2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国Ⅱ卷）真题及答案解析

2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国Ⅱ卷）真题及答案解析适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、四川、云南、贵州、广西、海南试卷满分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2<x⩽3}，B={x|x2−2x−3⩽0}A.[−1,3]B.[−2,−1]C.[−2,3]D.[1,3]2.若复数z满足(1+2i)z=3−4iA.1+2iB.1−2iC.−1+23.已知向量a=(2,1)，b=(1,−2)，则A.5B.3C.10D.154.已知tan⁡α=2，则sinA.-3B.−13C.5.在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6A.45°B.60°C.120°D.135°6.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，点A在C上，过A作C准线的垂线，垂足为B。若直线BF的斜率为−A.3B.4C.5D.67.已知函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为πA.[−B.[C.[−D.[8.已知a=20.3，b=logA.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的有（）A.数据1,2,3,4,5的平均数和中位数相同B.若随机变量X∼N(1,σ2C.线性回归直线y^=D.事件A,B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=xA.f(0)=0B.当x<0时，f(x)=−C.函数f(x)在(−2D.x=22是11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为A.双曲线的渐近线方程为y=±B.双曲线的离心率为2C.|MN|=2bD.△MF12.已知正方体ABCD−A1BA.若|PA|=3，则点P的轨迹长度为B.若点P到直线AB与直线CC1的距离相等，则点C.若|PA|+|PC1D.若|PA|=|PC1|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.展开二项式(x−114.已知直线l过点(2,1)，且被圆x2+y15.已知函数f(x)={2x,x⩽016.已知三棱锥P−ABC的外接球表面积为16π，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AB=1，则三棱锥体积的最大值为__________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列{an}为等差数列，且a（1）求数列{a（2）设数列{bn}满足bn=2a18.（12分）在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知cos（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin⁡A=2sin⁡C19.（12分）某高中为了解学生课余体育运动时长，随机抽取100名学生开展问卷调查，统计每位学生一周运动时长（单位：小时），按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分为五组，绘制频率分布直方图，已知各组频率依次为0.10、0.20、0.35、0.25、0.10。（1）求样本数据的中位数；（2）以样本频率估计总体，现从全校学生中随机抽取3人，设一周运动时长不低于6小时的人数为X，求X的分布列与数学期望。20.（12分）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC，AB⊥BC，（1）求证：BE⊥AC；（2）求平面ABE与平面BCC21.（12分）已知椭圆E:x24+y23=1，左右顶点分别为A1（1）证明：A1（2）求△A22.（12分）已知函数f(x)=xln（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)⩾0恒成立，求实数a的取值范围。参考答案与详细解析一、单项选择题（每题5分，共40分）1.【答案】A【解析】解不等式x2−2x−3⩽0得−1⩽x⩽3，即B=[−1,3]。又A=(−2,3]，故2.【答案】B【解析】z=3−4i1+23.【答案】A【解析】2a+b=(5,0)，4.【答案】D【解析】分子分母同除以cos⁡α：tan5.【答案】A【解析】余弦定理：cos⁡A=AB6.【答案】B【解析】抛物线焦点F(1,0)，准线x=−1，由BF斜率求出B(−1,23)，A(3,237.【答案】A【解析】ω=2，代入求得φ=−π8.【答案】B【解析】a=20.3>1，0<b<c<1二、多项选择题（每题5分，共20分）9.【答案】ABC【解析】D选项独立事件满足P(AB)=P(A)P(B)，互斥事件才满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。10.【答案】ABC【解析】D选项x=211.【答案】BC【解析】由角度求出渐近线斜率ba=312.【答案】AC【解析】B轨迹非抛物线；D轨迹为平面截面，不是线段。三、填空题（每题5分，共20分）13.【答案】−2014.【答案】3x−y−5=015.【答案】116.【答案】3四、解答题（共70分）17.（10分）（1）设公差为d，由题意：{a1+2d=52a（2）bn=22n−1，数列18.（12分）（1）辅助角公式：sin⁡(B+π6（2）由sin⁡A=2sin⁡C得a=2c，余弦定理解得c=19.（12分）（1）中位数落在[4,6)区间，中位数≈5.14；（2）随机抽取一人时长≥6h概率0.35，X∼B(3,0.35)，期望E(X)=1.05