考研数学一（线性代数）模拟试卷72

考研数学一(线性代数)模拟试卷72

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、n阶矩阵A经初等行变换得到矩阵B,那么下列命题中正确的是().

A、A与B有相同的特征值

B、AX=b是BX二b同解方程组

C、A与B的行向量是等价向量组

D、A与B有相同的特征向量

标准答案：C

知识点解析：矩阵A经初等行变挟得到矩阵B,故有可逆矩阵P,使PA=B,时

A,。2，…,0n可由

ai，a2»...»an线性表出,ai，a2，…，an也可由。2,…，/线性表出,所以

A与B的行向量是等价向量组.由于IXE-B|=IXE-PAI*I证一AI,经初

等变换，矩阵A与B的特征值是不同的.对增广矩阵作初等行变换得到同解的方

程组，仅对系数矩阵作行变换，两个方程组不同解.故选C.

X1>11

XI>21

A=,...,

••••

2、设点Pi(xi，yi，Zi)(i=l,2,s,s>4),令矩阵上"之1」贝ijS

点共面的充分必要条件是().

A、r(A)=l

B、r(A)=2

C、r(A)=3

D、l<r(A)<3

标准答案：D

知识点解析：因为A、B、C是s点共面的充分条件，r(A)=l,s个点重合=>s个点

共面：r(A)=2.s个点共线，至少有两个点不重合个点共面：r(A)=3.s个点共

面，至少有三个点不共线=>s个点共面，但并非必要条件.反之s个点共面，则可

能s个点重合、s个点共线、s个点共面，故1&(AB3.故选D.

3、设向量组可，。2,口3线性无关，则下列向量组线性相关的是().

A、a]-CC2，（12—（13，a3-ci]

B、a1+（x2，a2+a3，a3+ai

C、aj—2ci2，a2-2a3，013—2ai

D、a1+2a2，a2+2ct3，013+2。]

标准答案：A

知识点解析：直接可看出A中3个向量组有关系（Q—a2）+（a2—。3）=—®3—四）即A

中3个向量组有线性相关，所以选A.

二、填空题（本题共3题，每题L0分，共3分。）

4、设3x3阶矩阵A=[a,仇，/1，B=[p,p,p],其中a,p,pi，例均为3维列向

_I5I=4■，—

量，已知行列式IAI=2,2则行列式I[a—p,2PJ—P2,伙一2P2]I

__9

标准答案：应填一

知识点解析:根据行列式和矩阵的性质,得I[a—p,2pi—p2»pi_2p2]I=I

[a,2仇一命，Pl-2p2]I-I[p，201—02,做一2P2]I

100■

=…E3g-|“，雨021

L0-1-2.

二|A|.(-3)-|B|.(-3)=一£.

102]ro1O'

4=02-1和8=110.

5、已知矩阵Lo10JLo1

若矩阵X和Y满足

X2+XY=E,A(X+Y)B=E.则矩阵Y=.

-5-1-3-

-2-20.

标准答案：应填[-3-33.

知识点解析：由X(X+Y)=E,知X+Y=X」,于是Y=X-,-X由A(X+Y)B=E,有

■010]p021ro2-r

X=11002-1=i21,

3—1」从而

AX电二E,于是X=BA.那么L011JL010JL0

-51-4--5-1-T

X」=-101.Yn=-2-20

-302J所以-3-33.

6、已知A是四阶矩阵，ai，a?是矩阵A属于特征值入=2的线性无关的特征向量，

若A得每一个特征向量均可由ai，a2线性表出，那么行列式IA+EI=.

标准答案：应填3上

知识点解析•：因为不同特征值的特征向量线性无关，现在矩阵A的每一个特征向

量均可由四，（12线性表出，故入=2必是矩阵A的4重特征值，因此，A+E的特征

值为3（4重根），所以IA+EI=34.

三、解答题（本题共78题，每题1.0分，共18分。）

TTTT

设。=卜1，32，…，an]^0,p=[b）,b2，…，bn]#0,Kap=0,A=E+ap.试计

算：

7、IAI.

