2027届高考数学一轮总复习3.5利用导数证明不等式【课件】_第1页
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文档简介

第5节利用导数证明不等式高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2027课标解读在证明与函数相关的不等式时,我们通常可以将不等式转化为函数的最值问题.一种常用的方法是构造适当的函数,从而将不等式的证明转化为利用导数分析该函数的单调性或最值问题.研考点•精准突破考点一作差构造函数法证明不等式

x(-∞,-ln

a)-ln

a(-ln

a,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln

a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln

a).综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln

a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln

a).

随a的变化,g'(a),g(a)的变化如下表:ag'(a)

-0+g(a)单调递减极小值单调递增

规律方法

作差构造函数法证明不等式(1)当欲证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证.(2)利用作差构造函数法证明不等式的基本步骤:①作差或变形;②构造函数g(x);③利用导数研究g(x)的单调性或最值;④根据单调性及最值,得到欲证的不等式.[对点训练1](2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=(x-a)ex+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a≤1,证明:当x>0时,f(x)+ex≥x+lnx+2.

(1)解

因为f(x)=(x-a)ex+a,所以f'(x)=(x-a+1)ex.当x<a-1时,f'(x)<0,当x>a-1时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,a-1),单调递增区间为(a-1,+∞).

考点二拆分构造两个函数法证明不等式例2设函数f(x)=(x2-2x)ex,g(x)=e2lnx-aex.(1)若函数g(x)在(e,+∞)上存在最大值,求实数a的取值范围;(2)当a=2时,求证:f(x)>g(x).

规律方法

拆分构造两个函数法证明不等式若采用作差构造函数的方法,在对该函数直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行拆分变形,化为不等号两边各有一个代数式的形式,然后构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的.特别是当题目中同时含ex与ln

x时,通常将ln

x与ex分离到不等式两边,分别构造函数并求出函数最值,借助最值进行证明.

考点三放缩法证明不等式

(1)解

当a=0时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,解得x>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增;令f'(x)<0

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