考研数学三（线性代数）模拟试卷40

考研数学三（线性代数）模拟试卷40

一、选择题（本题共3题，每题7.0分，共3分。）

1、设二次型f（X],X2,X3）在正交变换x=Py下的标准形为2y/+y22—y32,其中

P=（ei，e3，e3）o若Q一（e”43，es）,则f（x]，X2，X3）在正交变换x=Qy下的标准

形为

222

A、2yi-y2+y3

B、2yi2+y22-*y32

C>2yj2-y22-ys2

222

D、2yi+y2+y3

标准答案：A

知识点解析：本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这木质上是实对称矩

阵的正交相似对角化问题，计算上主要是求n阶实对称矩阵的n个两两正交的单位

特征向量。设二次型的矩阵为A,则由题意知矩阵P的列向量ei，ez，e3是矩阵

A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2,1,—1.即有Aei=2e”

Ae2=2e2，Ae3=2e3从而有AQ二A（ei,一ej,e2）=（Aei,-Ae3，Ae2）=（2ei,一（一

200-

=（£】•一。3，。2）0—10

e3）,e2）L）。L矩阵Q的列向量由，一e3，e2仍是A的标准

正交的特征向量，对应的特征值依次是2,—1,1.矩阵Q是正交矩阵，有Q-

100-

QTlAQ=QrAQ=0-10

LQT,上式两端左乘Q/，得L°】」从而知，在正交变换

x=Py卜.的标准形为f=2yi2—y22+y32。于是选（A）。

2、二次型f（xi，X2，X3）-2x।2+X22—*4X32-4XIX2—2x2x3的标准形是

A、2yi2-y22-3y32

222

B、-2yi-*y2-3y3

22

C、2yi+y2

222

D、2yi+y2+3y3

标准答案：A

知识点解析：f即不正定(因f(0,0,1)=—4<0),也不负定(因f(l,0,0)=2>0),

l2

-2

故(B)、(D)都不对：又f的秩二矩阵L0-1-4」的秩与，故(C)不对，只有(A)

正确。或用配方法：f=2(i-a2)2-X22-~4X32-22a2=2(「a2)2-(i+a2)2-3x32-"

222

2yi-y2-3y3,其中所作满秩线性变换为

>1=v+“-yi

故(A)正确.

设4=

则A与B

A、合同且相似

B、合同但不相似

C、不合同但相似

D、不合同且不相似

标准答案：A

知识点解析：A的特征值为4,0,0,0,A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P,使

P-IAP=PTAP=B,即A与B既合同又相似。

二、填空题(本题共3题，每题L0分，共3分。)

4、设二次型f(xi，X2，X3)=xj2—X22+2axi，X3+4x?,X3的负惯性指数为1,贝!a的

取值范围是o

标准答案：[一2,2]

知识点解析：对f配方，可得f=(xi+ax3)2-(X2一2X3)2+(4—a2)X32于是f可经可逆

线性变换s’4化成标准形f=zi2—Z22+(4—a2)Z32若4-a2<0,

则f的负惯性指数为2,不合题意；若4一&2沙，则f的负惯性指数为1.因此,

当且仅当4一@2加，即|a|W2时，f的负惯性指数为1.f的矩阵为

-10a

A=0—12

q20」A的特征多项式为

7—10-a

IAE-A1=0A+l-2=尸一（5+/独+4—

・一。一2AJ设A的特征值为入i，

九2,九3,则f经正交变换可化成标准形"Myi2+Qy22+4y32Q,M，M中为负的个

数即，的负惯性指数，且由特征值的性质知入爪2九3二del（A）=4—22。由于f既可取

到正值、又可取到负值，所以入2,福中至少有一个为正的，也至少有一个为

负的。入2,入3的符号只有下列3种可能：（1）入伍2M=0,此时有Q=0,X1,2=

士/5十公.即f的正、负惯性指数都为1,符号题意。（2）无入213=V0，此时Q，

九2,右中有一个为负的，2个为正的（不可能3个都为负，否则与f可取到正值矛

盾），符号题意。（3）X1，12,X3>0,此时九1，12,心中3个都为正的，或者2个为

负的，1个为正的，都不符号题意。综上可知，当且仅当入决2九3二4一a2q）,即

间=2时，符号题意。

5、曲线2x2—xy+4y2=1的名称是_______。

标准答案：椭圆

「29"T11

A=

知识点解析：二次型2x2—xy+4y2的矩阵LT」是正定的。用旋转变

换（适当的正交变换）可化曲线方程为标准方程均x'2+入2y2—1（其中心，入2为A的

特征值，均为正数），故曲线为椭圆。

6、ftffiX12+X22+X32+41X3+4XIX3+4X2X3=1的标准方程是________

标准答案：5yi2—Y22-*y32=l

知识点解析:的特征值为九产5,九2=%=一1，曲面的标准方程为

222

5yi-y2—y3=1.