标准答案：

1+。1仇a\bi•••

。2瓦1+如与…a2A

IA1=|E+4」|=•♦*

••*

a«6|aj)z•••1+a也

1仇仇ba

01+q仇a\bz…a也

=0仇1十a?仇

•••*

••••

0ajb\ajbz•••l+a/・

1bi庆…hH

一0】100

=

—at010

••••

—001

1+X。力仇bt•••b.

JT

010.・・o

=1.=0»=o)

001…0i-l

••■•

•♦•*•.•

000…1

知识点解析：暂无解析

8、An.

n(n"Dj

标准答案:An=(E+apT)n=En+nEn_1apT+一2—En-2(apT)2+.-当k>2时,

(apT)k=(apT)(apT)....(apT)=a(apTa)(apTa)....pT=0.An=E+na[3T.

知识点解析：暂无解析

9、A-1.

标准答案：A2=(E+apT)(E+apT)=E+2apT+apT.apT=E+2apT=2E+2apT—E=2A—

E.2A-A2=E,A(2E-A)=E,A1=(2E-A)=E-apT.

知识点解析；暂无解析

10、已知A是3x4矩阵，r(A)=l,若cq=(l,2,0,2)T,(12=(-1,—1,1,a)T,

a3=(2,a,—3,—5)T,04=(1,—1,a,5产与齐次方程组Ax=0的基础解系等

价，求Ax=0的通解.

标准答案：由于ai，az，。3，与Ax=0的基础解系等价，故a】，a2，as，04必是

Ax=0的解，因为A是3x4矩阵，且r(A)=l,所以Ax=的基础解系有n—r(A)=4—

1=3个解向量，因此向量组ai>a2，(X3,04的秩必为3,其极大线性无关组就是

Ax=0的基础解系，于是

-112-1-112-

01-3a-401-3a—4

01-300a4-31-a

J0a+23-9.■003a+9(a-1下一

2

a-4

(1—a)(a—4)-

若a=

,于是Ax=O的通解是

,a3,a4的极大线性无

-1-

-1-1

1卡用

+44

.4..5.

知识点解析：暂无解析

■4a11

A—010

11、已知矩阵--330-与对角矩阵相似,求An.

标准答案：由矩阵A的特征多项式

A—4-a-1

A-41

0A-10=(A-1)

3

3-3A知矩阵A

的特征值是大产入2=1，入3=3.因为A可对角化，入=1必有两个线性无关的特征向

-3—a—1一3-1

|E-A|=000000=0

量,故r(E—A)=l.3-310-3-a0求出

a=-3.对于入=1,由(E—A)x=O,得ai=(l,1,0)T,a2=(0,1,3)丁,对于入=3,

由(3E—A)x=0,得a3=(l，0,-1)T

3-r

一11.由

-31.

rioi-iriIr-i3-r

A"=PAnP1=j1101|1-11

Lo3-1JL3"JL3-31.

知识点解析：暂无解析

TT

12、已知A是3x4矩阵，r(A)=l,若囚=(1,2,0,2),a2=(b-1,a,5),

。3=(2,a,—3,—5)T,04=(—1,-1,1,a),线性相关，且可以表示齐次方程

Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系.

标准答案：因为A是3x4矩阵，且r(A)=l,所以齐次方程组Ax=0的基础解系有

—r(A)=3个解向量.又因囚，(X2,a3,04线性相关，且可以表示Ax=0的任一解,

故向量组ai，a2,。3,04的秩必为3,且其极大线性无关组就是Ax=0的基础解

212-1-1

a-3a—41

-3a-31|

-53-9a-F2J

-112—1

0-3a—41

0a+31-a0

■03a-F9-(a-l)20.

112-1-

0-3a—41

0a+31—a0

系.由于.0(a+3)(a—4)00-当且仅当a=—

3,4或1时，r(ai,a2，ct3，a4)=3,且不论其中哪种情况，ai,Q2»(13必线性无

关.所以ai，。2，a3是Ax=0的基础解系.

