2023-2024学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题。（每题5分，共8题，共40分）1．（5分）若集合A＝{y|y＝x﹣1，x∈N}，B={z|z=x+2y，x，y∈A．A⊆N B．A∩B＝N C．B⊆N D．A∪B＝N2．（5分）若z1＝2+i，z2＝3﹣i，则z1z2＝（）A．7﹣i B．7+i C．5﹣i D．5+i3．（5分）若a→=(2，1)，b→=(−4，2)，c→A．(65，35) B．(−4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直线l被圆C：x2+y2＝16截得的弦长为（）A．2 B．23 C．4 D．5．（5分）函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则A．1 B．3 C．3 D．36．（5分）已知集合A={−4，−3，−2，12，13，14，2，3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx，幂函数y＝A．36 B．42 C．72 D．847．（5分）对于函数f（x）＝x3+bx2+cx+d，若系数b，c，d可以发生改变，则改变后对函数f（x）的单调性没有影响的是（）A．b B．c C．d D．b，c8．（5分）已知椭圆x24+y2=1，作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线交椭圆于C，D两点，且|AB|＝|A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线二、不定项选择题。（每题6分，共3题，共18分，全选对6分，选对但不全得部分分，有选错0分）（多选）9．（6分）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到χ2≈4.881，则可以认为（）A．根据小概率值α＝0.05的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.05＝3.841），两种疗法的效果没有差异 B．根据小概率值α＝0.05的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.05＝3.841），两种疗法的效果存在差异 C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879），两种疗法的效果没有差异 D．根据小概率值α＝0.005的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879），两种疗法的效果存在差异（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）在x＝1处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A．3a+2b+c＝0 B．d＝2a+b+1 C．b＜﹣3a D．b＞﹣3a（多选）11．（6分）已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A、B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿xA．λ=3B．φ=πC．图2中，AB→D．图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于π三、填空题。（每题5分，共15分）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝2sinB，c2﹣b2＝ab，则C＝．13．（5分）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数和为0，则a＝．14．（5分）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为．四、解答题。（15题13分，16～17题每题15分，18～19题每题17分）15．（13分）已知数列{an}满足a1=3（1）证明：数列{an﹣n}为等比数列；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d，的等差数列，令cn＝（n+1）（dn+1），求数列{cn}的前n项和Sn．16．（15分）已知a∈R，函数f（x）＝2e2x+4aex﹣9，g（x）=2（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：∀x＞0，f（x）+g（x）＞0．17．（15分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACC1A1是等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）若过B，B1，D三点的平面截三棱台ABC﹣A1B1C1所得的截面面积为9316．当二面角A1﹣AC﹣B为锐二面角时，求二面角B1﹣BC﹣18．（17分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn．（1）求P2；（2）求i=1n19．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与抛物线E：y2＝2px（p＞0）交于第一象限的点A，过点A作抛物线的切线l交椭圆于另一点（1）求椭圆Γ的离心率e；（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值．

