2023-2024学年新疆兵团二中高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年新疆兵团二中高一（下）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知复数z=1+i1−i，则A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i2．（3分）已知向量a→，b→是两个不共线的向量，且OA→=3a→+5b→，OB→=4a→+7b→，A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（3分）在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设AB→=aA．45a→+45b→ 4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a﹣ccosB）sinA＝ccosAsinB，则△ABC的形状一定是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形5．（3分）已知向量a→与b→的夹角为60°，且a→=(1，3A．7 B．10 C．4 D．26．（3分）已知圆锥的体积为26A．2π B．3π C．4π D．6π7．（3分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则|eiθ﹣3|的最小值等于（）A．0 B．1 C．2 D．38．（3分）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝4，CD＝2，∠A＝45°，M为线段HG上一动点，则AF→A．8 B．16 C．162 （多选）9．（3分）在空间中，下列命题正确的是（）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点A既在平面α内，又在平面β内，且α与β相交于直线b，则点A在b上 D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台（多选）10．（3分）已知复数z0＝2+i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z|＝3，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（2，1） B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C．复数z对应的点P在一条直线上 D．P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为3−（多选）11．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sinB＝2sinC，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为43C．当A＝2C时，△ABC的周长为2+23D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3二、填空题12．（3分）已知平面向量a→=(4，3)，b→=(1，2)，则向量a→13．（3分）“丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7：30分，2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际．由主碑和副碑组成．纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七•二八”这一难忘时刻（如图1）．唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度MN，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物AB，高约为16.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，纪念碑顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得纪念碑顶部M的仰角为15°，则纪念碑的高度约为米．14．（3分）已知D是△ABC边AC上一点，且CD＝3AD，BD=2，cos∠ABC=14，则3AB+BC三、解答题15．在△ABC中，A=π3，b=2，再从条件（Ⅰ）B的大小；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：b2+2ac=a2+c2；条件②16．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．（1）求石凳的体积；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6．（1）求AB→（2）若AD→=λBC（3）在（2）的条件下，若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|=118．如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的点，OA＝2cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设∠AOB＝α．（1）当α为何值时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值；（2）克罗狄斯•托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC．19．已知平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b）（其中a，b为常数，且ab≠0），点O为坐标原点．（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，OP→=λOA（2）如图所示，设点P1，P2，P3，⋯，Pn﹣1是线段AB的n等分点，其中n∈N*，n≥2，⑩当n＝2020时，求|OA→+OP②当a＝b＝1，n＝10时，求OP→（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+⋯+n=n(n+1)

2023-2024学年新疆兵团二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知复数z=1+i1−i，则A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】B【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z可求．【解答】解：z=1+i则z=−i故选：B．2．（3分）已知向量a→，b→是两个不共线的向量，且OA→=3a→+5b→，OB→=4a→+7b→，A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．【答案】A【分析】由已知可得OC→【解答】解：由A，B，C三点共线，且OA→=3a→+5b→，OB→=4a得OC→故4−x=17−2x=m，解得m故选：A．3．（3分）在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设AB→=aA．45a→+45b→ 【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】由已知可得以CFAF=CE【解答】解：在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，所以CFAF所以AF→=23AC故选：C．