考研数学（数学一）模拟试卷413

考研数学(数学一)模拟试卷413

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、当X—>0时，f(x)=In(l+x)・(ax2+g(x)与g(x)=xtanx是等价的无穷小，则常数a,b

的取值为

A、a=2,b=l

B、a=2,b=1

3

C、a=2,b=-l

D、a=2,b=-l

标准答案：A

知识点解析：本题考查尢穷小阶的问题——见到确定无穷小阶的问题，就想“三

法，，—等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法，此处用等价无穷

小代换处理g(x),用泰勒公式处理ln(l+x)可快速求得结果.解:xT)时,g(x)〜

x2.由ln(l+x)=x-2+。(乂2),得f(x)=x-+o(x2)-(ax2+bx)=(1-b)x-(a+)x2+o(x2).由

题设可知l-b=O,-(a+)=l,即有b=La=.

2、使函数f(x)=x3+ax+b在区间(-8,+8)内只有一个零点xo(且xo〈O)的常数a,b

的取值范围是

A、a<0,b<0

B、a>0,b<0

C、a<0,b>0

D、a>0,b>0

标准答案：D

知识点解析•：本题考查函数零点问题——见到函数零点或方程实根以及两曲线交点

的问题，就要先找函数再定区间，然后用零点定理，若还要研究个数，则必用函数

的单调性及极(最)值处理.解：因f(x)在(-8,+8)内连续，」%°f(x)=8,」+一

f(x)=+co,故由零点定理可知f(x)在(-8,+CO)内至少有一个零点.又f(x)=3x，a,

为使f(x)只有一个零点，需近0(保证f(x)单调)，而零点x()VO,f(O)=b,故只要

b>0.注：上述结果“aK),b>0"只是f(x)在(。，+8)内只有一个负零点xo的充分

条件.

A、f(l)>f(2),I|>I2

B、f(l)<f(2),Ii>h

C、f(l)>f(2),Ii<I2

D、f(l)<f(2),I|<I2

标准答案：A

知识点解析：本题考查函数的单调性及定积分的几何意义.首先要能够从所给图形

看出f(x):在包含x=l,x=2的区间内单调减少(因导函数图形在x轴下方)，然后把

h，12写成定积分可得.解：由所给y=「(x)的图形可知，f(x)在包含x=l,x=2的

区间内单调减少，故f(l)>f(2).又1日(1)4(0)」。「仁心，12=靛2)/(1)」「小心，

由定枳分几何意义及所给图形可看出，11>12.

*，0«1,

1•，一•冈

4、设f(x)=1，I0zVx，它的正弦级数为bnsinnx,则等式f(x)=bnsinnx成立的

区间是

A、［0,兀］

B、［0,兀)

C、(0,兀］

D、(0,兀)

标准答案：B

知识点解析：本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理，只要能够根据题设条件判

断出所得正弦级数是把f(x)作奇延拓还是偶延拓以及相应的周期即可.解：由题设

条件可知本题要把f(x)作奇延拓，周期为2兀.再由狄利克雷定理可画出正弦级数

8

y

的和函数的部分图形如图所示，显然等式f(x)=^fbnsinnx成立的区间为［0,

5、设A是mxn矩阵，B是mxs矩阵，若矩阵方程AX=B有解，则必有

A、矩阵A的列向量组可由矩阵B的列向量组线性表示.

B、矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示.

C、矩阵A的行向量组可由矩阵B的行向量组线性表示.

D、矩阵B的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示.

标准答案：B

知识点解析：本题考查向量组间的线性表示问题，这需要由条件建立相应的线性表

示式——将矩阵A,B按列分块，再由矩阵乘法即可看出.解：记A=（ai，

。2，…，an）,B=（Pi，02，…，0s），则由条件有（ai，a2，…，an）

*1Xlt•••X|/

工21…Xtl

•••

•••

-Xgl聋2p2»...»ps）»即有xuai+x2ia2+...+xnia=0i，

XIsa1+X2s«2+...+xnsas=Ps-可见矩阵B的每一个列向量均可由A的列向量组线性表

示.

6、设二次型f（X],X2,X3）=xTAx的秩为2,且矩阵A满足A2+A=0,则与A相似

1

（A）1.(B)-1

.0.0.