2023-2024学年四川省成都市嘉祥外国语高级中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题。（每题5分，共8题，共40分）1．（5分）若集合A＝{y|y＝x﹣1，x∈N}，B={z|z=x+2y，x，y∈A．A⊆N B．A∩B＝N C．B⊆N D．A∪B＝N【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．【答案】B【分析】由已知分析集合元素的特征，检验各选项即可判断．【解答】解：依题意可得A＝{﹣1}∪N，A，D均错误，因为B={z|z=x+2y，x，y∈N}，所以B中含无理数元素，当y＝0时，z＝x∈所以A∩B＝N，N⊆B，B正确，C错误．故选：B．2．（5分）若z1＝2+i，z2＝3﹣i，则z1z2＝（）A．7﹣i B．7+i C．5﹣i D．5+i【考点】复数的乘法及乘方运算．【答案】B【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简即可．【解答】解：若z1＝2+i，z2＝3﹣i，则z1z2＝（2+i）（3﹣i）＝7+i．故选：B．3．（5分）若a→=(2，1)，b→=(−4，2)，c→A．(65，35) B．(−【考点】平面向量的投影向量．【答案】D【分析】由c→∥b【解答】解：因为c→∥b所以﹣4k＝2×2，解得k＝﹣1，则c→所以a→在c→方向上的投影向量为故选：D．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：ax+by＝1上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直线l被圆C：x2+y2＝16截得的弦长为（）A．2 B．23 C．4 D．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】D【分析】由题意圆心O（0，0）到直线l的距离d＝2，利用垂径定理求得弦长即可．【解答】解：由题意知坐标原点O到直线l的距离d＝2，因为圆C的圆心为O（0，0），半径r＝4，所以直线l被圆C截得的弦长为2r故选：D．5．（5分）函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则A．1 B．3 C．3 D．3【考点】正切函数的图象．【答案】C【分析】根据图象，求得f(x)=3【解答】解：由图知π2ω=5π又由图知f(0)=Atanφ=1f(由Atan(5π6+φ)=0，得到φ=−5π6又|φ|＜π2，所以k＝1，由Atanπ6=1所以f(x)=3得到f(13π故选：C．6．（5分）已知集合A={−4，−3，−2，12，13，14，2，3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx，幂函数y＝A．36 B．42 C．72 D．84【考点】排列组合的综合应用；幂函数图象特征与幂指数的关系；指数函数图象特征与底数的关系；对数函数图象特征与底数的关系．【答案】C【分析】根据题意，由指数函数、对数函数的性质分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①若y＝ax和y＝logbx在（0，+∞）上单调递减，y＝xc在（0，+∞）上单调递减增，则0＜a＜1，0＜b＜1，c＞0，此时有序数对（a，b，c）的个数有：A3②若y＝ax和y＝xc在（0，+∞）上单调递减，y＝logbx在（0，+∞）上单调递增，则0＜a＜1，b＞1，c＜0，此时有序数对（a，b，c）的个数有：C3③若y＝logbx和y＝xc在（0，+∞）上单调递减，y＝ax在（0，+∞）上单调递增，则0＜b＜1，a＞1，c＜0，此时有序数对（a，b，c）的个数有：C3④若y＝ax、y＝logbx和y＝xc在（0，+∞）上单调递减，则0＜b＜1，0＜a＜1，c＜0，此时有序数对（a，b，c）的个数有：A3综上所述：共有18+18+18+18＝72个．故选：C．7．（5分）对于函数f（x）＝x3+bx2+cx+d，若系数b，c，d可以发生改变，则改变后对函数f（x）的单调性没有影响的是（）A．b B．c C．d D．b，c【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】分析f'（x）的正负性即可得答案．【解答】解：由题意f'（x）＝3x2+2bx+c，b与c的对f'（x）的正负性有影响，d不影响f′（x）的正负性，即d对f（x）的单调性没有影响．故选：C．8．（5分）已知椭圆x24+y2=1，作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线交椭圆于C，D两点，且|AB|＝|A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【考点】椭圆的几何特征．【答案】C【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，并利用条件求解轨迹方程，推出结果即可．【解答】解：∵AB≤2，∴CD≤2，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设A（m，t），D（t，n），所以P（m，n），因为m24+t2＝1，t24+n故选：C．二、不定项选择题。（每题6分，共3题，共18分，全选对6分，选对但不全得部分分，有选错0分）（多选）9．（6分）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到χ2≈4.881，则可以认为（）A．根据小概率值α＝0.05的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.05＝3.841），两种疗法的效果没有差异 B．根据小概率值α＝0.05的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.05＝3.841），两种疗法的效果存在差异 C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879），两种疗法的效果没有差异 D．