4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a﹣ccosB）sinA＝ccosAsinB，则△ABC的形状一定是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形【考点】三角形的形状判断．【答案】C【分析】根据题意，由（a﹣ccosB）sinA＝ccosAsinB变形可得asinA＝csinC，进而由正弦定理可得a2＝c2，即a＝c；即可得答案．【解答】解：根据题意，在△ABC中，（a﹣ccosB）sinA＝ccosAsinB，变形可得：asinA＝ccosBsinA+ccosAsinB＝c（cosBsinA+cosAsinB）＝csin（A+B）＝csinC，即有asinA＝csinC，又由正弦定理可得：a2＝c2，即a＝c；故选：C．5．（3分）已知向量a→与b→的夹角为60°，且a→=(1，3A．7 B．10 C．4 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【答案】A【分析】由题意和平面数量积的定义可得a→⋅b【解答】解：由题意可得|a→|=所以|a故选：A．6．（3分）已知圆锥的体积为26A．2π B．3π C．4π D．6π【考点】圆锥的体积．【答案】C【分析】根据展开图为半圆求出母线与底面圆半径的关系，再由体积公式求出底面圆半径，即可由侧面积公式得解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由πl＝2πr，解得l＝2r，所以圆锥的高为h=l2所以圆锥的体积为V=13π所以圆锥的侧面积为S＝πr•2r＝2πr2＝4π．故选：C．7．（3分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则|eiθ﹣3|的最小值等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数的指数形式．【答案】C【分析】根据欧拉公式，以及复数模长的计算公式，结合余弦函数的有界性，即可求解结果．【解答】解：由已知得，eiθ﹣3＝cosθ﹣3+isinθ，故|eiθ﹣3|=(cosθ−3)又cosθ∈[﹣1，1]，∴10−6cosθ∈[2，4]∴|eiθ﹣3|的最小值为2．故选：C．8．（3分）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝4，CD＝2，∠A＝45°，M为线段HG上一动点，则AF→A．8 B．16 C．162 【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，标出A，F，E，M四个点的坐标，写出向量AF→，EM→的坐标，即可表示出【解答】解：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，则A（﹣4，2），F（0，﹣2），E（﹣2，﹣4），M（2+x，﹣x），其中0≤x≤2，所以AF→=（4，﹣4），EM→=（4+则出AF→⋅EM→=16+4x因为0≤x≤2，所以当x＝2时，AF→故选：B．（多选）9．（3分）在空间中，下列命题正确的是（）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点A既在平面α内，又在平面β内，且α与β相交于直线b，则点A在b上 D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台【考点】平面的基本性质及推论．【答案】ABC【分析】根据平面公理及推论得到A、B、C三个选项；根据圆台的定义得到D选项．【解答】解：如果两个平面有一个交点，则个平面必有过该点的一条交线，所以这两个平面有无数个公共点，故A正确；若其中三点共线，则一条直线和直线外一点确定一个平面，则四点共面，与四个点不共面矛盾，所以其中任意三点不公线，故B正确；若点A既在平面α内，又在平面β内，则点A是两个平面的公共点，b是两个平面的交线，根据公共点一定在交线上，所以A一定在b上，故C正确；只有平面与底面平行时，得到的平面和底面间的几何体才是圆台，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（3分）已知复数z0＝2+i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z|＝3，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（2，1） B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C．复数z对应的点P在一条直线上 D．P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为3−【考点】复数对应复平面中的点．【答案】AD【分析】利用几何意义即可得出在复平面内对应的点判断A；利用复数z0的共轭复数2﹣i对应的点（2，﹣1）即可判断B；由复数z满足|z|＝3，根据几何意义即可判断C；点P0到原点的距离为22+1=【解答】解：复数z0＝2+i在复平面内对应的点为P0（2，1），因此A正确；复数z0的共轭复数2﹣i对应的点（2，﹣1）与点P0（2，1）关于虚轴不对称，因此B错误；由复数z满足|z|＝3，结合复数的几何意义，可知复数对应的点在以原点为圆心，以3为半径的圆上，因此C错误；点P0到原点的距离为22+1=5，所以P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为故选：AD．（多选）11．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sinB＝2sinC，有以下四个命题中正确的是（）A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为43C．当A＝2C时，△ABC的周长为2+23D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为3【考点】命题的真假判断与应用．【答案】BCD【分析】考虑勾股定理的逆定理，即可判断，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；运用正弦定理可得b＝2c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积．【解答】解：A：∵a＝2，sinB＝2sinC即b＝2c，设b＝2t，c＝t，由4+t2＝4t2，可得t=2满足条件的△ABC可能是直角三角形，故A错误；B：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（﹣1，0），C（1，0），∵sinB＝2sinC，可得b＝2c，设A（m，n），可得(m−1)2+化简得m2+n2+103m+1＝0，化为（m+53）2+n2＝（则A的轨迹为以（−53，0），半径为43的圆，可得△ABC的面积的最大值为12×C：∵a＝2，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得：b＝2c，由bsinB=c由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝2，解得：cos2C=34，故cosCsinC=1−cos2C=12，可得sinA由232=c12可得：c=233，b=43D：S△ABC=12bcsin设△ABC的内切圆半径为R，则R=2sS△ABO=12cR=1故选：BCD．二、填空题12．（3分）已知平面向量a→=(4，3)，b→=(1，2)，则向量a→【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（2，4）．