2023-2024学年新疆克州高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年新疆克州高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）设f（x）＝sinx，则f'（π6A．12 B．22 C．32．（3分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（）A．240 B．120 C．96 D．603．（3分）已知（x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a10＝（）A．210 B．0 C．1 D．﹣14．（3分）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（）A．20 B．30 C．22 D．405．（3分）函数f（x）＝2x﹣4lnx的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（e，+∞）6．（3分）若(x+3A．9 B．10 C．11 D．127．（3分）设X是一个离散型随机变量，其分布列为X234P121﹣2q2q2则q等于（）A．1 B．1−22 C．128．（3分）函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则（）A．x=12为函数f（xB．函数f（x）在(12C．x＝2为函数f（x）的极大值点 D．f（﹣2）是函数f（x）的最小值二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符（多选）9．（5分）某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（）A．P(A)=25 B．C．P(B)=35 D．事件A，（多选）10．（5分）对于函数f(x)=1A．f（x）是增函数，无极值 B．f（x）是减函数，无极值 C．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣4），（0，+∞），单调递减区间为（﹣4，0） D．f（0）＝0是极小值，f(−4)=32（多选）11．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念，下列结论正确的是（）A．站成一排不同的站法共有120种 B．若甲和乙不相邻，则不同的站法共有36种 C．若甲站在最中间，则不同的站法共有24种 D．若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有78种三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。12．（4分）设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为37，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为34，则事件B发生的概率为13．（4分）函数f（x）＝ex+x（其中e为自然对数的底数）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．（4分）已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=an(n+1)(n=1，2，3，⋯，10)，则实数a四、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（7分）已知(x（1）求n的值；（2）求展开式中x3的系数．16．（9分）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：（1）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？（2）学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？17．（9分）函数f（x）＝x+ax2+blnx的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的极值．18．（12分）从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记﹣1分，取出黄球记零分．（1）以X表示所得分数，求X的概率分布；（2）求得分X＞0时的概率．19．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式f(x)≥12g(x)

2023-2024学年新疆克州高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）设f（x）＝sinx，则f'（π6A．12 B．22 C．3【考点】基本初等函数的导数．【答案】C【分析】根据已知条件，求出f'（x），再将x=π【解答】解：∵f（x）＝sinx，∴f'（x）＝cosx，∴f′(π故选：C．2．（3分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（）A．240 B．120 C．96 D．60【考点】部分元素相邻的排列问题．【答案】A【分析】根据题意，将BC捆绑在一起，与其他4人全排列即可，由排列数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于B，C必须相邻，则将BC捆绑在一起，与其他4人全排列即可，共有A5故选：A．3．（3分）已知（x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a10＝（）A．210 B．0 C．1 D．﹣1【考点】二项式定理．【答案】D【分析】根据题意，分别令x＝0，x＝1即可解．【解答】解：因为（x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，当x＝0时，a0＝1，当x＝1时，a0+a1+a2+…+a10＝0，则a1+a2+…+a10＝﹣1．故选：D．4．（3分）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（）A．20 B．30 C．22 D．40【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】根据题意，按选出的志愿者中女生人数的不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的志愿者中，2个女生2个男生时，方法数有C3②选出的志愿者中，3个女生1个男生时，方法数有C3所以不同选法有18+4＝22种．故选：C．5．（3分）函数f（x）＝2x﹣4lnx的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（e，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】B【分析】求导并令f′（x）＜0，即可得出答案．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2−4令f′（x）＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）单调递减区间为（0，2）．故选：B．6．（3分）若(x+3A．9 B．10 C．11 D．12【考点】二项式系数的性质．【答案】D【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解．【解答】解：由题意，展开式一共有13项，即n＝12．故选：D．7．（3分）设X是一个离散型随机变量，其分布列为X234P121﹣2q2q2则q等于（）A．1 B．1−22 C．12【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】C【分析】利用分布列的性质求得正确答案．【解答】解：依题意12即4q2﹣4q+1＝（2q﹣1）2＝0，解得q=1经检验可知，q=1故选：C．8．（3分）函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则（）A．x=12为函数f（xB．函数f（x）在(12C．x＝2为函数f（x）的极大值点 D．f（﹣2）是函数f（x）的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】B【分析】根据导函数的图象，判断出导数的正负，从而可得函数的单调区间，可判断函数的极值，进而可得答案．