培优专题 相交线与平行线猪蹄模型-浙教版数学七（下）核心素养评估作业

培优专题相交线与平行线猪蹄模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业一、选择题1．小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的()A．南偏东60°方向 B．北偏西60°方向C．南偏东50°方向 D．北偏西50°方向2．如图，将一块含60°角的三角板放置在两条平行线上.若∠1=40°，则∠2的度数为()A．60° B．40° C．30° D．20°3．（2025七下·杭州月考）如图，已知AB//CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB=α，∠PHD=β，（α>β，且a，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论：①∠P=a-β：②2∠E+α=180°+β：③若∠CHP-∠AGP=∠E，则∠E=60°；其中正确的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．刚上七年级的小红在“抖空竹”时有一个发现：可以把它抽象成自己正在学习的几何问题。如图，已知AB∥CD，∠A=20°，∠E=60°，则∠C的度数为()A．20° B．40° C．60° D．70°5．（2025七下·杭州月考）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO=α,∠DCO=β，则A．α+β B．18C．12(α+β6．如图，a∥b，Rt⁡△ABC的直角顶点C在直线b上．若∠A=A．18∘ B．22∘ C．25∘7．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1=35∘A．50∘ B．60∘ C．70∘8．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=40°，则∠2为()A．60° B．40° C．30° D．20°9．①如图1所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=180∘；②如图2所示，AB∥CD，则∠E=∠A+∠C；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线FH交直线CD于点H，∠AEF的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130°，∠FHC=15°，则∠M的度数为（）A．65° B．55° C．50° D．45°二、填空题11．（2024七下·杭州期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB，∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连结AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E．若∠CAE=45°，∠ACB=52∠DAE，则∠AFD12．如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为点E，现进行如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为点E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为点E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为点E3；……第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线，交点为点En.若∠Eₙ=1°,则∠BEC等于°.13．（2024七下·西湖期中）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=22°，则∠EBC的度数为.14．（2024七下·慈溪期中）如图，已知AB∥CD，点E,F分别在AB,CD上，点G,H在两条平行线AB,CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若15．（2024七下·宁波期中）如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E−∠F=51°，则∠CDE=．16．如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF，∠三、解答题17．（2025七下·上城期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB,CD之间，连接（1）求证：∠BEF+∠FHD=∠EFH．（2）如图2，点M在直线AB与CD之间，且ME∥HF，若∠MEF=2∠BEF,∠FHD=42°，求（3）如图3，连结MH，移动点M至直线AB上方，使得MH∥EF，延长ME交直线HF于点P，若∠MHD=n∠PHD,∠EPH=180°n（n为整数且n≥1），求18．如图，已知AB∥CD，点P在AB，CD之间，连结AP，CP.（1）如图①，AP1平分∠PAB，CP1平分∠PCD，试探究∠APC与∠A（2）如图②，在(1)的条件下，AP2平分∠P1AB，CP2平分∠P1CD，则∠APC与∠A（3）按照以上规律进行下去，∠APC与∠APnC19．（2024七下·杭州期末）综合与实践【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．易证：∠APC=∠BAP+∠PCD．下面是两位同学添加辅助线的方法：小刚：如图2，过点P作PQ∥AB.小红：如图3，延长AP交CD于点M.请你选择一位同学的方法，并进行证明：【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG=∠AGE，求证：AC∥EF；【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF=∠AEG，∠PGE=2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．20．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．（1）【建立模型】如图①②已知AB//CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O,AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE=45∘始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD//MN,CE//BA，求∠BAO（3）【拓展应用】如图(4)，已知AB//CD,BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E−∠F=75∘，求∠CDE

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：如图，作CD∥AB，则∠ACD=∠BAC=5∴∠DCE=10∵AB‖CD,AB‖EF,∴CD∥EF，∴∠CEF=∠DCE=6∴科技馆位于小亮家的南偏东60故答案为：A.【分析】作CD‖AB,，根据平行线的性质得∠DCE=60∘,再根据CD‖EF,2．【答案】D【解析】【解答】解：如图：延长FG交CD于点E，∵∠FGH是△EGH的一个外角，∴∠FGH=∠2+∠3=6∵AB∥CD，∴∠1=∠3,∴∠2+∠1=6∵∠1=4∴∠2=6故答案为：D.【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答.3．【答案】D【解析】【解答】解：

