考研数学一（高等数学）模拟试卷357

考研数学一(高等数学)模拟试卷357

一、选择题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

1、f(x)在[一1，U上连续，则X=O是函数g(x尸一T—的().

A、可去间断点

B、跳跃间断点

C、连续点

D、第二类间断点

标准答案：A

『/(£)由

limg(jr)=lim--------=lim/(x)

知识点解析：显然X=0为g(x)的间断点，因为L。工

=f(0),所以x=0为g(x)的可去间断点，选A.

2、设尸y(x)由x—Ji''=0确定，则y"(0)等于().

A、2e2

B、2e~2

C、e2-l

D、e~2-l

标准答案：A

知识点解析：当x=0时，由一卜丁勤出二0得产I,x—八+丫。-2出二0两边对乂求导得

(1+苴)打方|也

l—e"x+y)2.心=0,解得d“=e(x+y)2_],且石1,・口一1,由叱

=

=e(x+y)2.2(x+y/+翁)得/(0)BL-O=2也应选A.

lim

3、设f(x)二阶连续可导，“0)-0,且一。则().

A、x=0为f(x)的极大值点

B、x=0为f(x)的极小值点

C、(0,f(0))为y=f(x)的拐点

D、x=0不是f(x)的极值点，(0,f(0))也不是y=f(x)的拐点

标准答案：A

知识点解析：因为「01/I+1V0,所以由极限保号性，存在3>0,当0

VIXIV6时，I才l+/vo,注意到x3=o(x),所以当0VIXIV5时，r(x)<

l/(x)>0,x6(-3,0),

0,从而F(x)在(-6,5)内单调递减，再由？(0)=0得V°u£(°滑),故

x=0为f(x)的极大值点，应选A.

4、下列说法正确的是().

lim/(X)=8,则lim/"(.r)

A、f(x)在(a,b)内可导，若…/=oo

limf\x)=8,则］im/(x)

B、f(x)在(a,b)内可导，若—J=oo

_~、十...p什lim/(z)=8,则lim

C>f(X)在(-8,+8)内可r导，右l+3一2=8

lim/(J-)=8,则lim/(x)

D、f(x)在(一00,+00)内可导，若—…lb=00

标准答案：D

知识点解析：设f(x尸

---Hsin-,)=oo./，(x)=--(1-Feos,当x=...1.

“工>-广x2'x1(2A+1)〃时，f(X)=0,

lim/'(,)

其中kE乙则…+"，A不对；设f(x);

-ZF/(“)=—二,limf'(jr)=8,但Jim/(x)

2vF「・o+=0^oo,B不对；设f(x)=x,

limf(n)=8♦但/'(z)=i,limf(jr)

…48-g-1^00,c不对,选D.

5、若由曲线y’G某点处的切线以及x=l,x=3|B成的平面区域的面积最小，则

(A)y=%+V?(B)y=5+2

(Oy=N+1

该切线是().

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：曲线在点52")处的切线方程为丫=

2«+《(％-£)=5「

"/,由于切线位于曲线y=2G的上方，所以由曲线广

2/7，切线及x=l,x=3围成的区域面积为S=S⑴二

2,1八一

J偿+〃-2-ZF)di+2〃-2J-Zr-di------'-——00

S'(t尸«t=2当

tG(0,2)时,Sz(t)<0；当16(2,3)时,Sz(t)>0,则当t=2时，S⑴取最小值，此时

切线方程为y=畲，选A.

工，0£

,S(z)=今+X。.COSW7TJ

2-2x,y<x<1

6、设f(x)=(n=0,1,2...；—oc<x

s

,

<+oo),其中an=2fof(x)cosn7ixdx,则')

(A)y(B)-y(C)(D)-4

T4

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：对函数f(x)进行偶延拓，使f(x)在(-1,1)上为偶函数，再进行周期

为2的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶

级数的和函数为S(x),则

s(-5)=s(2—,)=s(—3)=s(L“A())+f(3+o)]=^

二、填空题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

sinzdr-+n”

lim

7、…

5

标准答案：24

知识点解析：

Isin/d/-ln71+x2sirLrTZ~~i1/i_c2、•

..Jo1+%1..(1-i-x)sinj--x

hm----------------：--------------=hm---------------------=—hm--------；----------：------.

l。x，一。4x4r-0尸(1十z?)因

二13A

为sinx=x—3!+o(x3),所以当x—■()时，(l+x^sinx-x〜6,故原式二24.