根据小概率值α＝0.005的独立性检验（已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879），两种疗法的效果存在差异【考点】独立性检验．【答案】BC【分析】利用给定的χ2≈4.881，与x0.05＝3.841、x0.005＝7.879比较即可．【解答】解：零假设为H0：两种疗法相互独立，且两种疗法的效果没有差异，因为χ2≈4.881＞3.841，故根据小概率值α＝0.05的独立性检验，两种疗法的效果存在差异，故A错误，B正确；因为χ2≈4.881＜7.879，故根据小概率值α＝0.005的独立性检验，两种疗法的效果没有差异，故C正确，D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）在x＝1处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A．3a+2b+c＝0 B．d＝2a+b+1 C．b＜﹣3a D．b＞﹣3a【考点】利用导数求解函数的极值．【答案】ABC【分析】根据函数单调性、极值与导函数的关系求解本题．【解答】解：函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），则f′（x）＝3ax2+2bx+c，因为函数f（x）在x＝1处取到极大值1，所以f（1）＝a+b+c+d＝1，f′（1）＝3a+2b+c＝0，故A正确；d＝1﹣a﹣b﹣c＝1﹣a﹣b+3a+2b＝2a+b+1，故B正确；对于CD，由于函数在x＝1处取到极大值，则函数在x＝1的附近单调性为“左增右减”．则f'（x）＝3ax2+2bx﹣3a﹣2b，对于x→1+时，f'（x）＝3ax2+2bx﹣3a﹣2b＜0，即3a（x2﹣1）+2b（x﹣1）＜0（x→1+），即3a（x+1）+2b＜0（x→1+），即6a+2b＜3a（x+1）+2b＜0（x→1+），即6a+2b＜0（x→1+），则b＜﹣3a，则C正确，D错误．故选：ABC．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A、B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿xA．λ=3B．φ=πC．图2中，AB→D．图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于π【考点】二面角的平面角及求法；正弦函数的图象．【答案】AC【分析】在图2中，以点O为坐标原点，OC→、A′A→的方向分别为y′、z′轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣x′y′z′，根据已知条件求出λ的值，即可判断A；结合φ的取值范围求出φ的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出cos∠BA′C，结合扇形的面积公式可判断【解答】解：函数f（x）的最小正周期为T=2π在图2中，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣x′y′z′，对于A，B，设点A′（0，t，0），则点A（0，t，λ）、B（λ，t+2，0），|AB|=(0−λ)2+(t+2−t)2+(λ−0)所以f(x)=3sin(πx2+φ)又因为函数f（x）在x＝0附近单调递减，且0＜φ＜π，所以，φ=5π6，故对于C，因为f(t)=3sin(πt又因为点A是函数f（x）的图象在y轴左侧距离y轴最近的最高点，则πt2+5π所以f(x)=3因为点C是函数f（x）在y轴右侧的第一个对称中心，所以，πxC2翻折后，则有A(0，−23，3)、A′(0，−所以AC→=(0，1，−3所以在图2中，AB→⋅AC对于D，在图2中，设点Q（x，y，0），|AQ|=x可得x2A′C→=(0，1，0)，A′B→易知∠BA′C为锐角，则0＜∠BA′C＜π所以，区域T是坐标平面x′Oy′内以点A′为圆心，半径为|A′C|＝1，且圆心角为∠BA′C的扇形及其内部，故区域T的面积ST＜1故选：AC．三、填空题。（每题5分，共15分）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝2sinB，c2﹣b2＝ab，则C＝．【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】π【分析】由正弦定理及sinA＝2sinB可得a，b的关系，再由余弦定理求出cosC的表达式，将c2﹣b2＝ab代入可得可得C的余弦值．【解答】解：因为sinA＝2sinB，由正弦定理可得：a＝2b，因为c2﹣b2＝ab，由余弦定理可得cosC=a在三角形中可得C=π故答案为：π313．（5分）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数和为0，则a＝．【考点】二项式定理的应用．【答案】1．【分析】根据在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数和为0即令x＝1展开式中各项系数和即可求解．【解答】解：在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数和为0即令x＝1展开式中各项系数和，所以当x＝1时，（a﹣1）（2﹣1）3＝0，所以a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】1148【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为Ai（i＝1，2，3），记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为Bi（i＝1，2，3），再利用全概率公式求解即可．