①如图，作PM平行CD，由平行线的传递性知，AB∥CD∥PM，∴∠BGP=∠MPG=α，∠PHD=∠MPH=β，

∴∠HPG=∠MPG-∠MPH=α-β；

②过F作FN∥CD，同理可得AB∥CD∥FN，

∵HF平分∠PHD，

∴∠NFE=0.5β，

∵GF，GE分别平分∠PGB和∠AGP，

∴∠AGE=（180°-∠PGB）÷2=90°-0.5α，

由猪蹄模型的结论可知，∠E=∠AGE+∠EFN，

∴∠E=90°-0.5α+0.5β，

2∠E=180°-α+β，

∴2∠E+α=180°+β；

③由②可知2∠E+α=180°+β，化简得α-β=180°-2∠E，

∠CHP=180°-β，∠AGP=180°-α，

若∠CHP-∠AGP=∠E，

即180°-β-（180°-α）=∠E

∴∠E=α-β，

又∵α-β=180°-2∠E，

∴180°-2∠E=∠E，

∴∠E=60°；

故①②③均正确

故答案为：D.【分析】①作PM平行CD，通过平行线的传递性和两直线平行内错角相等的性质，进而表示∠E；②过F作FN∥CD，同理，分别表示出∠AGE+和∠EFN，进而根据猪蹄模型，直接代入得关于∠E的表达式；根据平角和角平分线，分别表示∠CHP和∠AGP，再结合②的结论，即可求得∠E大小.4．【答案】B【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，如图，

∴∠A=∠AEF=20°，

∴∠FEC=∠AEC−∠AEF=40°，

∵EF∥CD，

∴∠C=∠FEC=40°，

故答案为：B．

【分析】过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，进而得到：∠A=∠AEF=20°，进而求出∠FEC的度数，最后根据平行线的性质即可求解．5．【答案】A【解析】【解答】解：过点O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD∴∠BOE=∠ABO=α,∠COE=∠DCO=β,∴∠BOC=∠BOE+∠COE=α+β.故答案为：A.

【分析】过点O作OE∥AB，则有AB∥OE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等得到∠BOE=∠ABO=α,∠COE=∠DCO=β,然后根据角的和差解题即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：过B作BD∥a，

∵a∥b，

∴BD∥b，

∴∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，

∵∠ACB=90°，∠A=43°，

∴∠ABC=90°-∠A=47°，

∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47°-25°=22°

∴∠1=22°．故答案为：B.【分析】过B作BD∥a，得到BD∥b，推出∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠A=47°，因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22°，即可得到∠1=22°。7．【答案】B【解析】【解答】解：过点P作PN∥AB，

∵AB∥CD，

∴PN∥CD，

∴∠1=∠3=35°，∠2=∠4=25°，

∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=35°+25°=60°．故答案为：B.【分析】过点P作PN∥AB，根据平行公理的推论得到PN∥CD，再根据平行线的性质解答即可。8．【答案】D【解析】【解答】解：过B点作BK∥a，∵BK∥a∴∠ABK=∠1∵a∥b∴BK∥b∴∠KBC=∠2∵∠ABK+∠KBC=60°∴∠1+∠2=60°∵∠1=40°∴∠2=60°−40°=20°．故答案为：C．【分析】过B点作BK∥a，根据平行线的性质可得∠ABK=∠1，∠KBC=∠2，由∠ABK+∠KBC=60°，得∠1+∠2=60°，即可得到答案．9．【答案】C【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；

∵AB∥CD∥EF

∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；

∵AB∥CD∥EF

∴∠E=∠A+∠C，②正确；

∵AB∥CD∥EF

∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；

∵AB∥CD

∴∠A=∠C+∠P，④正确；

∴②③④正确，正确的个数为3个

故答案为：C.

