2025~2026学年专题8利用空间向量解决最值问题讲题型分类归纳高二数学同步人教A版

2025~2026学年专题8利用空间向量解决最值问题讲题型分类归纳高二数学同步(人教A版）一、单选题1.若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（）

A．B．C．D．二、填空题2.已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.三、单选题3.若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（）

A．B．C．D．四、填空题4.已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为___________．五、单选题5.在空间直角坐标系中，过点，且以为方向向量的直线可以用方程来表示.已知，点，点，则的最小值为（）

A．B．C．D．6.在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（）

A．B．C．D．7.在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（）

A．B．C．D．六、填空题8.在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______．七、单选题9.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，是棱上的一个动点，则下列说法错误的是（）

A．平面B．点到平面的距离为定值C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．若点四点在同一平面，则点到直线的距离为10.如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（）

A．B．C．D．11.如图，在直三棱柱中，已知，，，分别在棱上，且满足平面.给出下列三个结论：①平面平面，②面积的最大值为，③平面与平面所成角的最大值为，其中所有正确结论的序号为（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③12.在长方体中，，点分别为棱和的中点，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（）

A．B．C．D．13.在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（）

A．B．C．D．八、解答题14.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.(1)求证：；(2)已知点为线段上的动点（不与重合），①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.15.平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且．(1)证明：平面平面．(2)在三棱锥中，点分别为线段的中点．（i）证明：平面．（ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．九、单选题16.在棱长为2的正方体中，点P在正方体的棱上运动，则三棱锥的体积的取值范围是（）

A．B．C．D．17.已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（）

A．B．C．D．18.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（）

A．B．C．D．19.在棱长为2的正方体中，是正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则下列结论中错误的是（）

A．B．点的轨迹长度为C．点到直线的最短距离为D．可能为锐角20.在正三棱柱中，所有棱长都为2，是侧棱上一动点，则到平面的距离之和的最大值为（）

A．B．C．D．721.已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（）

A．B．C．D．十、解答题22.在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足.(1)当时，证明：；(2)当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积；(3)动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值.十一、多选题23.在正三棱柱中，为的中点，F为中点，则（）

A．B．若P为面上一点，则的最小值为C．若P为直线中点，则A到平面的距离为D．过A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，若为直角三角形，则面积的最大值为24.在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，在空间中，，记点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（）

A．若线段的中点为，则B．曲线是一个圆C．曲线上不存在点，使得平面D．曲线上点到平面距离的最大值为25.已知正方体棱长为1，动点满足，，则下列选项正确的是（）

A．若点在平面内，则B．当，，时，点到直线的距离为C．当，时，该正方体被平面所截得的截面的最大面积是D．当，时，二面角的正弦值的最小值为十二、填空题26.如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________．27.在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______．28.