山东省济南市2025-2026学年下学期九年级中考考前最后一卷数学试卷（含答案）

2026年中考考前最后一卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（

）个．

A．3 B．4 C．5 D．62．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．有一几何体如图所示，则它的俯视图是（

）4．郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长13.1%，持续领跑全省！其中1295亿用科学记数法可表示为（

）A.12.95×1010 C.1.295×1011 5.下列等式，其中正确的个数是（

）①(−2x2y3)3A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（

）

A.13 B.1C.23 D.7.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为（

）A.{B.{C.{D.{8.已知反比例函数y=kx，若当1≤A.8B.8或−8C.2D.2或−29.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，以点A为圆心，AC的长为半径作CE⏜，再以点D为圆心，CD的长为半径作CE⏜，若AB=1A.5π6 C.23−π10.如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x−12

A.小球落地点距O点水平距离为7米B.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C.当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为D.小球距斜坡的最大铅直高度为49第II卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.当x≠

时，分式312.如图，已知A，B两点的坐标分别为A(−3,1)，B(−1,3)，将线段AB平移得到线段CD。若点A的对应点是C(1,2)，则点B的对应点D13.已知关于x的一元二次方程(m−2)2x14.如图，已知B1(1,y1)，B2(2,y2)，作等腰△A₁B₁A₂面积为S1，等腰△A₂B₂A₃面积为S2，等腰△A₃B₃A₄面积为S3……，则S15.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点P为CD上一个动点，以AP为对称轴折叠∆DAP得到∆QAP，点D的对应点为点Q，直线PQ交AB于点M，若AD=3，AB=5，当点P与点C重合时，BM的长为

