2023-2024学年陕西省咸阳市旬邑中学高三(上)开学数学试卷(理科)

2023-2024学年陕西省咸阳市旬邑中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（9﹣x2）}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁RB＝（）A．（1，3] B．（﹣3，1] C． D．2．（5分）“m＝4”是“f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm+2是幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）4．（5分）已知函数y＝f（x+1）的定义域为[1，2]，则函数y＝f（2x﹣1）的定义域为（）A． B． C．[﹣1，1] D．[3，5]5．（5分）函数f（x）＝ln（4x2﹣1）的单调递增区间（）A． B． C． D．（0，+∞）6．（5分）函数y＝﹣lnx的零点所在区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）7．（5分）已知函数若f（2a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）8．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b9．（5分）若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（﹣6，+∞） D．（﹣∞，﹣6）10．（5分）函数y＝（2x﹣2﹣x）cosx在区间[﹣2，2]上的图象大致为（）A． B． C． D．11．（5分）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365，可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10000倍，大约需要经过（lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．17天 B．19天 C．23天 D．25天12．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（x+3）有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4﹣2） B．（4﹣2，4+2） C．（0，4﹣2] D．（0，4﹣2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．14．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是．16．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC．（1）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝1，b＝，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝AD＝2，∠PAD＝∠BAD＝120°，E，F分别为PD，BD的中点，且．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求锐二面角E﹣AC﹣D的余弦值．20．（12分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．（1）求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[650，750），[750，850）内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点A是椭圆Γ的上顶点，经过P（0，3）的直线l交椭圆Γ于C（x1，y1），D（x2，y2）两个不同的点．（1）求点F2到直线F1A的距离；（2）若直线l的斜率为k，且F1C⊥F1D，求实数k的值．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝1时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；（3）求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：．（其中e≈2.718为自然对数的底数）

2023-2024学年陕西省咸阳市旬邑中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（9﹣x2）}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁RB＝（）A．（1，3] B．（﹣3，1] C． D．【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】先求出集合A，再利用集合的基本运算求解．【解答】解：由9﹣x2＞0，得﹣3＜x＜3，∴集合A＝{x|y＝lg（9﹣x2）}＝{x|﹣3＜x＜3}，∵B＝{x|x＞1}，∴∁RB＝{x|x≤1}，∴A∩∁RB＝{x|﹣3＜x≤1}．故选：B．2．（5分）“m＝4”是“f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm+2是幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果．【解答】解：∵f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm+2是幂函数，∴m2﹣3m﹣3＝1，解得m＝4或m＝﹣1，故“m＝4”是“f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm+2是幂函数”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题及其真假．【答案】B【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）＝x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x＝﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）＝x3+x2﹣1，因为f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0．所以函数f（x）＝x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3＝1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选：B．4．（5分）已知函数y＝f（x+1）的定义域为[1，2]，则函数y＝f（2x﹣1）的定义域为（）A． B． C．[﹣1，1] D．[3，5]【考点】函数的定义域及其求法．【答案】B【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵函数y＝f（x+1）的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得2≤x+1≤3，∴函数y＝f（x）的定义域为[2，3]，令2≤2x﹣1≤3，解得，故函数y＝f（2x﹣1）的定义域为．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝ln（4x2﹣1）的单调递增区间（）A． B． C． D．（0，+∞）【考点】复合函数的单调性．【答案】A【分析】根据f'（x）＞0，结合函数的定义域，即可得出单调递增区间．【解答】解：由4x2﹣1＞0，可得或，所以函数f（x）＝ln（4x2﹣1）的定义域为．求导可得，当f'（x）＞0时，x＞0，由函数定义域可知，，所以函数f（x）＝ln（4x2﹣1）的单调递增区间是．故选：A．6．（5分）函数y＝﹣lnx的零点所在区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）【考点】函数零点的判定定理．【答案】B【分析】求出原函数的导函数，得到函数的单调性，然后利用函数零点判定定理得答案．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∵y′＝﹣＜0，∴函数y＝﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，∵f（2）＝1﹣ln2＞0，f（3）＝，∴函数y＝﹣lnx的零点所在区间是（2，3）．故选：B．7．（5分）已知函数若f（2a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）【考点】分段函数的应用．【答案】D【分析】判断函数f（x）的单调性，把不等式f（2a）＜f（6﹣a）化为2a＜6﹣a，求解集即可．【解答】解：由题意知，当x≥0时，f（x）＝x+1，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f（x）＝﹣，此时函数f（x）单调递增，且f（0）＝1，所以函数f（x）在R上单调递增．又因为f（2a）＜f（6﹣a），所以2a＜6﹣a，解得a＜2，所以a的取值范围是（﹣∞，2）．故选：D．8．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】B【分析】根据题意，由奇函数的性质可得a＝﹣f（log2）＝f（log26），又由20.8＜2＜log24.9＜log26，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数，则a＝﹣f（log2）＝f（log26），又由函数f（x）在R上是增函数，且20.8＜2＜log24.9＜log26，则有c＜b＜a；故选：B．9．（5分）若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（﹣6，+∞） D．（﹣∞，﹣6）【考点】其他不等式的解法．【答案】A【分析】由题意可得a+2＜x2﹣4x在区间（1，4）内成立，由y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围．【解答】解：关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，即为a+2＜x2﹣4x在区间（1，4）内成立，由y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，可得x＝2处函数y取得最小值﹣4；x＝1时，y＝﹣3；x＝4时，y＝0，则函数y＝x2﹣4x的值域为[﹣4，0），可得a+2＜0，解得a＜﹣2．故选：A．10．