-11

（C）-1(D)0

的矩阵是[0

-1

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：本题求A的相似矩阵.首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵，而

实对称矩阵必可相似对角化，且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似；另

外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数（重根计重数），那么问题便

转化为求矩阵A的特征值上来了，这是求抽象矩阵的特征值问题——见到n阶矩

阵A的多项式方程f（A）=O,就知A的特征值满足方程f.尸0.解：设入是矩阵A

的任意一个特征值，a是相应的特征向量，即Aa=Za.用a右乘题设等式条件，得

A2a+Aa=0,即有（/+入）a=0.因口¥0,故有#+入=0,从而兀=（）或入=」.又由矩阵

A的秩为2可知，矩阵A的特征值为0,-1,-1,实对称矩阵A必与以它的特征值

0,-1,为主对角线元素的对角矩阵相似.注：实对称矩阵与以其特征值为主对

角线元素的对角矩阵也是合同的.

7、设X服从正态分布N（wo2）,Xi，X2,X3,歹<4是来自总体X的简单随机

样本，为样本均值，若概率P{IX-|AI<a}=P{I中I<b},则a,b满足的关

系为

A、a=b

B、b=2b

C、2a=b

D、a=4b

标准答案：B

知识点解析：本题考查已知正态分布求概率问题——见到已知正态分布求概率问

±

题，就要想到以下三点：①标准化；②P{xVg=P{x>p}=23为该正态分布的

数学期望）；③服从正态分布的随机变量X在数学期望M左右两侧对称区间上取值

的概率相等.本题用标准化，分别将X,凶标准化即可看出.解：因P{IX-

nI<a}=-l；由知，故由题设条件可得，即a=2b.

8、设Xi，X2，…，XMn>l）是取自总体X的简单随机样本，且DX=O2>0,又为

样：均值，则Xn-0与的相关系数为

A、-1

B、0

C、1〃

D、n-1

标准答案：B

知识点解析：本题考查求统计量的数字特征问题，用“运算性质法”及“己知分布法”

求解即可.解：由题设条件可知，DXi=o,"入x抑，故口由于Xi，

X2，…，Xn相互独立，所以由时，COV（Xn，Xi）=O,于是因此Xn-的相关系数为

0,应选（B）.注：简单随机样本X1，X2，…，Xn是相互独立且与总体同分布的，

解题时不能忽视这一点.

二、填空题（本题共5题，每题分，共5分。）

pe*sint.

9、设当x-0时，a（x尸（1一。/）丁-1与0（x尸J。丁是等价的无穷小，则常数

a=.

标准答案:-2

知识点解析：本题考查无穷小阶的问题一见到确定无穷小阶的问题，就想“二

法，，—等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法.此处用等价无穷

小代换与求导定阶法分别处理a(x),伙x)即可快速求得结果.解：x-0时，a(x)〜

-A0冈

4ax?因X—>0时,，从而得，a=-2.

10、微分方程tanydx-(l+ex)sec2ydy=0满足条件y(0)=4的特解为.

2

标准答案:y=arctan

知识点解析：本题考查求解一阶微分方程问题，要先判定其类型，再用相应的方法

求解即可.木题为变量可分离微分方程，先分离变量后两边积分可得.解：原方

程变形为tany.1+/两边积分，得口既有得InItanyI=-皿1+3

x)+lnICI即tan尸由y(0)=,得C=2,故所求特解为y=arctan.

11、设曲面Z为z=4一'",则Jk(x2+y2+z2-3xyz)ds二.

标准答案：32兀一

知识点解析：本题考查第一类曲面积分的计算问题，其基本方法是化为二重积分进

行计算，但要先化简一见到曲线、曲面积分，就要想到能否利用积分曲线方程、

积分曲面方程简化被积函数，以及利用对称性化简.解：因积分曲面Z为球面

x?+y2+z2=4的zK)部分，显然关于zOx面，yOz面对称，故原积分二』

777I*1

(x2+y2+z~)ds-3xyzds=ds-0=32n

12、设三维列向量cq,g。3线性无关，且向量0i=ai+2a2+3a3，。2=，2+。3,

P3=ai+a3»则秩r(Bi，隹，的)=.