8、设两曲线y=x?+ax+b与-2y=-1+x/在点（一1,1）处相切，则a=,

b=0

标准答案：a=b=3

dy

知识点解析：因为两曲线过点（一1,1）,所以b—a=O,又由y=x2+ax+b得业-1

3-2y=1-3和

=a-2,再由-2y=-l+xy3得业CLTILT,且两曲线在点（一

1»1）处相切,则a—2=1,解得a=b=3.

d2

9、设f(u)连续，则以7()XduJJvf(u2—u^dv二o

标准答案:—xf(x2-1)

11fu2-lA

---=——I/(Z)d/—

12222

知识点解析：JJvf(u2—y2)dv=2Juf(u—v)d(u—v)2Jo则di

_j_且_2X

x122xu21X22x12

IoduJuvf(u—v)dv=2dxfoduf()f(t)dt=2J()'f(t)dt,Jodujuvf(u—

v2)dv=—xf(x2—1).

10、设L为从点A(0,-1,1)到点B(l,0,2)的直线段，则

k(x+y+z)ds=。

373

标准答案：~2~

工=£,

L：Y=y~f~~=，参数形式为L：«y=-1+(,

1=1+八

ds=J借，+噜)?+(豹”二"山，

,则[(工+y+z)ds=3衣Itdt=

知识点解析：儿J。2

三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)

1VCOSJ

求lim

11、—。+x(1■-cos

标准答案:

/1―ICOSJ-

因为X0~时，1-0cosx---------1-cos-Zr------x

1+VCOSX4，

1—VCOSX1

所以limhm——=—

lT工2,

L0‘X(1-cosG)

知识点解析：暂无解析

产3+工).

12、求f(x)=(i-Darctanx的间断点并判断其类型.

标准答案：x=-I、x=0、x=l、x=2为f(x)的间断点，由

lim/(/)=lim-------~*!)------©口

・I一।(j--Darctanx=oo得x=-］为第二类间断点，由

I-\।--2*.T"+1—y

"idarctanx•j2-10一°得x=0为可去间断点，由"M(')

limfix)

=8得X=I为第二类间断点，由一/=+8得X=2为第二类间断点.

知识点解析：暂无解析

[/(X)一

«x卢0♦

X

设f(x)二阶可导，f(0)=0,令g(x)=/'(01]=0・

13、求g〈x)。

标准答案：因为映编=叫修二㈣尸幽，所以蛉)在

[f'O-f(7)

x=0处连续.当x和时，g\x)=不；

时工)八0)

当工=0时，由匕g⑹=lim__________=1而小)二心”

2

X—0X“一0Xjr-Ox

=4%f9一（（0）=匕0)，

GLO

[x/7x)-/(X)

------2------•1H0

得，⑹=方/(03即gz(x)={

41

r<o),x=o.

Iy乙

知识点解析：暂无解析

14、讨论g<x)在x=0处的连续性。

标准答案：

因为limg,Gr)=lim心『⑺=lim"3二厂⑹工△洗)二广(°)“

1。LO“4124.012

=呵--------------Vhm!------士——=F「(0)=g'(0),

所以g(x)在x=0处连续.

知识点解析：暂无解析

I2

15、设PQ为抛物线y=*的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的

最小值.

标准答案：令I'44关于y轴对称，不妨设40.y⑶=2,过P点

y_J_2(La)Q欣)

的法线方程为"4。，设'4”因为Q在法线上，所以

Z--J=_2(6-Q),解得6=-Q-色

44aaPQ的长度的平方为L(a)=(b—a)2+

；(/_/)=4/(1+±)8a(1十士)(1—5)=0得a=2力

一驻点，从而为最小值点，故PQ的最小距离为「(2")」6点

知识点解析：暂无解析

计算下列不定积分:

sinx.

-；-dx.

16、-2+cos*.r

Csin_r,fd(cosx)1cosx,八

-------ox=-----1---------=——arctan———rC.

标准答案・J24-cos-x,G/2)+cos-v272

知识点3析：暂无解析

]7」1+COST

fros2.r,cos*.r-14-1.f/

J1+COS.F-T"i--------"=(C05J--1+------)dx

1+COSTJ'1rCOSJ-f

]-COK

sior-1+—7-r--dx=siar-4—cota-+csc.r-rC,

标准答案：sin'J'

知识点解析：暂无解析

eftan?-/x

求

18、

2

—-dx=2(sec2yfx—1)d(>/^)=2(tanVx—4x)+C,

标准答案:GJ

知识点解析：暂无解析

求I1----7^-------di

[9、JJ2+sirtr+COST

标准答案：

dxx

--------------------------7C

Jv2+sinx+cosx1+cos(x—•—)=持。传一看十

知识点解析：哲无解析

、Blim+f(x)JJ-

20、设f(x)可导且F(0)=6,且1。x=0,求LO

lim.

