2023-2024学年西藏拉萨市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年西藏拉萨市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（每题5分，共40分）1．（5分）若复数z满足﹣i•z＝3+4i，则|z|＝（）A．1 B．5 C．7 D．252．（5分）已知角α终边上一点的坐标为（﹣2，3），则cosα＝（）A． B． C． D．3．（5分）某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则参加体检的人数是（）A．120 B．360 C．240 D．3004．（5分）若α是任意实数，则＝（）A．sinα B．﹣sinα C．cosα D．﹣cosα5．（5分）如图所示，某市5月1日到10日PM2.5均值（单位：μg/m3）变化的折线图，则该组数据的第54百分位数为（）A．45 B．48 C．60 D．806．（5分）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．7．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且（a+b）sinA+bsinB＝csinC，则角C等于（）A．30° B． C．60° D．8．（5分）在平行四边形ABCD中，，则＝（）A． B． C． D．二、多项选择题（每小题全选对得6分、部分选对得部分分、错选得0分，共18分）（多选）9．（6分）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（）A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是π，A＝2，ω＝2， B．函数f（x）的对称中心为 C．函数f（x）的的图像可由函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位长度得到 D．函数f（x）的的图像可由函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位长度得到（多选）11．（6分）已知向量，，0≤θ≤π，下列说法正确的是（）A．若，则向量的一个单位向量是 B．若，则 C．设函数，则f（θ）的最大值为2 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）已知向量，点，若，则x＝．13．（5分）若，则tan2α＝．14．（5分）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为105°，则该弧田的面积为．四、解答题15．（13分）已知复数z＝m2（1+i）+（3i﹣4）m+2i﹣5，（m∈R）．（1）若复数z的实部与虚部之差为0，求m的值；（2）若复数z的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围．16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c＝2bcosA﹣a．（1）求角B；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求边b．17．（15分）已知甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为．求：（1）甲乙都研发成功的概率；（2）疫苗A研发成功的概率；（3）疫苗A与疫苗B均研发成功的概率；（4）仅有一款疫苗研发成功的概率．18．（17分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值和最小值．19．（17分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求a，b的值；（2）估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．

2023-2024学年西藏拉萨市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每题5分，共40分）1．（5分）若复数z满足﹣i•z＝3+4i，则|z|＝（）A．1 B．5 C．7 D．25【考点】复数的除法运算；复数的模．【答案】B【分析】利用复数的除法运算性质化简求出z，再根据模的求解公式即可求解．【解答】解：由题意可得z＝＝＝﹣4+3i，则|z|＝＝5．故选：B．2．（5分）已知角α终边上一点的坐标为（﹣2，3），则cosα＝（）A． B． C． D．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】A【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为角α终边上一点的坐标为（﹣2，3），所以cosα＝＝﹣．故选：A．3．（5分）某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则参加体检的人数是（）A．120 B．360 C．240 D．300【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【答案】D【分析】结合分层抽样的定义，即可求解．【解答】解：设参加体检的人数是n，该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则，解得n＝300．故选：D．4．（5分）若α是任意实数，则＝（）A．sinα B．﹣sinα C．cosα D．﹣cosα【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】C【分析】利用诱导公式即可求解．【解答】解：若α是任意实数，则＝cosα．故选：C．5．（5分）如图所示，某市5月1日到10日PM2.5均值（单位：μg/m3）变化的折线图，则该组数据的第54百分位数为（）A．45 B．48 C．60 D．80【考点】百分位数．【答案】A【分析】根据百分位数的求解公式即可求解．【解答】解：根据折线图，将数据从小到大排列：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，因为10×54%＝5.4，则第54百分位数为第6个数据，即为45．故选：A．6．（5分）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【考点】平面向量的投影向量．【答案】C【分析】由平面向量数量积运算可得，再由投影向量的定义即可求得．【解答】解：因为，，，所以，，即，解得，则在上的投影向量为．故选：C．7．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且（a+b）sinA+bsinB＝csinC，则角C等于（）A．30° B． C．60° D．【考点】解三角形．【答案】D【分析】根据正弦定理化简题中的等式，得到a2+b2﹣c2＝﹣ab，进而利用余弦定理计算出cosC，可得角C的大小．【解答】解：由（a+b）sinA+bsinB＝csinC，根据正弦定理得a（a+b）+b2＝c2，整理得a2+b2﹣c2＝﹣ab，根据余弦定理得cosC＝＝，结合C∈（0，π），可得C＝．故选：D．8．（5分）在平行四边形ABCD中，，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【答案】D【分析】利用平面向量基本定理，即可解出．【解答】解：＝＝﹣+＝﹣+（）＝．故选：D．二、多项选择题（每小题全选对得6分、部分选对得部分分、错选得0分，共18分）（多选）9．（6分）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（）A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；事件的互为对立及对立事件．【答案】AB【分析】根据已知条件，结合互斥事件、对立事件的定义，即可求解．