2025~2026学年北京市东城区高三一模数学试卷

2025~2026学年北京市东城区高三一模数学试卷一、单选题1.已知集合，集合，则（）

A．B．C．D．2.已知复数为纯虚数，则实数（）

A．2B．1C．0D．3.双曲线的焦距为（）

A．1B．C．D．44.在中，已知，，，则（）

A．B．C．D．5.实数，满足，，则（）

A．B．C．D．6.已知，则实数（）

A．1B．C．2D．7.已知为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为．若点，则的取值范围为（）

A．B．C．D．8.在长方体中，，，则（）

A．棱上存在点，使得B．棱上存在点，使得C．棱上存在点，使得D．棱上存在点，使得9.已知函数的定义域为，对实数，设集合，集合，那么“，”是“为奇函数”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（）

A．15B．10C．9D．5二、填空题11.已知抛物线的准线方程为，那么的焦点到准线的距离为______．12.已知，则的一个可能值为________．13.设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________．14.在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：）15.已知函数的定义域为，且．当时，设为大于1的正整数，给出下列四个结论：①存在，使得且；②方程的解的个数为；③若为方程的解，则的最小值为4；④对任意有理数，存在，使得．其中正确结论的序号是________．三、解答题16.已知函数．(1)若，，求实数的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一，求在区间上的取值范围．条件①：；条件②，的最小正周期为；条件③：的最大值与最小值之和为0．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥中，，，，，为的中点，．(1)设平面平面，求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．18.某种机床运行三个月后，需对这三项指标是否合格进行检测．现随机抽取10台机床，对指标检测情况统计如下表．用“×”表示该指标不合格，用“○”表示该指标合格．

机床

指标12345678910○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○设各机床之间相互独立．用频率估计概率．(1)某台机床运行三个月后，估计这台机床的指标合格的概率；(2)规定指标合格记1分，指标合格记2分，指标合格记2分；若某项指标不合格．该项指标记0分．将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分．现从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大于8的概率；(3)设随机变量表示一台机床合格指标的个数．随机抽取10台机床进行检测，记事件=“这10台机床中合格指标个数为0，1，2，3的机床台数分别为1，2，3，4”．判断服从下面哪个分布，事件发生的概率更大．（结论不要求证明）分布1

01230.20.20.20.4分布2

01230.10.30.20.419.已知椭圆经过点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点不在直线上，直线，分别交直线于点，．求证：四边形为平行四边形.20.已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为．(1)求的最小值；(2)讨论的单调性；(3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数．21.已知正整数数列，令．给定非负整数，若对任意的，都存在正整数，且，使得，则称数列具有性质．(1)直接写出数列：1，1，2，