高中数学人教A版选择性必修第二册5.3.2利用导数研究极值、最值专题练习（含解析）

利用导数研究函数极值与最值例1．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣2，若方程f（x）=0只有一个根且这个根为负根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（，+∞）例2．已知函数（其中e为自然对数底数）在x=1取得极大值，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≥0 C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e例3．已知函数在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）例4．若函数f（x）=x3﹣3ax+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．例5．若函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，则实数a的取值范围为．例6．已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是．例7．设函数f（x）=lnx+m（x2﹣x），m∈R（1）当m=﹣1时，求函数f（x）的最值；（2）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围．例8．设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：lnx≤x﹣1．例9．已知函数f（x）=xex﹣1﹣mx2﹣mx，m∈R．（1）当m=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．例10．已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．例11．已知．a∈R（1）若a=2，求f（x）的单调区间；（2）当时，若f（x）≥﹣ln2在x∈[2，e]上恒成立，求a的取值范围．例12．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）图象在x=处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）设a＞0，求F（x）=af（x）在x∈[a，2a]上的最小值及最大值．例13．已知函数f（x）=ln（ax+1）﹣，a∈R．（1）若f（x）在x=1时取到极值，求a的值及f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥ln2在x≥0时恒成立，求a的取值范围．例14．已知函数f（x）=xlnx+mx2．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若∀x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，求m的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，设g（x）=，求g（x）在区间[1，2]上的最大值．参考答案与试题解析例1．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣2，若方程f（x）=0只有一个根且这个根为负根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（，+∞）解：f（x）=ax3+3x2﹣2，∴f'（x）=3ax2+6x=3x（ax+6），∵方程f（x）=0只有一个根且这个根为负根，∴x=﹣＜0，且f（﹣）＜0，∴a＜﹣，故选A．例2．已知函数（其中e为自然对数底数）在x=1取得极大值，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≥0 C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e解：由，得f′（x）=e2x+（a﹣e）ex﹣ae=（ex+a）（ex﹣e）．当a≥0时，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，则f（x）在x=1取得极小值，不符合；当a＜0时，令f′（x）=0，得x=1或ln（﹣a），为使f（x）在x=1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．∴a的取值范围是a＜﹣e．故选：D．例3．已知函数在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx+1﹣ax+a﹣1=lnx﹣ax+a，若f（x）在x=1处取极大值，则f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，则lnx﹣ax+a＜0在（1，+∞）恒成立，故a＞在（1，+∞）恒成立，令h（x）=，（x＞1），则h′（x）=＜0，故h（x）在（1，+∞）递减，由==1，故a＞1，故选：D．例4．若函数f（x）=x3﹣3ax+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（，+∞）．解：f（x）=x3﹣3ax+a，f′（x）=3x2﹣3a，函数f（x）=x3﹣3ax+a有三个不同的零点，可得a＞0；令3x2﹣3a=0可得x=±，x∈（﹣∞，），（，+∞），f′（x）＞0，函数是增函数；x∈（﹣，），函数是减函数，函数的极大值：f（﹣）=﹣a+3a+a＞0；…①函数的极小值：f（）=a﹣3a+a＜0，…②解：①②可得：a＞；故答案为：（，+∞）．例5．若函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）．解：f′（x）=2x+=，若f（x）在区间（1，+∞）上存在极小值，则f′（x）在区间（1，+∞）上先小于0，再大于0，x→+∞时，显然大于0，故只需存在x∈（1，+∞）使得2x2+a＜0，即a＜（﹣2x2）max，故a＜﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2）．例6．已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是（，）．解：若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三个不相等的实根，设g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，则函数的导数g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，则g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=时，g′（x）=≥0，此时函数g（x）为增函数，不可能有3个根，若＞1，即0＜a＜时，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此时函数递增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极大值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极小值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，则，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此时函数递增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此时函数递减，则当x=1时函数g（x）取得极小值g（1）=﹣1﹣a+，当x=时函数g（x）取得极大值g（）=﹣1﹣ln2a，此时满足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，则ln2a＞0，则不等式ln2a＜﹣1不成立，即此时不等式组无解，综上＜a＜．故答案为：例7．设函数f（x）=lnx+m（x2﹣x），m∈R（1）当m=﹣1时，求函数f（x）的最值；（2）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围．解：（1）当m=﹣1时，f′（x）=﹣（2x﹣1）=﹣，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，且f（x）max=f（1）=0．（2）令f′（x）=，x∈（0，+∞），当m=0时，f′（x）=＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上递增，无极值点；当m＞0时，设g（x）=2mx2﹣mx+1，△=m2﹣8m．