标准答案：2

知识点解析：本题考查求抽象向星组的秩的问题，可用初等变换法求解，也可由题

设条件建立一个矩阵的等式——见到一组向量由另一组向量线性表示，就要想到

“三个东西”，由此矩阵等式可得.解1因(m，02,p3)=(ai+2a2+3a3,a2+a3,

Cj—C]Ix]、

ai+as)—*(2a2+2a3?a2+as，ai+a3)(0,a：+a3，ai+a3),由ai，s，。3线

性无关易知a2+a3，ai+ci3线性无关,故r(a2+a3,ai+03)=2,从而「(伙，仞，

03)=2.解2由题设条件，有(伙，p2»p3)=(ai，g013)因ai，a2，a线性无关，

故矩阵A=(ai，az，a)满秩，从而r(0i，仞，p3)=r=2

13、设随机变量X与Y相互独立，且X服从正态分布N(0,1),Y在区间[-1,3]

上服从均匀分布，则概率P{max(X,y)>0)=.

标准答案：百

知识点解析：本题考查求相互独立随机变量的最大值、最小值函数的概率问题，利

用最大值、最小值函数分布常用处理方法求解即可.解：P{max(X,Y}>O}=L

1—3土

P{max(X,Y)<0|=l-P［X<0,Y<O}=1-P{X<O)P{Y<0)=23-(-1)8

三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)

、、-e-^>re"dz

14、设x£(0.+oo),证明：xL

一Led—国、

标准答案：令(p(x尸彳J*,则<p'(x尸故(p(x)在(0,+8)内单调减

小.而(p(x尸0,从而有(p(x)>0,即

知识点解析：本题是函数不等式证明问题，可利用单调性证之.第(口)问只要求得

f(x)在区间［0,+8)上的最大值、最小值即可.注：求连续函数f(x)在区间［a,b］上

的值域问题一般是利用求f(x)在该区间上的最大值与最小值得到，要注意值域区间

端点的取舍.

15、记f(x)=J,,试求函数f(x)在［0,十8)内的值域.

标准答案：因P(x尸L而由(I)

可知，当x>0时:有山从而有r(x)V0,即f(x)在(0,+00)内单调减小.又因此

函数f(x)的值域为(0,］.

知识点解析：暂无解析

(Pydy।_

16、试利用变量代换x=cost将微分方程(1x2)d.#—|北+仃=°化为关于y,t的方

程，并求原方程的通解.

标准答案：因x=cost,故由二-Sint,于是口将X,代入原方程，得即

+4y=0.这是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为y=ClCOs2t+C2sin2t.由

x=cost,作如图所示的直角三角形，故原方程的通解为y=Ci(2cos2t-l)+C2.2sintcost

=Ci(2x2

知识点解析：本题考查利用变量代换将不可解的微分方程化为可解的方程，其关键

的运算是导数的计算.求解过程中要注意复合函数求导法则的灵活应用.

设二元函数f(x,y)在单位圆区域x2+y2sl上有连续的偏导数，且在单位圆的边界曲

线上取值为零，f(0,0)=1.

r亚

17、令x=rcosO,y=rsinO,证明xf\(x,y)+yfy(x,y)=:

¥一驶学+%？=/；・cos6+/；•sin8.

标准答案:因x=rcosO,y=rsin0,故“""

两边同乘r,得'%'+/；・*'="：+/.

知识点解析：本题主要考查多元抽象复合函数偏导数的计算与二重积分的计算问

题.第(I)问利用二元复合函数求导法则求导即可；第(U)问要把二重积分化为极

坐标系下的累次积分.最后的求极限要用到二重积分的积分中值定理.

lim

18、求极限l。+%X',其中区域。为圆环域/0x2+y2q.

jj-^-rdrd^=limjj-j^drdO=limI此j^dr

=1而j[/(rcos6・，sind)]1•d。

=limff/(cos^,sin0)d0—I/(ccos^,csin

标准答案：原极限…U。J。」因f(x,y)在

单位圆边界上取值为零，故f(cos9,sin0)=0.再由二重积分积分中值定理，得原

lim

极限=《一。+[-2兀f(ecosO,£sin9)]=-2nf(0,0)=-2K.