三、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

已知二次型f（xi，X2,X3）—5XI2+5X22+CX32—212+613—623的秩为2.

7、求参数c及f所对应矩阵的特征值；

标准答案:

11-3

(A-4)0A—66（2一4）久（4一9）・得A的特征值为人।=0.A：=4.A>=9.

03A-3

知识点解析：暂无解析

8、指出方程f（X|,X2，X3）=l表示何种二次曲面。

标准答案：标准方程为4y22+9y32=l,故曲面为椭圆柱面。

知识点解析：暂无解析

=P7

9、已知二次曲面方程x2+ay2+x?+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程/+4]=4.求a,b的值和正交矩阵P。

标准答案：

-1biiro

A=ba1,D=，有r:AP=PTAP=DA=0,A,=],Aj=4・

.111J.

(0+1+4=14-a+l

由,,,=>a=3,6=1.

10X1X4=0=1A|=-(6-l)2

rl1lqrlor

对于8-o,由OE一人一人==13i-*o10•得属于九的特征向量-

LiiiJLoo0.

-0-1-

对于船=1•由E-A=-11，得属于人的特征向量（1,一1,1）、

-10.

■3―111rio-1-

对于为=4•由4E-4=-11-24fo1-1，得属于船的特征向量

ooJLo00.

-1-1

(1.1,1)T.

-1/721/731/76

将以上特征向量再单位化，糊所求的正交矩阵可取为P.0-1/V32/76

1/V31/76.

知识点解析：暂无解析

10、设脑分别为n：〜、二京取一YU；./二c，X］,Xn分别为对应于

八X）—x^X，X&K，x#u

求二元函数

/（］，，）=

的最大值及最大值点。

3

标准答案：2，在x=Ly=­l处取到。

知识点解析：暂无解析

11、证明：二次型f（X）=XTAX在XTX=1条件下的最大（小）值等于实对称矩阵A的

最大（小）特征值。求三元函数f（xi，X2，X3）=3x/+2X22+3X32+2X1X3在

Xl2+X22+X32=l条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点。

标准答案：

-10-I-1or

4.对于九=A：=2,由2E-4»000一♦000.得对应的特征向量为（O・】.O）T,（I・O,-I）T.

-10-1..000.

-1o-1-|rlo-r

单位特征向量为—对于木=4,由4E-A=020-010•得对应

01JLo00.

的特征向量（1,0.1户,单位特征向量为!（1,0,1）1.于是由13题知min/=/（Jz,0，-3）=/（0.1.0）=2,

42△⑰

max/=/（±.0.±）=4,

知识点解析：暂无解析

12、设A、B为向阶实对称矩阵，A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、

b为常数，证明：A+B的特征值全大于a+bc

标准答案：证

存在正交变换X=PHP为正交矩阵,Y-，力…，y.）D,使得）CAX+.»+儿乂<

，（/+…+犬）=A.||VII2=A,||X||1,当*X。时•有**^>0,上面不等式两端同除*1*,得

/<X）=手怨《九，又八%）=争软■专等==久.，故max/（*）=A.=f（X.）.类似可证min/（*）=

Xl=f（X|）:设S为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X"九］、巴分别是A、

X?(A+6)*]

天而十无="+网>0+6

B的最小特征值，则有x]x7~

故A+B的特征值全大于a+bo

知识点解析：暂无解析

设A是n阶实对称矩阵，证明:

13、存在实数c,使对一切X6R11,^|XTAX|<CXTXO

标准答案：设A的特征值为人M，…,Xno☆c=max{|Q|,|九2I，…，厮I)，则

使x:Ax=Z儿乂•且/J=xTx,

■■-

故|XTAX|=|2］八,4|&。£乂=r/y=3”.