知识点解析：暂无解析

rl2a

A=430

13、已知矩阵Lb5」有三个线性无关的特征向量，1=5是矩阵A的二重特

征值，A*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P,使P「A*P为对角矩阵.

标准答案：因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，入=5是矩阵A的二重特征

值，故入=5必有两个线性无关的特征向量，因此r(5E—A)=l.由

4—2—a00-a~

5E-A=-420f—210

-2一b0JLO-d-10」得/0,b=—l.又因

5+5+入3=l+3+5,知矩阵A的特征值是入］=入2=5,入3=-L又IAI=勾.入入3=一

25,伴随矩阵A*的特征值为A*(i=l,2,3),即一5,-5,25.解线性方程组

TT

(5E—A)x=0,得基础解系囚=(1,2,0),a2=(0,0,1).它是矩阵A的属于特

征值ZI=X2=5的线性无关的特征向量，也是A*的属于特征值-5的线性无关的特征

向量.解线性方程组(一E—A)x=0,得基础解系(13=(—2,2,1)T.它是矩阵A的

属于特征值九3二一】的特征向量,也是A*的属于特征值25的特征向

10-2-

令P=・看2，小］=202,

.011.

-5

有-5

量.-25J

知识点解析：暂无解析

标准答案：将c按列分块，C=|Ci，C2],且设AX]=C],AX2=C2，将两个方程一

1-1.114

[A：C]=21-12-1

112135.

121-35'

-*01-1-2：-1—6

.0—1-5一1：—5-6.

】12135-

-*101-1-2—16

,00—6-3-6—12

12135

-01~1-2-1一6,

起作初等行变换，一起求解，即,002124

TT

AX|=Ci，得通解为K|[3,-3,1,-2]+[1,0,I,0],AX2=C2,得通解为

Ki[3,-3,1,-2]T+[5,-4,2,0]T.取第三个分量为0的两个特解为K|二一

--2-1

「32

B=

00

rT

1,Xi=[-2,3,0,2],K2=-2,X2=[-h2,0,4],故24J

知识点解析：暂无解析

设ao,a1,..，3n—1是n个实数，方阵

-010•••0o-

00100

**■•*

A=•**•**••

000•••01

•••

一一a。—ai-一0T-々I

15、若九是A的特征值，证明：&=[1,X,3…,企।厂是人的对应于特征值入

的特征向量.

标准答案：入是A的特征值，则入应满足I入E-AI=0,即

IAE-A|=0

A-10…00

0A-1-00

•••■.

=>•••■*=0.

000・・・・A-1

a】az…廿2A+a<-i将第2列乘入，第3列乘入2,...，第n

列乘¥「，加到第I歹U，再按第1列展开，得

0-10…00

0

0A—10L］

（一l）e［；T+Xal］（_D・i=0,

i-0

000-A-1

ir-1

八"+X©'a2•••a^-2A+a»-i

r-0

即K+次M=0,即人应满足关系/=-£a1.

・0i»0

得证京［1,33…,九n「］T是A的对应于入的特征向量.

知识点解析：暂无解析

16、若A有n个互异的特征值Q,入2,…，猫，求可逆阵P，使P「AP二A.

标准答案：因Q,入2,…，入n互异，故特征向量白，&2,…，副线性无关，取可逆

［Ai1

阵P=的，&2,…，0］，得入」

知识点解析：暂无解析

17、设实矩阵A=(aij)nxn的秩为n—l,四为A的第i个行向量(i=】，2,…，n).求

一个非零向量xER",使x与eq,。2，…，.均正交.

标准答案：欲求与A的行向量都正交的非零向量，即求齐次线性方程组Ax=0的非

零解，因为r(A)=n—lVn,所以n元齐次线性方程组Ax=0必有非零解.因为

r(A)=n-l,即A中非零子式的最高阶数为n—l,故IAI中存在某元素au的代

数余子式Aij#)(记元素aij的代数余子式为Aij,i,j=l,2,n).于是向量

T

4=(Ak］，Ak2，…，Akn)/0,由行列式的展开法则，有

它…二。吃.

