ)若用对角捆扎法如图，且，不考虑接口处的彩带，结合(ⅰ)，比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米结果保留到整数参考数据：，．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）因为，，所以，，设与的夹角为，则．（2）因为，，所以，因为与垂直，所以，即，解得．

16.【答案】解：（1）因为，所以，所以，由正弦定理得，则，因为，所以，所以，又因为，所以，即，因为，所以．（2）因为，所以点在直线上．因为，所以，即为边上的高．由余弦定理可得，所以．由等面积法可得，即，解得．

17.【答案】解：(I)截面EF将正方体分成两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥-AEF,其底面AEF是腰长为a的等腰直角三角形,面积为S=AEAF=，又底面AEF上的高为h==a,所以三棱锥-AEF的体积=Sh=a=.因为正方体ABCD-的体积V=,所以剩余部分的体积=V-=-=.

(Ⅱ)在EF中,F=E=a,EF=a,

如图,取EF的中点H,连接H,则HEF,EH=EF=a,

所以H==​​​​​​​=a,

EF的面积=EFH=aa=.

设点A到平面EF的距离为d,因为三棱锥-AEF与三棱锥A-EF是同一个几何体,

所以=,结合(I),得=d,

即=d,解得d=,所以点A到平面EF的距离为.

18.【答案】解：(1)因为=,所以=,即+-=-bc,

所以A==-,因为A(0,),所以A=;

(2)(i)因为B=2C,由正弦定理得:b=2c，

因为AD平分BAC，

所以BAD=CAD=，

因为=+,

所以bc=cAD+bAD,

将AD=2,b=2c代入上式得=3c,解得c=3,b=2c=6,

由余弦定理得=+-2bcA=+-263=63,解得a=3；

(ii)由=+，

得bc=cAD+b​​​​​​​AD，

将AD=2代入上式得bc=b+c,即bc=2b+2c,即+=，

则b+c=2(b+c)(+)=2(2++)2(2+2​​​​​​​)=8，

​​​​​​​当且仅当b=c时,等号成立,则b+c的最小值为8，

​​​​​​​由余弦定理得=+-2bcA

=++bc=-bc=-2(b+c),

令t=b+c,则=-2t=-1,

因为t8,当t=8时,的最小值为-1=48，

则a的最小值为4,

​​​​​​​所以ABC周长的最小值为a+b+c=4+8.

19.【答案】解：（Ⅰ）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，则圆柱形礼盒的