高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3等比数列同步练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册4.3等比数列同步练习一、单选题1．数列中，，对任意，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．52．设是数列的前项和，若，，则A． B． C． D．3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（

）A． B． C． D．4．已知数列满足，，则的前30项之和为（

）A． B． C． D．5．已知在数列中，，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列满足，且，若，则（

）A． B． C． D．7．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（

）A． B． C．1 D．8．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（

）A． B． C． D．9．等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（

）A． B． C． D．10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．4011．在数列中，，且，则的通项为（

）A． B．C． D．12．已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则（

）A． B． C． D．13．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里14．等比数列中，已知，，则（

）A． B． C． D．15．已知等比数列满足，且，则（

）A．8 B．16 C．32 D．64二、填空题16．在数列及中，，，，，设，则___________.17．已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为___________.18．已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________.三、解答题19．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．20．数列满足：，点在函数图象上，其中为常数，且.（1）若，，成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和.21．已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.22．在①=12，②2=3，③=24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且=，=，求数列的前n项和.参考答案：1．C取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.【详解】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.2．B推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.【详解】在数列中，，，则，，，以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，，因此，.故选：B.思路点睛：根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列.3．C根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，进行了第次操作后，去掉区间长度和，由，即，，又，的最小值为.故选：C.关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.4．A由，得到，从而是等比数列，求得通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求解【详解】因为，所以，所以是公比为2的等比数列，所以，所以.故选：A本题主要考查递推数列以及等比数列的求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题..5．A依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A6．B据题意求出，判断出数列递减，且，再对两边取倒数，然后平方整理得，再利用单调性进行放缩，可得出当时，，结合不等式的性质即可得解.【详解】解析：，且，∴，，则，∵，∴，即数列递减，则，∵，∴两边取倒数得，即，则，∵数列递减，∴当时，，即；当时，，即，，，，∴根据不等式的性质可得，即，∴.同理：，与选项范围不符.故选：B7．D利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，所以，所以的值为，故选：D.8．B先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.【详解】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．9．B先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出【详解】由题意得，所以，所以.故选：B10．D由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．【详解】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．11．A依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：∵，∴，由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．故选：A12．D利用等差数列的性质可求得的值，利用等比中项的性质可求得的值，进而可求得结果.【详解】由于、、、成等差数列，可得，设等比数列、、、、的公比为，则，由等比中项的性质可得，，因此，.故选：D.13．B由题可知每天走的里数形成公比为的等比数列，且，求出即可.【详解】设每天走的里数形成数列，则由题可得是公比为的等比数列，且，即，解得，则，即第二天走了96里.故选：B.14．B设等比数列的公比为，计算出的值，由此可得出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，即，可得，因此，.故选：B.15．A先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出的值【详解】等比数列满足，且，则，解得，，故选．本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题.16．由题意可得，，进而可知与为等比数列，求出通项公式，即可求解【详解】由，，得，，而，，∴是首项为2，公比为2的等比数列，是首项为1，公比为2的等比数列，∴，，则.故答案为：17．根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因，所以，所以，得或（舍去），所以，故.因为，所以.故答案为：18．由递推关系可得，解方程即可求出，代入递推关系式可得，证明数列为等差数列，即可求解，根据错位相减法求和即可.【详解】因为，，(且)，①当时，，即，由等比数列的的公比为，即，解得，所以，当时，，即，解得，又(，且)，②①-②可得，，即，化为，又，所以为等差数列，且公差，则，所以，，上面两式相减可得，所以.故答案为：.关键点点睛：由递推关系式可得出，再由递推关系式得出为等差数列是解题的关键，求出后利用错位相减法求和，属于难题.19．（I）；（II）证明见解析.（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依题意设，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.20．（1）；（2）.（1）由可算出，，，然后利用求解即可；（2），然后分为偶数、为奇数两种情况求解即可.【详解】（1）由可得，，所以，，又，，成等比数列，所以，则又，故（2）当时，当为偶数时，.当为奇数时，综上所述，21．（1）；（2）.（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，所以数列的前n项和.22．（1）答案见解析；（2）答案见解析.（1）设数列的公差为，由题意可得，根据所选条件求得的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）设等比数列的公比为，根据所选条件求得和的值，可求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得数列的前项和.【详解