El|A|一U"一女故x.AAkl，X2=AAk2,...,X产AAkn满足方程组

W

Ax=O的每个方程RaijXj=O(i=l,2,n),即非零向量自是Ax=O的一个解,故匕

就是所求的一个向量.

知识点解析：暂无解析

18、设A、B均为N阶实对称矩阵，且A的特征值全大于a,B的特征值全大于

b,其中a,b均为实常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b.

标准答案：设兀为A+B的任一特征值，则有X/),使(A+B)x=M.由此可得[(A—

aE)+(B-bE)]x=[^~(a+6)]x,即九一(a+b)为实对称矩阵(A-aE)+(B-bE)的特征

值.设N为A—aE的任一特征值，则有y#),使(A—aE)y=py,即Ay=(|i+a)y,

故p+a为A的特征值，由题设条件，有叶a>a,故R>0,即A—aE的任一特征值

都大于零，故实对称矩阵A—aE为正定矩阵.同理可证实对称矩阵B-bE为正定

矩阵，由于同阶正定矩阵之和为正定矩阵，故矩阵(A—aE)+(B—bE)为正定矩阵，

因而它的特征值全大于零，从而有九一(a+b)>0,于是得A+B的任一特征值兀都大

于a+b.

知识点解析：暂无解析

■1a-31

A=-14-3

19、已知矩阵1-25」的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并

说明理由.

标准答案：由A的特征多项式

A-13

AE-A|=13

-1“-2=(九-2)(入2—8入+10+2)若

九=2是重根，则入2—8入+10+a中含有九一2的因式,于是22-16+10+a=0,得

a=2.此时产一8入+12=(入-2)(九一6).矩阵A的3个特征值是2(二重根)，6.对于

一1-23

r(2E-A)=r1-2

九=2,由L-12一3」知A可以相似对角化.若入=2不是重

根，则九2—8九+10+a是完全平方,于是82=4(10+a),得a=6,1=4(二重根)，对于

3一63•

r(4E—A)=r103=2/1«

入=4,由于-12-1.故a=6时,A不能相似对角

化.

知识点解析：暂无解析

20、A是3阶实对称矩阵，A2=E,如果r(A+E)=2,求A的相似对角形，并计算行

列式IA+2EI的值.

标准答案：由于A?=E,A的特征值只能是1或一1,又因为A是实对称矩阵，A

必有3个线性无关的特征向量.从r(A+E)=2和(A+E)x=0的基础解系由3-

r(A+E)=l个向量组成，知九=一1只有一个线性无关的特征向量，从而入=—1是单

1

A〜A=1

根，X=1是二重根，因此--1.由于九十2是A+2E的特征值，知

3,3,1是A+2E的特征值，故IA+2EI=3.3.1=9.

知识点解析：暂无解析

21、设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是猫二1,九2=2,入3=-1,且

1

。+1

.2.1」分别是入1,心对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特

征值加，M所对应的特征向量是求a及X的值，并求矩阵A.

标准答案：由题设有A,B=X()仇于是AA'0=X<)Ap,而AA*二IAIE,从而有A0=

可见P也是A的对应特征值》[,底—…曰°曰步行廿A立

入。久。的特征向量.又ai，。2是实对称矩阵A属

于不同特征值九1，入2的特征向量，必正交，即有aja2=a—1—a(a+l)+2=0,解得

小=

a=±1.设4」为A的对应于入3=—1的特征向量，由A是实对称矩阵知，a3

|十(a+1)工2+2J-3=0«

I(a—Dxi-ar2+4=0.

当。=1时•方程组为

Xi+2r+2xj=0,

一与十・

与囚，a2均蒸饺，即13=0解得

不~0「21

1.此时人的线性无关的特征向盘为©=-1，小=1.而P—-5

.1..1..1J3.

由于。也为A的特征向量，应与(X],。2，(X3中某一个成比例,显然不成立，故

产1+2x3=0,

I-2不+12+乃=0.

a=l不合题意.当户一1时，方程组为