①若0＜m≤8，△≤0，f'（x）≥0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上递增，无极值点；②若m＞8时，△＞0，设方程2mx2﹣mx+1=0的两个根为x1，x2（不妨设x1＜x2），因为x1+x2=，g（0）=1＞0，所以0＜x1＜，x2＞，所以当x∈（0，x1），f'（x）＞0，函数f（x）递增；当x∈（x1，x2），f'（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（x2，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）递增；因此函数有两个极值点．当m＜0时，△＞0，由g（0）=1＞0，可得x1＜0，所以当x∈（0，x2），f'（x）＞0，函数f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）递减；因此函数有一个极值点．综上，函数有一个极值时m＜0；函数有两个极值点时m＞8．例8．设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：lnx≤x﹣1．解：（1）由题设，函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣1=，令∴f′（x）=0，得x=1，令f′（x）＞0，0＜x＜1；令f′（x）＜0，x＞1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）单调递增极大值0单调递减因此，当x=1，函数f（x）有极大值，并且极大值为f（1）=0，没有最小值．证明：（2）由（1）可知函数f（x）在x=1处取得最大值，且最大值为0，即f（x）=lnx﹣x+1≤0，得lnx≤x﹣1．例9．已知函数f（x）=xex﹣1﹣mx2﹣mx，m∈R．（1）当m=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解：（1）当m=0时，f（x）=xex﹣1，f′（x）=ex﹣1（x+1），f′（1）=2，f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0（2）f′（x）=ex﹣1（x+1）﹣mx﹣m=（x+1）（ex﹣1﹣m），①当m≤0时，ex﹣1﹣m＞0恒成立，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，有极小值f（﹣1）=﹣e﹣2+．②当m＞0时，令f′（x）=ex﹣1（x+1）﹣mx﹣m=（x+1）（ex﹣1﹣m）=0，可得1=﹣1，x2=lnm+1当0＜m＜e﹣2时，x2＜x1，x∈（﹣∞，lnm+1）时，f′（x）＞0，x∈（lnm+1，﹣1）时，f′（x）＜0，x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，此时，函数f（x）在（﹣∞，lnm+1），（﹣1，+∞）单调递增，在（lnm+1，﹣1）单调递减，有极大值f（lnm+1）=﹣，有极小值f（﹣1）=﹣e﹣2+．；当m=e﹣2时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，无极值；当m＞e﹣2时，x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，x∈（﹣1，lnm+1）时，f′（x）＜0，x∈（lnm+1，+∞）时，f′（x）＞0，此时，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（lnm+1，+∞）单调递增，在（﹣1，lnm+1）单调递减，有极小值f（lnm+1）=﹣，有极大值f（﹣1）=﹣e﹣2+．；例10．已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．解：（1）∵f（1）=1﹣=0，解得：a=2，此时f（x）=lnx﹣x2+x，（x＞0），f′（x）=﹣2x+1=，（x＞0），由f′（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，∴x＞1，∴f（x）的递减区间是（1，+∞）；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，（x＞0），∴g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，（x＞0），当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）递增，又∵g（1）=﹣a+2＞0，∴关于x的不等式f（x）不恒成立，当a＞0时，g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=﹣，令g′（x）=0，解得：x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）递减，∴g（x）在最大值是g（）=﹣lna，令h（a）=﹣lna，∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，又∵h（a）在a∈（0，+∞）递减，∴a≥2时，h（a）＜0，∴整数a的最小值是2．例11．已知．a∈R（1）若a=2，求f（x）的单调区间；（2）当时，若f（x）≥﹣ln2在x∈[2，e]上恒成立，求a的取值范围．解（1）当a=2时，，则，x＞0令f'（x）＞0，解得x＞2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2，所以f（x）增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）．（2）由，x∈[2，e]，当时，x2﹣x﹣a＞0，故f（x）在x∈[2，e]上为增函数，若f（x）≥﹣ln2，则只需，即：a≥﹣4，综上有：．例12．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）图象在x=处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）设a＞0，求F（x）=af（x）在x∈[a，2a]上的最小值及最大值．解：（Ⅰ）由题可知，f′（x）=，切线斜率k=f′（）=2e2，又f（）=﹣e，即切点为（，﹣e），故切线方程为2e2x﹣y﹣3e=0；（Ⅱ）根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，则0＜x＜e，令f′（x）＜0，则x＞e；故函数f（x）的单调递增区间为（0，e）；单调递减区间为（e，+∞）；（Ⅲ）由题可知，F（x）=a•，其定义域为（0，+∞），F′（x）=a•，由a＞0及第（2）问的结论，可知F（x）在（0，e）递增；在（e，+∞）递减，①当2a≤e，即0＜a≤时，F（x）在[a，2a]单调递增，故F（x）max=F（2a）=ln2a，F（x）min=F（a）=lna，②当a＜e＜2a，即＜a＜e时，F（x）在[a，e]单调递增，在[e，2a]单调递减，故F（x）max=F（e）=，又F（a）=lna，F（2a）=ln2a，若F（a）＜F（2a），即lna＜ln2a，＜a＜2时，F（x）min=F（a）=lna；若F（2a）＜F（a），即ln2a＜lna，2＜a＜e时，F（x）min=F（2a）=ln2a；若F（2a）=F（a），即ln2a=lna，a=2时，F（x）min=F（a）=F（2a）=ln2；③当a≥e时，F（x）在[a，2a]单调递减．故F（x）max=F（a）=lna，F（x）min=F（2a）=ln2a，综上所述，当0＜a≤时，F（x）max=F（2a）=ln2a，F（x）min=F（a）=lna；当＜a＜e时，F（x）max=F（e）=，若＜a＜2时，F（x）min=F（a）=lna，若a=2时，F（x）min=F（a）=F（2a）=ln2，若2＜a＜e时，F（x）min=F（2a）=ln2a；当a≥e时，F（x）max=F（a）=lna，F（x）min=F（2a）=ln2a．例13．已知函数f（x）=ln（ax+1）﹣，a∈R．（1）若f（x）在x=1时取到极值，求a的值及f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥ln2在x≥0时恒成立，求a的取值范围．解：（1）f′（x）==∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0即a+a﹣2=0，解得a=1．f（x）=ln（x+1）﹣，f′（x）=f′（1）=0，f（1）=ln2，∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=ln2；（2）∵f′（x）=，（x≥0），①a＞0时，ax+1＞0，1+x＞0．当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）递增，f（x）的最小值为f（0）=1≥ln2