【分析】结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：a→=(4，3)，则a→⋅b故向量a→在向量b→上的投影向量的坐标为：故答案为：（2，4）．13．（3分）“丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7：30分，2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际．由主碑和副碑组成．纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七•二八”这一难忘时刻（如图1）．唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度MN，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物AB，高约为16.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，纪念碑顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得纪念碑顶部M的仰角为15°，则纪念碑的高度约为33米．【考点】解三角形．【答案】33．【分析】先在Rt△ABC中求出AC的长度，然后再求出△ACM中的∠CAM，∠ACM，利用正弦定理求出CM，最后在△CNM中利用三角函数的定义求出MN的长度即可．【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，AC=AB在△ACM中，∠CAM＝30°+15°＝45°，∠ACM＝180﹣45°﹣30°＝105°，∴∠AMC＝30°，由正弦定理ACsin∠AMC得CM=ACsin30°•sin45°＝33又在Rt△CMN中，MN＝MC•sin45°＝33，∴纪念碑的高度约为33米．故答案为：33．14．（3分）已知D是△ABC边AC上一点，且CD＝3AD，BD=2，cos∠ABC=14，则3AB+BC的最大值为【考点】三角形中的几何计算．【答案】165【分析】设AD＝t，利用余弦定理可得t2＝c2+a2−12ac，消去t2，再用基本不等式求得ac的最大值，将3AB+【解答】解：设AD＝t，则CD＝3t，由余弦定理得cos∠ABC=c所以16t2＝c2+a2−12ac由cos∠ADB+cos∠BDC＝0，得t2得12t2＝3c2+a2﹣8，…②由①②消去t2得9c2+a2＝32−32ac≥29c2a2=6所以ac≤64所以（3AB+BC）2＝（3c+a）2＝9c2+a2+6ac＝32−32ac+6ac＝32+92所以3AB+BC≤256即3AB+BC的最大值为165故答案为：165三、解答题15．在△ABC中，A=π3，b=2，再从条件（Ⅰ）B的大小；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：b2+2ac=a2+c2；条件②【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】（Ⅰ）B=π（Ⅱ）S△ABC=3+【分析】选择条件①时：（Ⅰ）利用余弦定理求出cosB和B的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算△ABC的面积．选择条件②时：（Ⅰ）由正弦定理求出tanB和B的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算△ABC的面积．【解答】解：选择条件①：b2+2ac＝a2+c2（Ⅰ）由b2+2ac＝a2+c2，得a2+c2﹣b2=2所以cosB=a又B∈（0，π），所以B=π（Ⅱ）由正弦定理知asinA所以a=bsinA所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=3所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC选择条件②：acosB＝bsinA．（Ⅰ）由正弦定理得asinA所以asinB＝bsinA；又acosB＝bsinA，所以sinB＝cosB，所以tanB＝1；又B∈（0，π），所以B=π（Ⅱ）由正弦定理知asinA所以a=bsinA所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=3所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC16．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．（1）求石凳的体积；（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】（1）180000cm3；（2）(54+183【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数．【解答】解：（1）正方体的体积为603＝216000cm3，石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为30cm，故一个小正三棱锥的体积为13故石凳的体积为216000﹣4500×8＝180000cm3；（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为302则石凳的表面积为6×(302则粉刷一个石凳需要3600317．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6．（1）求AB→（2）若AD→=λBC（3）在（2）的条件下，若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|=1【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）﹣9；（2）16（3）132【分析】（1）根据数量积公式求解；（2）根据AD→=λBC→，可得AD∥BC，即可得∠（3）如图建系，求得D点坐标，设M（x，0），则N（x+1，0），即可得DM→，DN【解答】解：（1）已知四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6．则AB→（2）因为AD→所以AD∥BC，所以∠BAD＝120°，所以AD→所以|AD又|BC所以AD→即λ=1（3）以BC所在直线为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立平面直角坐标系，因为∠B＝60°，AB＝3，所以A(3则D(5设M（x，0），则N（x+1，0），因为M，N是线段BC上的两个动点，所以0≤x≤60≤x+1≤6解得0≤x≤5，所以DM→所以DM→所以当x＝2时，DM→⋅DN18．如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的点，OA＝2cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设∠AOB＝α．（1）当α为何值时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值；（2）克罗狄斯•托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）当α=5π6时，四边形OACB的面积最大，且最大面积为2（2）∠AOC＝60°．【分析】（1）由余弦定理得AB2＝OB2+OA2﹣2OA•OBcosα＝5﹣4cosα，α∈（0，π），表示出四边形OACB的面积，利用三角函数的性质，即可得出答案；（2）由题意