【解答】解：记第一次抽到第i号球的事件分别为Ai（i＝1，2，3），则有P(A1)=记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为Bi（i＝1，2，3），而A1，A2，A3两两互斥，和为Ω，P(B1|A1记第二次抽到3号球的事件为B，则P（B）=i=13P(AiBi)=i=13[P（A故答案为：1148四、解答题。（15题13分，16～17题每题15分，18～19题每题17分）15．（13分）已知数列{an}满足a1=3（1）证明：数列{an﹣n}为等比数列；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d，的等差数列，令cn＝（n+1）（dn+1），求数列{cn}的前n项和Sn．【考点】数列递推式；数列的求和．【答案】（1）证明见解析；（2）Sn=n(n+5)【分析】（1）根据等比数列定义证明即可；（2）根据题目所给定义分组求和．【解答】解：（1）证明：由an+1−1an+n=12，得2a整得，得2[an+1﹣（n+1）]＝an﹣n，又a1=3故∀n∈N*，an+1所以数列{an﹣n}是以12为首项，1故an−n=(（2）根据题意：在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d的等差数列，令cn＝（n+1）（dn+1），得dn所以cn从而Sn＝c1+c2+c3+⋯+cn=(3+4+5+⋯+n+2)−[(=n(3+n+2)=n(n+5)16．（15分）已知a∈R，函数f（x）＝2e2x+4aex﹣9，g（x）=2（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：∀x＞0，f（x）+g（x）＞0．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值；不等式恒成立的问题．【答案】（1）当a≥0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减．（2）证明见解答．【分析】（1）分类讨论根据导函数的正负得出函数的单调性；（2）先化简函数，根据化简结果构造函数，再根据导数结合基本不等式得出函数的最小值得证．【解答】解：（1）因为f（x）＝2e2x+4aex﹣9，所以f'（x）＝4e2x+4aex＝4ex（ex+a）．若a≥0，则f′（x）＞0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增．若a＜0，则由f'（x）＝0，得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0f（x）单调递增，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减．（2）证明：f(x)+g(x)=2=4a令h(a)=4a则要证f（x）+g（x）＞0，即证h（a）＞0恒成立，即证Δ=16(e即证(ex+令φ（x）＝e2x﹣2ex，x＞0，则φ′（x）＝2e2x﹣2e，当x∈(0，12)时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈(12，+∞)时，φ′（则φ(x)≥φ(12)=0，即e2x则ex则ex+1从而ex17．（15分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACC1A1是等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）若过B，B1，D三点的平面截三棱台ABC﹣A1B1C1所得的截面面积为9316．当二面角A1﹣AC﹣B为锐二面角时，求二面角B1﹣BC﹣【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）239【分析】（Ⅰ）根据条件先证出AC⊥平面BOD，再利用线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）先证明∠B1NM为二面角B1﹣BC﹣A的平面角，再计算即可求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接OB，OD，∵△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，∴AC⊥OB，又四边形ACC1A1是等腰梯形，且D为A1C1的中点，∴AC⊥OD，又OB∩OD＝O，OB，OD⊂平面BOD，∴AC⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD．（Ⅱ）过D，B1分别作DE⊥BO，B1M⊥BO，B1N⊥BC，垂足为E，M，N，连接MN，由（Ⅰ）易知平面DB1BO⊥平面ABC，B1M⊥BO，平面DB1BO∩平面ABC＝BO，B1M⊂平面PBO，∴B1M⊥平面ABC，∴B1M⊥BC，又∵B1N⊥BC，且B1M∩B1N＝B1，∴BC⊥平面B1MN，∴BC⊥MN，又∵B1N⊥BC，∴∠B1NM为二面角B1﹣BC﹣A的平面角，∵过B，B1，D三点的截面为梯形BB1DO，则SBDE=B1M=∵EM=32，∴∴MN=BM⋅sinπ∴B1∴sin∠B即二面角B1﹣BC﹣A的正弦值为23918．（17分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn．（1）求P2；（2）求i=1n【考点】全概率公式．【答案】（1）59（2）38【分析】（1）由图形可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，推得P1=23（2）由题意可得Pn+1=23Pn【解答】解