有正交变换x=Py,,**

知识点解析：暂无解析

14、必可找到一个数a,使A+aE为对称正定矩阵。

标准答案：因为(A+aE)T=A+aE,所以A+aE对称。又若A的特征值为Q,…，猫

则A+aE的全部特征值为笳+a,…,Xn+a,,若取a=max{|M，陶，…，|猫|+1},

则Xi+a>Xi+|Xi|+l>l,所以A+aE正定。

知识点解析：暂无解析

T

15>设n阶矩阵A正定,X=(xi，X2，…，xn)o证明:二次型

AX

/(X|，工2•…，二)

*0为正定二次型。

rE0-irA-XiA

由于J[*T0.

.0

两端取行列式，得

AX

/(X)=-=|A|XTAlX

标准答案：X0由

于A正定，有|A|>o,且A"正定，故对于任意x#),xeRn,有XTA"X>O,O

f(X)=|A|XTA-'x>0,故f(X)正定。

知识点解析：暂无解析

-220-

5=820

已知矩阵L0a6」相似于对角矩阵

16、求常数a的值；

标准答案：B的特征值为6,6,一2,由B可相似对角化，有l=r(6E-A尸

■4-20-

r—840»=>a=0.

_0—a0.

知识点解析：暂无解析

17、用正交变换化二次型f(x尸XTBX为标准形，其中X=(xi,x2,X3)T为3维向

且

里。

标准答案：f的矩阵为

run—1——11

5O-42R

20,所求正交矩阵可取为尸=11

0

06.a#

.100.它使

-6-

=7

22

P「AP一3」，故f在正交变换X=PY下化成的标准形为f=6yi+7y2-

3y32o

知识点解析：暂无解析

-Q+31

2aa~~=0有非零解，而且矩阵A=a—2

已知线性方程组^一3-3-29.

是正定矩阵

18、求常数a的值:

标准答案：由方程组的系数行列式△=a(a+l)(a—3)=0,Ha的取值范围为：0,

1,3,再由矩阵A正定，得a=3。

知识点解析：暂无解析

19、求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(X],X2,乂3户为3维实向量。

标准答案：A的最大特征值为10,设对应的单位特征向量为匕(即A。101，旦

^=l)o对二次型XTAX,存在正交变换X=PY化其为标准形：

T222222TT222

XAX=Xiy1+X22+X3y2<10(y)+y2+y3)，当XX=YY=yi+y2+y3=2Rt,有

XTAX<10x2=20,'产=应满足XT*。=2,则=(商)14《俯)=(4)

maxXJAX=20.

TT

=2^(A5)=2^(10^)=20(^=20,综上可知""20

知识点解析：暂无解析

20、设二次型f(X|,X2，X3)=X12+X22+aX32+2bxIX2一2X]X3+2X2X3(bV0)通过正交变

化成了标准形f=6yi2+3y22-*2yi2o求a、b的值及所用正交变换

的矩阵Po

■1b-1

b11

标准答案：二次型的矩阵J11。」由入i+M+入3=6+3+(—2)—l+1+a,解

得a=5,由人江2九3二—36二|A|二一5b2—2b+3,解得b二一3.所用正交矩阵可取为

知识点解析：暂无解析

xi=.(2M+2yt+yi)

<Z2=4•(-2M+%+2”>

«3

4=—2"+2^3)

21、设二次型f(Xl，X2,X3)经正交变换3化成了标准

形f=4y」+y22-2y3、求二次型f(xi，X2，X3)。

标准答案：仁x'「Ax(A为实对称矩阵)，所用正交变换的矩阵为

22

f(xi，X2，X3)=2X]~+X2-412—423。

知识点解析：暂无解析

己知二次型f(x],X2，X3)=(l—a)x/+(l—a)x22+2x3?+2(l+a)xix2的秩为2.

22、求a的值;

标准答案：由于二次型f的秩为2,即对应的矩阵

1—a14-a0

1—,a1+。

A=1+a1-a0的秩为2,所以有=

1+a1-a

0

02J-4a-o,得a-O.

知识点解析：暂无解析

23、求正交变换x二Qy,把f(x”X2，X3)化成标准形;

110

A-110

标准答案：当a=0时，1002人计算可得A的特征值为Q=Q=2,

九2=0.解齐次线性方程组(2E—A)