高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用一、单选题1．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+2．函数在处有极值，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．3．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知是的极值点，则在上的最大值是（

）A． B． C． D．5．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．6．已知函数，则（

）A．0 B．2 C．2021 D．20227．下列说法正确的是（

）．A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若不存在，则曲线在点处无切线D．若曲线在点处有切线，则不一定存在8．“”是“函数在上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．与直线平行的曲线的切线方程是（

）A． B．C． D．10．已知，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．12．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．二、填空题13．若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.14．若曲线上某一点处的线与直线垂直，则切点的纵坐标为___________.15．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是______.16．已知函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为_________.三、解答题17．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．（1）求a的值；（2）求的单调区间．18．已知函数(1)当时，求的最小值；(2)在区间内任取两个实数，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：（其中）.19．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．20．求下列函数的导函数（1）；（2）．21．已知函数为单调递增函数，求实数的取值范围．参考答案：1．D根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.2．D求出函数的导函数,根据极值点处的导数为零,即可求得ab的长.【详解】,由,可得.故选:D.本题考查利用导数研究函数的极值问题,属基础题,主要根据极值点的必要条件求解即可.3．A本题首先可根据得出，然后求解，得出，即可得出结果.【详解】因为，所以，，若，则，解得，故“”是“”的充要条件，故选：A.4．A求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，因为是的极值点，可得，解得，所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，由，又由，所以，所以当时，函数取得最大值，最大值为.故选：A.5．B通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.6．B求可得为偶函数，可得，计算可得定值，即可求解.【详解】因为，，即，所以是偶函数，所以，又因为，所以，故选：B.7．D结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.【详解】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，故选项A说法错误；对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，故选：D．8．A由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求的范围，即可判断条件间的充分、必要性.【详解】若在上单调递增，则对任意的恒成立，∴有对任意的恒成立，即，而当且仅当时等号成立，则.∴“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A．9．D对函数求导，由可求得切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.【详解】设为切点，则切线的斜率为，解得，所以切点的坐标为.故切线方程为，即，故选：D.本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.10．D利用幂函数单调性可比较的大小，构造函数，利用单调性可比较的大小.【详解】解：幂函数在上单调递增，又，，即，构造，则，当时，；在上单调递减，，，即，，，即，综上，，故选：D.关键点点睛：构造函数，利用单调性比较的大小是本题的解题关键.11．B求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题12．C先求解的定义域并判断奇偶性，然后根据的值以及在上的单调性选择合适图象.【详解】定义域为，，则，为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；，故排除A；∵，当时，可得，当时，，单调递增，故排除D.故选：C.13．先求导，设，把问题转化为在上存在两个零点，设为且，再利用韦达定理求解，代入，整理利用二次函数求取值范围即可.【详解】因为，所以，设，因为函数在上存在两个极值点，所以在上存在两个零点，所以在上存在两个零点，设为且，所以根据韦达定理有：，故，因为，所以，，由于，所以.故答案为：.思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.14．2利用导数的几何意义与两直线垂直斜率之间的关系求解即可【详解】设该切点，在该点处的切线斜率为切线与直线垂直，∴，得.，∴.由导数的几何意义知：，∴，，∴切点的纵坐标为2.故答案为：215．由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.【详解】，，，，，当时，，，由得，由得，所以在上递减，在上递增，在处取得最小值，，，令，则，当时，取得最小值，当时，取得最大值0，所以的取值范围是.故答案为：关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令，将转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题.16．因为，可得，即，所以，是上的增函数，结合已知，即可求得答案.【详解】，，，，是上的增函数，又，，，.即故答案为：本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．（1）条件性选择见解析，；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为．（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解；（2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.【详解】解：（1）选①．由题意知，，依题意得，，即，经检验符合题意．选②．由题意知，，因为函数的图象在处的切线方程为，所以，得．（2）由（1）得，，令得，或，列表：-13-0+0-所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．18．(1)(2)(3)证明见解析（1）当时，利用导数求得的最小值.（2）将问题转化为，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.（3）由（2）得到，结合放缩法、裂项求和法证得不等式成立.(1)时，，，所以在递减，在递增.所以.(2)，表示点与点连线的斜率，又，，即函数图象在区间任意两点连线的斜率大于1，即在区间内恒成立，所以，当时，恒成立，所以，设若当单调递减；当单调递增，，又，故.(3)由（2）得，，∴，∴，

∴，，∴.利用导数求解含参数的不等式问题，可考虑利用分离常数法，通过构造函数并利用导数来进行求解.19．（1）；（2）证明见解析（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.［方法二］【最优解】：设是的一个零点，且，则．从而．令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为，进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1．［方法三］：设是函数的一个绝对值不大于1的零点，且．设，则，显然在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减．又，于是的值域为．设为函数的零点，则必有，于是，所以解得，即．综上，的所有零点的绝对值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．则在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以的极大值为的极小值为．（ⅰ）若，即或，有唯一一个零点，显然有，不满足题意；（ⅱ）若，即或，有两个零点，不妨设一个零点为，显然有，此时，，则，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为，则另一个零点为．（ⅲ）若，即，有三个零点，易知在区间内有一个零点，不妨设为，显然有，又，，所以在内有一个零点m，显然，同理，在内有一个零点n，有．综上，所有零点的绝对值都不大于1．［方法五］：设是的一个零点且，则是的另一个零点．．则，设，由判别式，所以方程有解．假设实数满足．由，得．与矛盾，假设不成立．所以，所有零点的绝对值都不大于1．【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求出的范围，然后再由零点定义以及的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得