2026年高考上海卷数学高考真题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年高考上海卷数学高考真题一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.a为不为1的任意实数，则a⋅3a=(

)A.a32 B.a43 C.2.事件A和事件B相互独立，“A和B至少一个发生”的对立事件是(

)．A.A∩B B.A∪B C.A∩B 3.已知ω，z为复数，当ω−z为实数或ω−z的共轭复数为实数时，称ω和z互相伴随．则当ω和z互相伴随时，ω+i和z+i互相伴随的充要条件是(

)．A.Reω+Rez=0 B.Reω−Rez=04.已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与x轴、y轴、z轴重合，顶点A与坐标原点重合，点C是正方体底面中与A相对的对角顶点，点C1在点C的正上方．将正方体绕直线AC1旋转一周，试问点C的运动轨迹会经过几个空间卦限(

)．

A.1 B.3 C.4 D.7二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A=2,1+a，−1∈A，则a=

．6.已知an为等比数列，a1=2，a2=6，则a7.已知sinα=15，则cos2α=8.已知事件A，B互斥，PA=0.2，PB=0.5，则PA∪B9.已知函数fx是偶函数，当x≥0时，fx=x−a，若f−410.已知(x2+x)5，则展开式中x11.已知a2+4b2=1，则ab12.已知随机变量X的分布为−101a0.3b，且EX=0.513.已知等差数列an中，a1=0，公差为d，其前n项和Sn在区间(0,1)内至少有两项，则公差d的取值范围是14.已知向量a，b，c是两两不平行的向量，且a+3b//b+c，2a15.已知三角函数f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,B∈R,ω>0,0≤φ<2π)，若v=f(t)，当v=0或v=4时其导数为016.在▵ABC中，AB=3，AC=5，BC=14.已知点A，B，C分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：颗粒物密度101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在(−1,0)，(0,1)，(1,2)哪个区间内？(直接写结论)(3)2023年前9年的年份(x)的平均数为2018，y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用y=106.544e−0.461(x−2014)，或y=a(x−2014)+83.743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于参考数据：106.54418.(本小题14分)已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，PH⊥底面ABCD，垂足H在AD边上，且AH=1，HD=4，AB=2．(1)求证：HC⊥PB；(2)若四棱锥P−ABCD的体积为1053，求二面角19.(本小题14分)已知a∈R，函数fx=x(1)已知f1=4，求(2)已知a≠0，l1是fx在点0,3处的切线，l2是过点0,3且垂直于l1的直线，gx与l120.(本小题18分)已知双曲线Γ:x2−y2=1，点P在(1)求点2,0到双曲线渐近线的距离；(2)若PF1⋅(3)记Ω为双曲线Γ满足x>0y≥−1和x<0y≤−1的部分；直线l，m均过右焦点F2，l与Ω交于P，Q两点(分别在第一、第四象限)，m与Ω交于M，N两点(分别在第三、四象限)，问：是否存在常数λ，使得对任意直线l，都存在唯一一对应的直线m满足λPQ21.(本小题18分)已知(i,j,k)是1，2，3的一个排列，若函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，对任意x∈I，都有f1(x)≤fi(x)且f1(x)+f2(x)≤fi(x)+(1)已知I=[3,+∞),f1(x)=x,(2)对I=(0,+∞)，f1(x)=x−1，f2(x)=x+m，(3)对x∈[0,+∞)，且对任意x∈[0,+∞),0<F(x)<1，令I=[a,+∞),f参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.−2

6.54

7.23258.0.7

/79.−1

10.10

11.14

/0.2512.0.6

/313.0,114.−6

15.2sin16.2317.解：(1)9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为79(2)统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现．随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，又因为相关系数|r|≤1，故相关系数在(0,1)区间上．(3)采用方程y=106.544e−0.461(x−2014)时，2023年预测值为预测值与实际值差值绝对值为|1.681−3.88|=2.199；因为xy=所以33.499=a(2018−2014)+83.743，可得a≈−故采用方程y=a(x−2014)+83.743时，2023年预测值为y=−预测值与实际值差值绝对值为|−29.306−3.88|=33.186；因为2.199<33.186，故方程y=106.544e

18.解：(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以A为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则A0,0,0,B2,0,0则CH=∴CH∴HC⊥PB．(2)四棱锥体积V=13S⋅PH=∴P0,1,5，则CP设平面PBH的法向量为m=x,y,z令x=1，则m=设平面PCB的法向量为n=则CP⋅n=−2x1设二面角C−PB−H为θ，则cosθ由图可知，二面角C−PB−H为锐角，则二面角C−PB−H大小为arccos1