，当三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（8分）（1）计算：22（2）先化简，再求值：2x2+217.（8分）如图，∆ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点．延长BC（1）求∠ABC（2）求证：BE=（3）若AB=2，求∆18．（8分）物理学研究表明，某种金属导体的电阻y（单位：Ω）是其温度x（单位：∘C）的一次函数．当温度为2°C时，该金属导体的电阻是11Ω；当温度为10°C时，该金属导体的电阻是（1）求该金属导体的电阻y与其温度x之间的函数关系式；（2）当该金属导体的电阻为18Ω19．（10分）【项目背景】苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块苹果园．在苹果收获的季节，某班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对这两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从这两块苹果园采摘的苹果中，各随机选取相同个数的苹果．在技术人员的指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别ABCDEx3.5≤4.5≤5.5≤6.5≤7.5≤整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：甲苹果园样本直径频数直方图乙苹果园样本直径频数直方图根据上面图表，请解答下列问题．（1）求乙苹果园图中m的值．（2）求甲苹果园样本直径的平均数．（每组数取组中值，例如3.5≤x<4.5取4，（3）求甲苹果园样本直径的方差.（每组数取组中值来计算）（4）已知乙苹果园样本直径的平均数为5.95cm，乙苹果园样本直径的方差为1.347520.（10分）如图，在∆ABC中，以AB为直径的⊙O经过BC的中点E，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交（1）求证：PE是⊙O（2）若PB=1，PE=3，求21.（9分）注意用车安全素材一图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知AB=1m，BC=150613m，连结AC，∠BAC=20°，该车的高度AO=1.7m素材二挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员.使其不能再继续倒车.防止发生意外.对于保障停车场安全管理起到了重要的作用.当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图1所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器，MN=8cm，RS=10cm，素材三如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚HG与地面IE平行，支撑杆FE与地面IE垂直，∠GFE=143°．EF=1.8每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）．提示：①轮胎所在圆与地面l始终相切；②参考数据：tan37°≈0.75．sin20°≈0.34．任务一求【素材一】中AC的长．任务二与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为105任务三将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在什么位置，即ES的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？22.（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+（1）求这条抛物线所对应的函数表达式。（2）当−12≤（3）当−2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k（4）已知A、B两点均在抛物线y=x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2。将抛物线上A、B两点之间（含A、23.（11分）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠D=90°，点E在AC上，且∠ABE=∠ACB。过点E作EF⊥AC，垂足为E（I）求证：∆ABC（II）求证：AB（2）如图②，已知线段MN和直线l，P是直线l上一个动点，点Q在线段PN上，且MN2=NP·NQ。设线段MN的长为a，点（I）当点P在直线l上运动时，点Q的运动路线是____。A.直线 B.弧 C.线段（II）若a=10，h=12.5，点M到l的距离为4.5，则2026年中考考前最后一卷数学·参考答案第I卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）题号12345678910答案DBBCBCABBC第II卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．2  12．(3,4) 13．m>34且m≠2三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）解：（1）2=22=22（2）2==2==2当x=3时，原式=17．（8分）（1）解：∵BE⊥AC于E，E∴AB∵AB∴AB∴∆ABC是等边三角形，∴∠ABC（2）证明：∵CF∴∠F∵∆ABC∴∠ABC∴∠F∵∆ABC是等边三角形，BE∴∠EBC∴∠F∴BE（3）解：过E点作EG⊥∵AC=BC=2，点∴CE∵BE⊥AC，∠∴BE在∆BEC中S∴EG∴S18.（8分）（1）解：设y=把x=2，y=11；x=10，y{2解得k=12，b∴函数关系式为y=（2）解：将y=18代入y=1解得x=16∴当该金属导体的电阻为18Ω时，其温度是16°19．（10分）（1）解：由题意得，甲、乙样本总数=15+50+70+50+15=200，∴m=200−(70+40+25+15)=50（2）解：1200∴甲园样本数据的平均数为6cm（3）解：甲园样本数据的方差=1（4）解：甲园的苹果品质更优，理由如下：甲苹果园样本直径的平均数为6cm，甲苹果园样本直径的方差为1.1乙苹果园样本直径的平均数为5.95cm，乙苹果园样本直径的方差为1.34756cm>5.95cm由平均数和方差可得：甲苹果园的苹果质量更好．（10分）20．（10分）（1）解：连接OE，如图所示：∵点E是BC的中点，点O是BA的中点，∴EO是∆ABC∴EO∥AC，∴∠A∵ED⊥AC，∴∠A∴∠EOP即∠PEO∵OE是半径，∴PE是⊙O（2）解：设OE为r，由（1）得∠PEO∵PB=1，PE则PO=在Rt∆POE中，则则(r解得r=4∴PO∵OE⊥PD∴AC∴PEED∴3解得：ED=2.421.（9分）任务一：如图所示，过点B作BD⊥AC交AC于点∵AB=1m∴sin∠BAD=解得BD=0.34∴cos∠BAD=解得AD∵∴∴AC任务二：如图所示，设轮胎的圆心为H，过点M作ME⊥RS，过点N作NF⊥RS，过点∴四边形GOEM是矩形，∵挡车器高10cm，轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为10∴GO=ME∴设⊙H的半径HO=∴在Rt∆HGM∴(解得r∴该越野车的轮胎所在圆的半径是30cm任务三：由素材一知，AO=1.7m，AB=1∵当后备箱打开到最大时，AB'与水平面夹角∠在Rt∆B'∴B∴B'D如图2中，作LF∥EI，∵∠GFE=143°，EF=1.8∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则GL+∴GL∵∠GFE∴∠GFL∴∠LGF又tan37°≈0.75∴tan∴LF=0.5745m，即ES22.（11分）（1）由题意，得{−b2∴抛物线所对应的函数表达式为y=（2）∵−12≤∴当x=2时，y当x=−12当x=72∴当−12≤x≤（3）把y=7代入y=x解得x1=6，x2∴当−2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k故答案为2<k（4）点A、B的坐标分别为(m,m当m≤0时，m解得：m=当0<m≤1时，解得：m1=2−2当1<m≤2时，解得：m1=2当m>2时，m解得：m=综上，m的值为2−2或223．（11分）【分析】（1）（I）利用两对角对应相等，可证明∆AEB（II）由∆AEB∼∆ABC，推出AB2（2）（I）过点N作NH⊥l于点H，在NH上截取NI，使NI·NH=MN2，再证明（II）将PMPN转化为MQMN=PMPN（1）证明：（I）∵∠ABE=∠ACB∴∆AEB（II）∵∆AEB∴AB∴A∵EF⊥AC，∴∠AEF