【解答】解：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不能同时发生，但可以同时不发生，故两个事件为互斥非对立事件，故A正确；“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不能同时发生，但可以同时不发生，故两个事件为互斥非对立事件，故B正确；“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”必有一个发生，二者为对立事件，故C错误；“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可以同时发生，二者不为互斥事件，故D错误．故选：AB．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是π，A＝2，ω＝2， B．函数f（x）的对称中心为 C．函数f（x）的的图像可由函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位长度得到 D．函数f（x）的的图像可由函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位长度得到【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的对称性．【答案】BC【分析】由函数图象可得A，函数f（x）的最小正周期T＝4×（﹣）＝，可得ω的值，由于f（）＝2，又|φ|，可求φ的值，即可判断A；利用余弦函数的对称性即可判断B；利用三角函数的图象变换即可判断CD．【解答】解：由函数图象可得A＝2，函数f（x）的最小正周期T＝4×（﹣）＝π＝，可得ω＝2，由于f（）＝2cos（2×+φ）＝2，可得2×+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，又|φ|，所以φ＝﹣，故A正确；可得f（x）＝2cos（2x﹣），令2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，故B错误；函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位长度得到y＝2cos2（x﹣）＝2cos（2x﹣）≠f（x）的图象，故C错误；函数y＝2cos2x的图像向右平移个单位长度得到y＝2cos2（x﹣）＝2cos（2x﹣）＝f（x）的图象，故D正确．故选：BC．（多选）11．（6分）已知向量，，0≤θ≤π，下列说法正确的是（）A．若，则向量的一个单位向量是 B．若，则 C．设函数，则f（θ）的最大值为2 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量中的零向量与单位向量．【答案】ACD【分析】求出的单位向量即可判断A；由向量垂直的坐标表示即可求出θ即可判断B；由平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简后求最值即可判断C；由投影向量及向量数量积与夹角计算即可判断D．【解答】解：对于A，当，则，所以＝，所以的单位向量为或，故A正确；对于B，因为，，0≤θ≤π，，所以，即，所以，则，故B错误；对于C，，因为0≤θ≤π，所以，则当时，f（θ）有最大值2，故C正确；对于D，因为，且在上的投影向量为，所以，所以，即，所以，因为，所以与的夹角为，故D正确．故选：ACD．三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）已知向量，点，若，则x＝﹣1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】﹣1．【分析】根据平行向量的坐标关系求解．【解答】解：∵向量，，且，∴4﹣（﹣2）×（x﹣1）＝0，解得x＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（5分）若，则tan2α＝．【考点】求二倍角的三角函数值．【答案】．【分析】利用两角差的正切公式可求tanα的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．【解答】解：因为，所以＝3，可得tanα＝﹣2，则tan2α＝＝＝．故答案为：．14．（5分）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为105°，则该弧田的面积为（或）．【考点】扇形面积公式．【答案】（或）．【分析】由题意利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由题意，可得弧田所在圆的半径为2，圆心角为，可得扇形的面积为S1＝＝，△AOB的面积为S△AOB＝×2×2×sin＝2sin（+）＝2×（）＝，所以此弧田的面积为S＝S1﹣S△AOB＝﹣＝（或）．故答案为：（或）．四、解答题15．（13分）已知复数z＝m2（1+i）+（3i﹣4）m+2i﹣5，（m∈R）．（1）若复数z的实部与虚部之差为0，求m的值；（2）若复数z的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围．【考点】复数对应复平面中的点；复数的实部与虚部．【答案】（1）m＝﹣1；（2）（﹣2，﹣1）．【分析】（1）化简复数z，再由已知条件列式求解即可；（2）由已知条件列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）z＝m2（1+i）+（3i﹣4）m+2i﹣5＝（m2﹣4m﹣5）+（m2+3m+2）i，由复数z的实部与虚部之差为0，得（m2﹣4m﹣5）﹣（m2+3m+2）＝0，解得m＝﹣1；（2）∵复数z的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，∴复数z在复平面内的对应点在第四象限，于是得，即，解得：﹣2＜m＜﹣1∴实数m的取值范围是（﹣2，﹣1）．16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c＝2bcosA﹣a．（1）求角B；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求边b．【考点】解三角形．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据余弦定理化简题中的等式，整理得到a2+c2﹣b2＝﹣ac，可得cosB＝，由此计算出角B的大小；（2）根据三角形的面积公式列式算出边a的大小，进而利用余弦定理求出边b，可得答案．【解答】解：（1）由2c＝2bcosA﹣a，根据余弦定理得2c＝2b•﹣a，整理得a2+c2﹣b2＝﹣ac，可得cosB＝＝，结合B是三角形内角，可得；（2）由，得，在△ABC中，c＝2，所以△ABC的面积S＝＝＝，解得a＝4，由余弦定理，得，所以（舍负）．17．（15分）已知甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为．求：（1）甲乙都研发成功的概率；（2）疫苗A研发成功的概率；（3）疫苗A与疫苗B均研发成功的概率；（4）仅有一款疫苗研发成功的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】可利用相互独立事件概率乘法计算公式逐一求解．【解答】解：（1）用C，D，E分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，由题知C，D，E都相互独立，，，，则：，同理可得：，，C，D相互独立，根据概率公式有：；（2）由概率的性质可得：设“疫苗A研发成功”为A事件，则；（3）设“疫苗B研发成功”为B事件，，两疫苗A，B的研发相互独立，所以所求概率为：（4），仅有一款疫苗研发成功的概率为．18．（17分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【答案】（1）4π，x＝2kπ+，k∈Z；（2），，k∈Z；（3）最大值为2，最小值为1．【分析】根据正弦函数性质逐项可得．【解答】解：（1）由题意，知，所以f（x）的最小正周期．＝kπ+，k∈Z，x＝2kπ+，k∈Z，则f（x）的对称轴为x＝2kπ+，k∈Z；（2）由，得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为，，k∈Z；（3）因为0≤x≤π，所以，所以，所以，所以，所以f（x）的最大值为2，最小值为1．19．（17分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后