高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.1二项式定理同步练习

一、单选题1．二项式的展开式中含项的系数是（

）．A．6 B． C． D．122．若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（

）A．4 B．6 C．8 D．103．的展开式的第3项是（

）A． B． C． D．4．的展开式中的系数为（

）A． B． C．120 D．2005．已知，则A． B．0 C．14 D．二、多选题6．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．7．下列说法正确的是（

）．A．除以90的余数是16 B．能被90整除C．除以100的余数是81 D．除以100的余数是8．已知，设，其中则（

）A． B．C．若，则 D．三、填空题9．已知（为整数）的展开式中项的系数为20，则的展开式中的常数项为_________．10．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则年以后是__________年.四、解答题11．（1）计算：；（2）计算：；（3）猜想的值，并证明你的结果．12．当是大于的正整数且时，求证：．参考答案：1．C【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】因为二项式的展开式通项为，令，则，所以二项式的展开式中含项的系数为，故选：.2．C【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数分别为，求出展开式含项的系数和含项的系数，列出方程求出．【详解】解：展开式的通项为令得故含的系数为令得故含项的系数为将，6，8，10代入检验得故选：C．3．B【分析】根据二项式定理展开式求解即可.【详解】由二项式定理展开式的通项公式得：.故选：B4．A【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.5．B【解析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.【详解】解：由题知，，且，则，，所以.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力.6．ACD【分析】对于A选项，利用组合数连乘式计算即可；对于B、C选项，利用组合数的性质计算；对于D选项，利用二项式定理即可求解所给式子.【详解】对于A选项，，，所以，则A选项正确；对于B选项，，则B选项错误；对于C选项，，则C选项正确；对于D选项，，则D选项正确,故选：ACD.7．ABC【分析】结合题意转化为恰当的二项式，利用二项式定理展开，分析公因式及余数即可得解.【详解】，∵为整数，∴能被90整除，故B正确．同理，∵为整数，∴除以90的余数为16，故A正确．，∵为整数，，∴除以100的余数为81．故C正确，D错误．故选：ABC8．AC【分析】根据二项式定理判断A，利用组合数公式结合二项式定理判断B，设是中最大项，列不等式组，求解后判断C，举反例判断D．【详解】A．，A正确；B．，所以（除非），B错；C．设是中最大项，，即，注意到，，又，不等式组可解为，所以，所以，C正确；D．例如时，，，，D错误．故选：AC．【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得．9．240【分析】根据二项式定理和多项式的乘法得到，利用展开式的通项公式即可求得其展开式中的常数项.【详解】，则其展开式中项的系数为，整理得：，解得：或，又因为为整数，所以，设展开式的通项为，令，得.所以的展开式中的常数项为，故答案为：.10．癸卯【分析】根据二项式定理分别将展开为和，求出分别在以12为周期和10为周期时的位置，即可求出天干地支的位置.【详解】因为，所以年以后地支为“寅”后面的“卯”.因为，，除以10余数为1，所以年以后天干为“壬”后面的“癸”，故年以后是癸卯年.故答案为：癸卯11．（1）4；（2）8；（3），证明见解析.【分析】对（1）（2）直接求解；猜想出，利用二项