2025~2026学年专题7利用空间向量解决动点探究问题题型分类归纳高二数学同步人教A版

2025~2026学年专题7利用空间向量解决动点探究问题题型分类归纳高二数学同步(人教A版）一、解答题1.矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：(1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角的余弦值．2.如图，在三棱锥中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.3.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，.(1)求二面角的余弦值；(2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.4.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．(1)求二面角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)若是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指明点的位置，若不存在说明理由．二、多选题5.如图，已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（）

A．存在某个位置，使得B．存在某个位置，使得C．当平面平面时，D．当平面平面时，6.已知正三棱柱的所有棱长为2，，分别为棱，上的点，则（）

A．当为中点时，任意点到平面的距离均为1B．当为中点时，存在点到直线的距离为2C．对任意给定的点，存在点，使得D．对任意给定的点，存在点，使得三、解答题7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知：（i）求二面角的大小；（ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由．条件①：；条件②：．8.在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足.(1)证明：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.9.如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面.(1)求证：平面平面.(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.10.如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点．(1)证明：；(2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．11.如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得．(1)证明：平面平面ACD；(2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°．（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值．12.在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，．(1)求证：平面平面．(2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．13.如图，在四棱锥中，平面，是的中点．(1)求证：平面；(2)若，（i）求平面与平面夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．14.在四棱锥中，平面，是中点．(1)求证：平面；(2)若，①求平面与平面夹角的正弦值；②若在线段上存在点，使得点到平面的距离为，试求的值．15.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点.(1)求证：平面平面ABCD；(2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；(3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由.16.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)求证：三棱柱是直三棱柱(2)若，，，，是线段上一点，且试问：在线段上是否存在一点，使得、、、、五个不同的点在同一个球的表面若存在，求的长；若不存在，请说明理由．17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，.(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成的角为，求线段的长；(3)是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由.18.如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知.(1)证明：平面；(2)若，.①求点到平面的距离；②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，.(1)设钝二面角大小为a，求的值；(2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由；(3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围.20.如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，．(1)求证：；(2)若，且，，①求平面与平面所成锐二面角的大小；②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．21.如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题：(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的最大正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.22.已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点.(1)求体积的最大值；(2)若.（i）时，求外接球的表面积；（ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由.23.在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）.(1)当三棱锥体积最大时，（ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值；（ⅱ）点在线段上运动，求的最小值.(2)是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由.24.已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，．(1)求证：平面平面；(2)设，若线段上是否存在