2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分）1．已知复数z＝1+i（其中i为虚数单位），则＝．2．双曲线的实轴长为．3．函数y＝cos2x﹣sin2x+1的最小正周期为．4．（2x+1）10的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）．5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为．6．若2x2+kx﹣m＜0的解集为（t，﹣1）（t＜﹣1），则k+m的值为．7．，，且，则＝．8．在△ABC中，，则cosA+cosB的取值范围是．9．夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种．10．水平放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续）设顶点A（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则＝．11．在空间直角坐标系O﹣xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面，比如方程x2+y2+z2＝1表示球面，就是一种常见的二次曲面．已知点P（x，y，z）是二次曲面4x2﹣xy+y2﹣z＝0上的任意一点，且x，y，z均为正数，则当取得最小值时，的最大值为．12．若关于x的不等式恒成立，求mn的最大值．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分，第13、14题4分，第15、16题5分）13．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数14．奇函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A．[2，6） B． C． D．15．已知f（x）＝2x﹣xlnx的图像上有且仅有两个不同的点关于直线y＝1的对称点在直线kx+y﹣1＝0的图像上，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．[0，+∞） C．[0，1） D．（﹣∞，﹣1）16．设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，①存在直线l，使得集合Ω中不存在点l在上，而存在点l的两侧；②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上（）A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．瀑布（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）．在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转45°，得到三个正方体AnBn∁nDn﹣A'nB'nC'nD'n，n＝1，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）．（1）设B'n（xn，yn，zn），求++，n＝1，2，3．（2）求点A1到平面B2C2B3的距离．18．已知函数f（x）＝log2是奇函数．（1）求实数a的值；（2）当b＞0，b∈R，解关于x的不等式f（x）＞log2．19．图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H、M，已知HM＝2m，BC＝2m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的4倍，设．（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为2k，假设校门的总高度为3m，试问，当θ为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？20．已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两个动点，△PAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，若3k1＝5k2，问：直线PQ是否过定点？如果是，求出该定点；不是，请说明理由．（3）在第（2）题的条件下，若△BPQ和△APQ的面积分别为S1，S2.求|S1﹣S2|的最大值．21．设函数y＝f（x）的定义域为开区间I，若存在x0∈I，使得y＝f（x）在x＝x0处的切线l与y＝f（x）的图像只有唯一的公共点，则称切线l是y＝f（x）的一条“L切线”．（1）判断y＝x﹣1是否是函数y＝lnx的一条“L切线”？并说明理由．（2）设f（x）＝x3+ax2+1（x∈（0，c）