【解答】解：由y＝f'（x）的图象可知，当x＞2或﹣2＜x＜12时，f'（当12＜x＜2或x＜﹣2时，f'（所以f（x）在（﹣2，12）和（2，+∞）上单调递增，在（1所以f（x）在x＝﹣2和x＝2处取得极小值，在x=1所以ACD错误，B正确，故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符（多选）9．（5分）某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（）A．P(A)=25 B．C．P(B)=35 D．事件A，【考点】条件概率．【答案】ABC【分析】根据古典概型和条件概率公式计算即可求解．【解答】解：A选项，P（A）=410=B选项，P（AB）=25×23C选项，P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|AD选项，P(A)P(B)=25×35≠P(AB)，所以事件故选：ABC．（多选）10．（5分）对于函数f(x)=1A．f（x）是增函数，无极值 B．f（x）是减函数，无极值 C．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣4），（0，+∞），单调递减区间为（﹣4，0） D．f（0）＝0是极小值，f(−4)=32【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【答案】CD【分析】对f（x）求导，利用导数求出函数的单调区间，从而可得函数的极值，再逐项判断即可得解．【解答】解：∵f（x）定义域为R，f'（x）＝x2+4x＝x（x+4），∴当x∈（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）时，f'（x）＞0；当x∈（﹣4，0）时，f'（x）＜0；∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣4），（0，+∞）；单调递减区间为（﹣4，0），∴f（x）的极小值为f（0）＝0，极大值为f(−4)=32故AB错误，CD正确．故选：CD．（多选）11．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念，下列结论正确的是（）A．站成一排不同的站法共有120种 B．若甲和乙不相邻，则不同的站法共有36种 C．若甲站在最中间，则不同的站法共有24种 D．若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有78种【考点】排列组合的综合应用．【答案】ACD【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理及不相邻问题插空法逐一判断即可．【解答】解：对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有A5A正确；对于B，甲和乙不相邻的站队方式有A3B不正确；对于C，甲在最中间的不同的站队方式有A4C正确：对于D，若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有A5D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。12．（4分）设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为37，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为34，则事件B发生的概率为4【考点】条件概率；互斥事件的概率加法公式．【答案】47【分析】结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：P(AB)=37，所以P(B)=P(AB)故答案为：4713．（4分）函数f（x）＝ex+x（其中e为自然对数的底数）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y+1＝0．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】2x﹣y+1＝0．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．【解答】解：f（x）＝ex+x的导数为f′（x）＝ex+1，可得切线的斜率为k＝f′（0）＝1+1＝2，切点为（0，1），则切线的方程为y﹣1＝2（x﹣0），即为2x﹣y+1＝0，故答案为：2x﹣y+1＝0．14．（4分）已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=an(n+1)(n=1，2，3，⋯，10)，则实数a＝【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】1110【分析】由题意a1×2+a2×3+a3×4+a4×5【解答】解：随机变量X的概率分布为P(X=n)=a∴a1×2∴a（1−12+1则实数a=11故答案为：1110四、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（7分）已知(x（1）求n的值；（2）求展开式中x3的系数．【考点】二项式系数与二项式系数的和．【答案】（1）n＝6；（2）20．【分析】（1）直接利用二项式的系数和求出n的值；（2）利用展开式的通项公式的应用求出结果．【解答】解：（1）由已知(x由题意可得，2n＝64，解得n＝6．（2）(x2+1x由12﹣3r＝3，得r＝3．∴展开式中x3的系数为C616．（9分）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：（1）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？（2）学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】（1）480种；（2）16种．【分析】（1）由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解；（2）由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．【解答】解：（1）根据题意，先将4名男教师排好，有A4再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入2名女教师，有A5由分步乘法计数原理，共有24×20＝480种坐法；（2）根据题意，分类讨论，当1名女教师和2名男教师时C2当2名女教师和1名男教师时C2所以共有12+4＝16种选派方法．17．（9分）函数f（x）＝x+ax2+blnx的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）a＝﹣1，b＝3；（2）f（x）的极大值为−3【分析】（1）对f（x）求导，根据f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2，求出a，b的值即可；（2）根据（1）得到f'（x），再根据导函数的符号和单调性，得到f（x）的极值即可．【解答】解：（1）由f（x）＝x+ax2+blnx，得f′(x)=1+2ax+b∵f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2，∴f′（1）＝1+2a+b＝2，f（1）＝1+a＝2×1﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝3．（2）由（1），可得f′(x)=1+2ax+bf（x）与f'（x）随着x的变化情况如下表．x(0，332(3f′（x）+0﹣f（x）↗极大值−↘由表可知，函数f（x）的极大值为−318．（12分）从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记﹣1分，取出黄球记零分．（1）以X表示所得分数，求X的概率分布；（2）求得分X＞0时的概率．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）答案见解析；（2）1933【分析】（1）根据题意得到随机变量X的可能取值，求得相应的概率，得出分布列；（2）由（1）中分布列，结合P（X＞0）＝P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝4），即可求解．【解答】解：（1）根据题意，当取到2个白球时，随机变量X＝﹣2；当取到1个白球，1个黄球时