知识点解析：暂无解析

/=j——---dx+[h+2>ln(x++—)]dy，

19、计算曲线积分)L其中曲线L是

沿单位圆x?+y2=l的上半圆周从点A(0,1)到B(-l,0)的一段弧.

标准答案：因P(x,y)=

,・Q(z・y)=_r+2yln(z+),

八十12

台备，聋=!+2,[不去”号)卜什普显然S=1；故考

虑用格林公式计算.补线段，则匕其中因此I二

知识点解析：本题考查第二类曲线积分的计算问题.由条件特点，考虑用格林公式

转化为二重积分计算.

20、将函数人*)=2+卜|-130)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求数项

V—1-

级数£(2解主])2的和.

标准答案：因f(x)=2+IxI是偶函数，且展开成以2为周期的傅里叶级数，故ao二

「□

JT(2+|xI)dx=(2+x)dx=5,an=(2+IxI)cosnnxdx=(2+x)cosn7txdx=,n=l,

2,3,…，bn=(2+IxI)sinrmxdx=O,n=l,2,3,....由于f(x)在区间[-1,l].h

满足狄利克雷收敛定理条件，故有上式中令x=0,得因此

知识点解析：本题考查函数的傅里叶级数展开式问题，只要求出相应的傅里叶系数

即可.注：读者要熟记傅里叶级数及其傅里叶系数的一般形式，即

八，)〜圻寸…伊)+"伊)]，

a*=-+J/(_r)cos(贷r)cLr.”=0,1.2,….

'=:1/8'早虫…=123,….另要熟悉狄利克雷收敛定理的条件与结

论.

xi-F2xt-2x3=1»

«2xi-i-kxt4-xs=2.

设有非齐次线性方程组3为+勺一工3=3.,已知3阶矩阵B的列向量均为此方程组

的解向量，且r(B)=2.

21、求参数k的值及方程组的通解

12-2-

2kI

标准答案：记A=l_31-1」，b=U，B=(pi，的，P3).由题设可知0],为，

03均为Ax=b的解.又r(B)=2,即r(0],例，的)=2,不妨设01，历线性无关,于

是是方程组Ax=0的解，即齐

知识点解析：本题主要考查非齐次线性方程组求解问题.先由条件可知方程组对应

的齐次方程组有非零解，故其系数行列式等于0,以此可得k,进而可求得原方程

组的通解.由第(I)问可求得AB,进而再求(ABV一见到求方阵的高次第问

题，就要想到“秩I法”与“对角化法”，问题顺利解决.

22、若A为此线性方程组的系数矩阵，求(ABp

标准答案：由题设条件可知，Api=b,Ap2=b,A斤b,将上述三个向量等式合并

成一个矩阵等式，得(Api，Ap2,Ap3)=(b,b,b),即A(pi，例，03尸(b,b,

11rr

2222

b).从而有AB」33

3.-3」口1l]=apT,其中a=(l,2,3)T

知识点解析；物无解析

23、设二次型f(x,x,x)=二十1+H-2xiX2-2xiX3+2ax2X3通过正交变换化为标准形

f=24+2乂+力＞,求常数a,b及所用正交变换矩阵Q.

标准答案：二次型f(X],X2,X3)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为

•1-1-r

-11a

A=L-1a1J,A=0由题设可知A〜A,故有于是矩阵A的特征值为

入1=入2=2,入3=1.求解方程组(2E-A)x=0的基础解系，得九1=九2=2对应的特征向量

为。尸(1,0,-1),，a

知识点解析：本题考查用正交变换化二次型为标准形问题——见到二次型xTAx经

正交变换化为标准形yrAy,就要想到矩阵A与A用似，从而A与A有“四等五相

似”，以此可得a,b.然后再求出A的特征值、特征向量即可.

某商场销售某种型号计算机，只有10台，其中有3台次品，现已售出2台.某顾

客又来到该商场购买此种型号计算机.

24、若该顾客只买1台，求他买到正品的概率

标准答案：记人=”从剩下的8台计算机中任取一台为正品”，Bi廿售出的2台中恰