（5分）函数y＝（2x﹣2﹣x）cosx在区间[﹣2，2]上的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】根据奇偶性排除D，再取特值x＝1，x＝2排除AB．【解答】解：因为x∈[﹣2，2]，关于原点对称，f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）cos（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）cosx＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，故D错误；因为，所以cos1＞0，所以，故A错误；因为，所以cos2＜0，所以，故B错误．故选：C．11．（5分）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365，可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10000倍，大约需要经过（lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．17天 B．19天 C．23天 D．25天【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．【答案】C【分析】根据题意得，根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：经过x天后，“进步”与“落后”的比，即有，两边取以10为底的对数得，即x⋅（lg3﹣lg2）＝x（0.477﹣0.301）＝0.176x≥4，解得，所以大于经过23天后，“进步”是“落后”的10000倍．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（x+3）有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4﹣2） B．（4﹣2，4+2） C．（0，4﹣2] D．（0，4﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】y＝a（x+3）恒过点（﹣3，0），结合函数图象，先得到a≥0，然后转化为x2+（a+2）x+3a＝0在x∈（﹣2，0）时有两个不同的实数根，进而得到a的范围．【解答】解：设y＝a（x+3），该直线恒过点（﹣3，0），如图，结合函数图象，可知若方程f（x）＝a（x+3）有四个不同的实数根，则a≥0，又直线y＝a（x+3）与曲线y＝﹣x2﹣2x在x∈（﹣2，0）时有两个不同的公共点，所以x2+（a+2）x+3a＝0在x∈（﹣2，0）时有两个不同的实数根，令g（x）＝x2+（a+2）x+3a，则，解得．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据B⊆A可分B＝∅，和B≠∅两种情况：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B＝∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．14．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）＝．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用替换表达式中的x，得到方程，然后求解f（x）即可．【解答】解：函数f（x）满足：，替换表达式中的x，得到：，两个方程消去f（），可得f（x）＝．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】问题等价于mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，分m＝0，和m≠0两种情况可得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m＝0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤416．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝0．【考点】抽象函数及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，由函数的对称性分析可得f（x）为周期为4的函数，分析可得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0；又由f（1﹣x）＝f（1+x）即有f（x+2）＝f（﹣x），则f（x+2）＝﹣f（x），进而得到f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）＝2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0；故答案为：0三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）17．（10分）计算：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）＝．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC．（1）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝1，b＝，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosB＝，结合范围B∈（0°，180°），可求B的值；（2）先由正弦定理求得A，进而得到C，即可求得其面积．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC．∴（2a﹣c）2accosB＝2abccosC．∴（2a﹣c）cosB＝bcosC；由正弦定理可得：∴2sinAcosB﹣sinCcosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，∵sinA≠0，∴cosB＝，∵B∈（0°，180°），∴B＝60°；（2）由正弦定理可得：sinA＝＝；因为a＜b；∴A＝30°，故C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．∴S＝absinC＝×1××sin90°＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝AD＝2，∠PAD＝∠BAD＝120°，E，F分别为PD，BD的中点，且．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求锐二面角E﹣AC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，推导出PO＝PAsin∠PAO＝，∠BAO＝60°，AO＝AO，从而△PAO≌△BAO，进而BO＝PO＝，推导出PO⊥BO，从而PO⊥平面ABCD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角E﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，由∠PAD＝120°，得∠PAO＝60°，∴在Rt△PAO中，PO＝PAsin∠PAO＝2sin60°＝2×＝，∵∠BAO＝120°，∴∠BAO＝60°，AO＝AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO＝PO＝，∵E，F分别是PA，BD的中点，EF＝，∴EF是△PBD的中位线，∴PB＝2EF＝2×＝，∴PB2＝PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO＝O，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），∴E（0，），F（，），＝（0，），＝（，，0），平面ABCD的一个法向量＝（0，0，1），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝，∴锐二面角E﹣AC﹣D的余弦值为．20．（12分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．（1）求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[650，750），[750，850）内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【答案】（1）0.0035；670；650；（2）X的分布列为：X0123PE（X）＝．【分析】（1）根据频率和为1求a的值，再结合平均数、中位数和众数的定义运算求解；（2）先根据分层抽样求各层人数，再结合超几何分布求分布列和期望．【解答】解：（1）由题意知，100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，所以每组的频率依次为0.15，0.35，0.25，0.15，0.10，样本平均数＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670，因为0.15+0.35＝0.5，所以中位数650，又因为[550，650）频率最大，所以众数为600．（2）由题意可得：从[650，750）中抽取8×＝5人，从[750，850）中抽取8﹣5＝3人，则随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝，所以随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点A是椭圆Γ的上顶点，经过P（0，3）的直线l交椭圆Γ于C（x1，y1），D（x2，y2）两个不同的点．（1）求点F2到直线F1A的距离；（2）若直线l的斜率为k，且F1C⊥F1D，求实数k的值．【考点】直线与椭圆的综合．【答案】（1）；（2）或﹣．【分析】（1）由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由题意可得F1，F2，A的坐标，求出直线F1A的方程，再求F2到直线F1A的距离；（2）由题意设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由F1C⊥F1D，所以•＝0，整理可得k的值．【解答】解：（1）由椭圆的方程可得a＝2，b＝，c＝＝＝1，所以F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，），所以直线F1A的方程为y＝x+，即x﹣y+＝0，所以F2到直线F1A的距离d＝＝；（2）由题意设直线l的方程为y＝kx+3，联立，整理可得：（3+4k2）x2+24kx+24＝0，