19.解：(1)由题意，x≠0，在fx=xf1=1∴fx∵fx∴x2+3+1x2∴不等式的解集为−∞,0∪(2)由题意及(1)得，a≠0，在fx=x∴f′∵直线l1为fx在点∴直线l1的方程为：y−3=ax−0，即∵l2是过点0,3且垂直于∴直线l2的方程为：y−3=−1a在gx=4x+1x2中，x≠0，g∴gx=4x+1分离参数得，a=1x3∴直线y=a与y=−1a与曲线hx而h′x当h′x=0时，解得x=−1(舍)或∴当h′x<0即当h′x>0即∴hx在x=1处取最小值，h当x→0时，hx→+∞，当x→+∞时，∴a<2且−1a<2，即a<−∴实数a的取值范围为−∞,−1

20.解：(1)由题意可知：a=b=1，c=则F1−2,0，F所以点2,0到双曲线渐近线的距离为2(2)解法一：因为PF由余弦定理可得F1整理得：PF因点P是双曲线上一点，则PF1−代入可得PF1PF2所以▵PF1F解法二：设Px0,y0可得PF1=因为PF1⋅PF所以▵PF1F解法三：因为PF1⋅由中线长定理可知：PF因为PF1−代入可得PF1PF2解得cos∠F1PF所以▵PF1F(3)不妨取A−2,−1，B依题意，设直线l：x=n1y+2，则n1联立方程x=n1y+2则y1+y可得PQ=可知函数ft=221−t且当t趋近于1时，ft趋近于+∞，即ft在0,1内的值域为2,+∞因λ>0，所以λPQ同理可得：MN可知gs=22s2且当s趋近于1时，gs趋近于+∞，即gs在1,22内的值域为由题意可知：2λ,+∞⊆187,+∞，可得所以存在实数λ符合题意，此时λ的取值范围为97

21.解：(1)由题意得i=3,j=1，则当I则f1f1则f1故(3,1,2)是为I排列．(2)若nI=6，则1，2，①(i,j,k)=(1,2,3)，则有：f1②(i,j,k)=(1,3,2)，则有：f1(x)≤f③(i,j,k)=(2,1,3)，则有：f1(x)≤f④(i,j,k)=(2,3,1)，则有：f1(x)≤f⑤(i,j,k)=(3,1,2)，则有：f1⑥(i,j,k)=(3,2,1)，则有：f1(x)≤f则上述不等式均要成立，取它们的交集有f即f1(x)≤f2(x)≤分离参数得m≥−1m≤x2−x，因为当所以−1≤m≤−1(3)首先证明第1个结论，观察(2)问的6个情况，若f1(x)≤f3(x)那么排列(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)都将是I排列，此时当f1(x)≤f因为F(x)是定义在[0,+∞则F(0)≥F(a)恒成立，又因为函数y=1−e−x在则在区间I=[a,+∞)上，若f1(x)≤f则只需F(0)≤1−e−a，即e则F(0)∈(0,1)，则1−F(0)当f2(x)≤f因为F(x)严格递减，所以F(x+a)<F(0)且f2只要a≥−ln(1−F(0))，就有则可取a=−ln即存在a>0，使得再证明第2个结论．假设对于任意的a∈(0,1)，都有因为(2)中①排列(1,2,3)始终满足条件，则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是I排列．首先，我们证明f1假设对于某个a>0，在[a即F(x)≤1即F(x+a)−F(x)≥F(x)−F(x−a)，取xn=2a+n⋅令Δ=F(2a)−F(a)>则Fx于是对任意正整数N：Fx当N→+∞时，FxN→+∞因此，f1(x)≤f2(x)不可能恒成立．则排列③排列(2,1,3)和④接下来只剩②排列(1,3,2)，其需满足f2⑤排列(3,1,2)，其需满足f1⑥排列(3,2,1)，其需满足f1下面证明：对于任意a∈(0,1),f1(x)≤f3(x)在I上恒成立(i)若对任意x>0，都有f1对于任意a∈(0,1)和则f2当且仅当a=0时等号成立，又因为a>所以f2则f2(x)≤f则此时②排列(1,3,2)，⑤排列(3,1,2)，⑥排列(3,2,1)均成立，则nI=4，与假设n(ii)并非对于所有x>0都有f1则必定存在x0>0设Fx因为y=1−e则对于已知的Δ>0，总可以找到x1即1−e−x同时，因为F(x)严格递增且x1>x即Fx即Fx1>则可取充分小的a使得