高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2等差数列 同步练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册4.2等差数列同步练习一、单选题1．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（

）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长2．已知等差数列的前项和，且，，则最小时，的值为（

）.A．2 B．1或2 C．2或3 D．3或43．记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．4．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则A． B． C． D．5．设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．28 B．32 C．16 D．246．在数列中，，，若，则（

）A．671 B．672 C．673 D．6747．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．8．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（

）A．8 B．5 C．6 D．79．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（

）．A．10层 B．11层 C．12层 D．13层10．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（

）A． B．1C． D．12．在等差数列中，，．记，则数列（

）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项13．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（

）A． B． C． D．14．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．15．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题16．设等差数列的前项和为，若，，则_________.17．已知数列的通项公式，其前n项和为，则_____．（用分数作答）18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.三、解答题19．已知等差数列满足，．（1）求数列的通项公式及其前项和；（2）记数列的前项和为，若，求的最小值．20．已知数列的前n项和为，，______．指出，，…，中哪一项最大，并说明理由．从①，，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．21．已知数列中，，.(1)证明:数列是等差数列.(2)求数列的通项公式.22．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．参考答案：1．C先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.【详解】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；春分的晷长为，，秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为，，，，，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.2．C先由已知条件求出等差数列的首项和公差，从而可表示出，进而利用二次函数的性质可求得结果【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，，所以，因为，所以当或时，其有最小值.故选：C此题考查等差数列前项和公式的基本量计算，考查等差数列的通项公式，考查二次函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题3．A等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．4．A由条件可设，，然后计算出和即可.【详解】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A本题考查的是等差数列前项和的特点，属于基础题.5．B由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得.∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B6．D分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.7．A根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；【详解】解：由，有，得．故选：A8．D由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.【详解】设等差数列的公差为，∵，∴，∴.∵，，∴，∴当取最大值时.故选：D.9．C设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层，即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，则．该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，则有，又，则有，即，解得或（舍去），则．故选：C．10．C由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共项从小到大排列得到数列，故数列是首项为8，公差为15的等差数列，．对于A，，，，故错误；对于B，，，，故错误；对于C，，，，故正确；对于D，，，，故错误．故选：C．11．A依题意得－＝，得数列是以＝为首项，为公差的等差数列，由此根据等差数列的通项公式可得选项.【详解】解：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝．故选：A.方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式，或进行求解；（2）前n项和法：根据进行求解；（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列中有，即第n项与第n−1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列中有，即第n项与第n−1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（k、b均为常数，且k≠1，k≠0）.一般化方法：设，得到可得出数列是以k的等比数列，可求出；②取倒数法：这种方法适用于（k、m、p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；（7）（b、c为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.12．B首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.13．B由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式.【详解】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.14．B依题意，对任意的，都有成立，即，利用数列的单调性可得，即可求解.【详解】由已知，对任意的，都有成立，即，即，又数列是首项为，公差为1的等差数列，，且是单调递增数列，当时，，，即，解得.故选：B.关键点睛：本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合已知条件得到.15．C由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．【详解】∵是等差数列，∴，，∴，．故选：C．本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．16．16先根据条件求得，再由求得，进而求得.【详解】因为等差数列，由，又，所以，即.又所以，则.故答案为：16.17．根据数列的通项公式，利用裂项相消法求解.【详解】因为数列的通项公式，所以，，故答案为：本题主要考查裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．4.根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所以．本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．19．（1），；（2）．（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的值，进而可求得等差数列的通项公式及其前项和；（2）求得，利用裂项相消法可求得，然后解不等式，即可求得满足条件的正整数的最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为．依题意有，解得，所以，；（2）由（1）得，所以．因为，即，所以．又，所以的最小值为．方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.20．选择见解析；最大；理由见解析．当时，由已知条件可得，化简可得，则是以为首项，为公差的等差数列，从而可得，再由，可求出，则为公差为2的等差数列，若选①，由，，可得，从而可求得最大，若选②，由，可得，从而可求得答案【详解】因为，所以当时，，即，即，即．所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，当时，成立，当时，，满足，所以，，故，所以为等差数列．若选①，因为，，则，可得，，可得，所以，所以，，故最大．若选②，因为，所以，解得，故，故，，故最大．21．(1)证明见解析；(2)=.(1)根据已知条件，证明－为常数即可；(2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式.(1)由已知得，＝2，－＝＝＝2，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝.22．