标准答案：由MZ=0得f(0)=0,f(0)=0,

g

lim[l+/(x)]*1=lim([14-/(x)]志}J

/—Qx…

=c"J

=c=e

知识点解析：暂无解析

设f(x)在[—a,a](a>0)上有四阶连续的导数，且「幻x3存在.

21、写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式.

../Cr2

标准答案：由，史X1存在，得f(0)=0,f(0)=0,『(0)=0,则f(x)的带拉格朗日余

项的麦克劳林公式为/3!4!’其中自介于。与x之间.

知识点解析：暂无解析

22、证明：存在白，&24-a,a］,使得a5f^(小…成城心心,

a¥4)(^i)=120ffe).

1

标准答案：两边积分得^^心二可『木)(如4(^.因为W(x)在［—a,a］上为连

续函数，所以fd)(x)在［—a,a］上取到最大值M和最小值m,于是有

mx4sH(G)X4WMX4,两边在［—a,a］上积分得5"&L/dx<5",

rna?1f-...Ma力帆。「frt「Ma'6。

rU>4也《工••或=&>(jr)dj<-"-

从而6。24--・6060J-。60,于是mg。J

60

-aaf(X)dx<M,根据介值定理，存在旨日一a,a］,使得f4)&)=a/aaf(x)dx,或

a5t<4)(4i)=60f-aaf(x)dx.再由积分中值定理，存在息日一a,a］,使得a5«4)©)=60j

a

-af(x)dx=120af(^2)，即a,/明©尸120f&).

知识点解析：暂无解析

23、设aiVa2V…Van，且函数f(x)在⑶，an］上n阶可导,cG［ai，aj且f(ai)=

f(a2)=...=f(a)=0.证明：存在乐(ai，a),使得

)二区Rn(二亡：.(匚,之n

n!

标准答案：当c二街(案1,2,…，n)时,对任意的氐®,an),结论成立；设c为异

于ai，ai，...»an的数，不妨设aiVcVaz<…<an.令k=

__________f(c)__________

(c一/).一。2)…(c-明)，构造辅助函数(p(x)=f(x)-k(x-ai)(x-a2)...(x-

an),显然Q(X)在［ai，an］上n阶可导，且(p(a］户(p(c)=(p(a2)=…=(p(an尸0,由罗尔定

(，)

理，存在旨⑴E(ai，c),及⑴&c,a2)，…，^ne(an-ban),使得

8(。⑴)=<P'(陵⑴尸一=<P0n⑴)=0，即q)'(x)在(ai，an)内至少有n个不同零点，重复使

用罗尔定理，则(p(nr)(x)在⑶，an)内至少有两个不同零点，设为ci，C2&a|,

an),使得泮-1)©尸*一%2)=0,再由罗尔定理，存在差(C］,C2)U(ai,a》使

得(p(n)(0=o.而(p(n)(x)=f<n)(x)—n!k,所以阿©)=n!k,从而有f(c)=

(c-a,)(c-a)•,•(<,-a„)

2⑺(e).

知识点解析：暂无解析

24、设F(x)在［0,1］上连续,且f(l)-f(0)=L证明：JoF(x)dxNl.

标准答案：由氧)尸J()5(x)dx,得

12=1Klo1r(x)dx)Mo11^x/o1f2(x)dx=Jo1^2(x)dx,WJo'f^xJdx^l.

知识点解析：暂无解析

■1~T~-4"

设曲面Z：2-4=1及平面兀：2x+2y+z+5=o.

25、求曲面£上与兀平行的切平面方程.

一5+/+J1

标准答案：设切点为Mi)(xo，yo，zo),令F(x,y,z)=24则切-平面

的法向量为产卜°'"°'彳｝,因为切平面与平面兀平行，所以

Io2>o20x02yoNo

・…一一---.・■一・，SIS-

222222=3得x0=2t,yo=t,zo=2t,将其代入曲面方程，得

上工(1♦丁•】)及(一1.—工，一】)

t=2,所以切点为'2'I-2'儿平行于平面兀的切平面为兀|：

2(y-l)2(y+4)

2(x—1)+'2，+(z—1)=0,即兀i：2x+2y+z—4=0兀2：2(x+l)+2

+(z+l)=0,B|J7i：2