2025~2026学年专题8利用空间向量解决最值问题题型分类归纳高二数学同步人教A版

2025~2026学年专题8利用空间向量解决最值问题题型分类归纳高二数学同步(人教A版）一、单选题1.已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（）

A．B．C．D．2.设向量，的夹角为θ，若，且存在θ使得成立，则实数λ的取值范围为()

A．[－7，-1]B．[5，7]C．D．二、填空题3.在空间直角坐标系中，曲线的方程为，（为参数，），点在曲线上，直线过坐标原点且的一个方向向量，则点到直线的最短距离为__________.4.设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，.若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________.5.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.6.如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为___________．三、多选题7.如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）

A．平面B．不存在点，使得平面平面C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为D．若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2四、解答题8.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面平面，.(1)证明:平面；(2)若，为中点，，点在平面上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.9.如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．10.如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值．五、多选题11.已知正方体的棱长为为中点，.下列论述正确的是（）

A．若，则点到平面的距离为B．三棱锥的体积为定值C．的最小值为D．平面与侧面所成角的余弦值的最小值为六、解答题12.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点.(1)求该正方体被平面所截得的截面面积；(2)求证：平面；(3)点在线段上运动，设平面与平面所成夹角为，求的最大值.七、单选题13.如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（）

A．1B．C．D．2八、多选题14.如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（）

A．B．C．当为线段中点时，平面D．点到直线的距离的最小值为九、单选题15.如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（）①：点P在平面上的轨迹为椭圆②：线段长度的最小值为1③：线段长度的最大值为3

A．①②B．①③C．②③D．①②③16.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）

A．B．C．1D．十、多选题17.在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（）

A．当时，B．当时，直线与平面所成角的最大值为C．当时，线段长度的范围是D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为十一、填空题18.在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________.十二、多选题19.已知正方体的棱长为2，P为平面内的动点，为正方形的中心，则下列结论正确的是（）

A．点的轨迹方程为抛物线B．当点在线段上时，点到平面的距离为C．直线BP与平面所成角的正弦值的取值范围为D．若为线段上的动点，则的最小值为20.在长方体中，，点M为侧面内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（）

A．存在点M，使平面B．存在点M，使平面C．点M到直线的距离的取值范围是D．若直线与直线所成角为，则十三、填空题21.设、、为空间中三组单位向量，且，，与夹角为，为空间任意一点，且，满足，则最大值为________22.已知球是棱长为2的正方体的外接球，点是球上不同的两点，为的中点，若且为的中点．则__________；与平面所成角的正切值的最大值为__________．十四、解答题23.如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点.(1)若，平面，求的长度；(2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离；(3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围.十五、多选题24.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）

A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成角的取值范围是C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是D．