【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，延长EF交CD于点P，作MN∥AB，

∵AB∥CD,∠BEF=130°，

∴∠EPD=180°−∠BEF=50°，∠AEF=180°−∠BEF=50°，

∵∠FHC=15°，

∴∠EFH=∠EPD+∠FHC=65°，

∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH=∠EFH=65°，

∴∠FGC=∠FHC+∠GFH=80°，

∵ME、MG分别平分∠AEF、∠FGC，

∴∠AEM=12∠AEF=25°,∠MGC=12∠FGC=40°，

∵MN∥AB，

∴MN∥AB∥CD，

∴∠AEM=∠EMF=25°,∠MGC=∠GMN=40°，

∴∠EMG=∠EMF+∠GMN=65°.

故答案为：A.

【分析】利用平行线的性质求得∠EPD的度数，再通过三角形外角定理计算出∠EFH的度数，接着有角平分线的定义得到∠GFH的度数，进而求得∠FGC的度数，作MN∥AB11．【答案】54°【解析】【解答】解：

∵AE平分∠DAF，

∴设∠EAF=∠DAE=x，

又∵AD⊥PQ，∠CAE=45°，∠ACB=52∠DAE，

∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-2x，∠ACB=52x，∠ACD=90°-∠CAE-∠DAE=45°-x，

∴∠BCQ=∠ACB+∠ACD=52x+(45°-x)=32x+45°，

又∵AB∥PQ，

∴∠MBC=∠BCQ=32x+45°，

又∵BC平分∠ABM，

∴∠ABM=2∠MBC=3x+90°，

∴∠ABN=180°-∠ABM=90°-3x，

如图，过点A作AG∥MN，

∵MN∥PQ，

∴AG∥PQ，

∴∠BAG=∠ABN=90°-3x，∠FAG=∠AFD=90°-2x，

又∵AB⊥AF，12．【答案】2【解析】【解答】解：如图①，过E作EF//∵AB//∴AB//∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，

∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE∵∠ABE1和∠DCE∴∠BE∵∠ABE2和∠DCE∴∠BE…以此类推，∠E∵∠En=1°

∴∠BEC故答案为：2【分析】如图①，过E作EF//AB，根据平行公理及其推论得到AB//EF//CD，进而根据平行线的性质得到∠B=∠1，∠C=∠2，等量代换得到∠BEC=∠ABE+∠DCE，再根据角平分线的定义得到∠CE13．【答案】23°【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，∵AD∥BE，∴AD∥BE∥PC，∵AD∥PC，∴∠ACP=∠DAC，同理可得：∠BCP=∠EBC，∵∠ACB=∠ACP+∠EBC，∠ACB=45°，∠DAC=22°，∴∠EBC=∠ACB-∠DAC=45°-22°=23°.【分析】过C作直线AD的平行线CP，根据平行公理可得AD∥BE∥PC，然后根据两直线平行，内错角相等得到∠BCP=∠EBC，∠ACP=∠DAC，然后根据角的和差解题.14．【答案】32°【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，

∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，

∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，

∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，

∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，

∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，

∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，

∴∠AEM=12∠AEG，∠MHF=12∠FHG，

∴∠AEM+∠MHF=12∠AEG+12∠FHG=12∠AEG+∠FHG=12×104°=52°，

∵∠KHF=∠HFD=20°，

∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，

∵MP∥AB，AB∥KH，

15．【答案】34°​​​​​​​【解析】【解答】解：延长DE交AB于点N，延长BF交CD于点M，如图所示：

∴∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.

∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，

∴∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.

∵AB∥CD，

∴∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.

∵2∠E−∠F=51°

∴2(∠NBE+∠BNE)－(∠MDF+∠DMF)

=∠NBF+2∠MDE－12∠MDE－∠NBF=32∠MDE=51°.

∴∠CDE=∠MDE=34°.

