2027届高考数学一轮总复习8.5.2（课件）

第五讲椭圆第二课时考点突破·互动探究直线与椭圆的位置关系——自主练透A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5[答案]

D名师点拨：1．判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．其步骤为：2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．椭圆弦的问题——多维探究角度1弦长问题(2026·江苏泰州中学质检)已知椭圆C：x2＋2y2＝2b2(b>0)．(1)求椭圆C的离心率e；(2)b＝1，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，设斜率为1的直线l的方程为y＝x＋m，且A(x1，y1)、B(x2，y2)，名师点拨：直线被圆锥曲线截得弦长的求法1．当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．2．“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．角度2中点弦问题(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为____________.(3)过点M(2,1)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为____________.名师点拨：圆锥曲线“中点弦”问题的解法1．点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得．2．根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论．[答案]

B直线与椭圆的综合问题[解析]

(1)根据题意作图如下：若S△ABM＝2S△ABN，则|MB|＝2|BN|.当直线MN与x轴垂直时，其方程为x＝0，设直线MN的方程为y＝kx－1，代入椭圆方程整理得3x2＋4(kx－1)2＝12，即(3＋4k2)x2－8kx－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，[引申]当S△OMN最大时，直线MN的方程为____________.[答案]

y＝－1名师点拨：题目给出直线l过定点P，一般设出直线l的方程，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求三角形AB边上的高，从而可求得三角形面积，建立函数模型求最值．注意到|OP|为定值，用“割补法”表示三角形面积可简化运算．(2)由题意可知：A(－2,0)，B(2,0)，则M(－1,0)，且直线PQ与椭圆必相交，①若直线PQ的斜率不存在，名师讲坛·素养提升与椭圆相关的创新应用问题1．(2025·江西九校联考)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________.[答案]

A名师点拨：【变式训练】1．(2025·河南鹤壁高中月考)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝(

)[答案]

D提能训练练案[52]A组基础巩固一、单选题[答案]

B[答案]

A[答案]

B[答案]

C[答案]

C[答案]

A[答案]

D[答案]

D二、多选题9．(2026·广东大湾区调研)若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率可能为(

)[答案]

BC[答案]

BCD[答案]

ACA．|F1F2|＝1B．|PQ|≤4C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8D．设点P到直线x＝－4的距离为d，则d＝2|PF1|[答案]

BCD三、解答题(2)当直线MN的斜率为0时，M，N，Q三点共线，不符合题意；当直线MN的斜率不为0时，设直线方程为x＝ty－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴t＝±1，∴直线MN的方程为y＝x＋1或y＝－x－1，即直线MN的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝0时，求△MPQ的面积．(2)由(1)知，右焦点为F(1,0)，据题意设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)，[答案]

D[答案]

C[答案]

BCD[答案]

2(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|FA|＝2|FB|，求l的方程．(2)如图：易知F(1,0)．①当l斜率为0时，|FA|＝3|FB|或|FB|＝3|FA|，不符合题意．②当l斜率不为0时设l：x＝my＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C组拓展应用(选作)

(2026·山东德州六校期末联考)如图，已知圆E：(x＋1)2＋y2＝16，点F(1,0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过

点F作一条直线与C交于M，N两点，求四边形AMBN

面积的取值范围．[解析]

(1)连接QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4>|EF|，故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，(2)由(1)可知，A(－2,0)，B(2,0)，F(1,0)，当直线MN的斜率为0时，不能构成四边形