故答案为：16．【答案】5【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：

∵AB∥CD，EH∥AB

∴AB∥EH∥CD

∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF

∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD

同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF；

∵∠EAF=23∠BAF，∠ECF=23∠DCF

∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+23∠BAF+23∠DCF+∠FCD=53∠BAF+53∠DCF

=53（∠BAF+∠FCD）=53∠AFC

∵∠AEC=m∠AFC

∴m=5317．【答案】（1）证明：如图，过点F作MN∥AB，∴∠EFM=∠BEF∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠MFH=∠FHD，

∴∠EFH=∠EFM+∠HFM=∠BEF+∠DHF；（2）解：设∠BEF=α，而∠MEF=2∠BEF，∠FHD=42°，∴∠MEF=2∠BEF=2α，由(1)得：∠EFH=∠BEF+∠DHF=α+42°，∵ME∥HF，∴∠MEF+∠EFH=180°，∴2α+α+42=180，解得：α=46°，∴∠MEF=92°；（3）解：设∠PHD=β，而∠MHD=n∠PHD∠EPH=∴∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，由(1)得：∠EPH=∠BEP+∠DHP,∴∠BEP=∵AB‖CD,∴∠MQE=∠MHD=nβ,∴∠M=180∘∵MH∥EF，∴∠PEF=∠M=180∘∴∠PEF:∠PEB=n−1【解析】【分析】(1)过点F作MN∥AB，根据两直线平行内错角相等进行求解即可；

(2)设∠BEF=α，而∠MEF=2∠BEF，∠FHD=42°，可得∠MEF=2∠BEF=2α，(1)得∠EFH=∠BEF+∠DHF=α+42°，由∠MEF+∠EFH=180°，再建立方程求解即可；

(3)设∠PHD=β，而∠MHD=n∠PHD，∠EPH=180∘n,可得∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，表示∠BEP=18．【答案】（1）∠APC=2∠AP1C.理由：过点P作PE∥AB(点E在点P左边).∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD.∴∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD.∴∠APC=∠PAB+∠PCD.同理，∠AP1C=∠P1AB+∠P1CD.∵AP1平分∠PAB，CP1平分∠PCD，.∴∠PAB+∠PCD=2(∠P1AB+∠P1CD).∴∠APC=2∠AP1C.（2）∠APC=4∠AP2C（3）∠APC=2【解析】【解答】解：(2)在(1)的条件下，AP2平分∠P∴∠A∴∠APC=4∠A故答案为：∠APC=4∠AP(3)按照以上规律进行下去，∠APC与∠AP量关系为：∠APC=故答案为：∠APC=【分析】(1)作PE‖AB(E在点P左侧)，利用平行线性质可得.∠APE=∠BAP,∠CPE=∠PCD，再利用角平分线定义得到∠BAP1=12∠BAP,∠DCP1=119．【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：

如图2，

过点P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠CPQ=∠PCD，

∵PQ∥AB，

∴∠BAP=∠APQ，

∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ

∴∠ACP=∠BAP+∠PCD

小红的证明过程如下：

如图3，

延长AP交CD于点M，

∵AB∥CD，

∴∠BAP=∠AMC，

∵∠APC=∠AMC+∠PCD，

∴∠APC=∠BAP+∠PCD；

（2）证明：

∵∠AGE=∠GEP+∠APE，

又∵∠PAC+∠PEG=∠AGE，

∴∠APE=∠PAC，

∴AC∥EF；

【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，

∵AH平分∠PAC，

∴∠CAH=∠HAG=25°，∠PAC=2∠CAH=50°，

∵AC∥EF，

∴∠PAC=∠GPF=50°，

∵∠PGE=2∠CAH+3∠PEG．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，

∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，

∴∠PEG=20°，

∴∠PGE=110°，

设∠PFC=2n，∵FH平分∠PFC，∴∠GFH=∠PFH=n，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠PFC=2n，∠AEG=∠EGF，

∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，

∴∠EGF=2n-20°，

∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，

∵∠AHF=∠AEG，

∴∠AHF=2n-20°，

∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，

∴50°+n=2n+5°，

∴n=45°，

∴∠PFC=90°.【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证PQ∥CD，根据平行线的性质得∠CPQ=∠PCD，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据AB∥CD得∠BAP=∠PMC，再根据三角形的外角定理得∠APC=∠PMC+∠PCD，即可得出结论；深入思考（2）：根据三角形的外角定理得∠AGE=∠APE+∠PEG，再根据已知条件可得∠APE=∠